无穷级数理论在我国的早期发展——明安图有关数学成就简介，本文主要内容关键词为：安图论文,级数论文,在我国论文,成就论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
以微积分为基础的分析数学是近现代数学发展的主流。无穷级数是其一个组成部分，在早期的发展中起了不可缺少的作用。格列高里（J.Gregory，1638—1675）、大数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）、伯努利（J.Bernoulli，1654—1705）等对此做出了巨大的贡献。 过去，人们一直认为只有西方研究了无穷级数。其实，18世纪中叶之前，清代蒙古族杰出数学家明安图也开展了这方面的研究，得到了一批有价值的成果，并创立了独具特色的证明方法——割圆连比例法。
1 明安图及其数学著作
明安图（1692？—1763？），生于今内蒙古锡林郭勒盟正镶白旗，我国清代著名的科学家。早年曾在康熙皇帝教导下学习西方数学，后任钦天监监正（天文台台长），掌管国家天文、历法、气象、地理、测绘、数学等方面的工作。在以上诸方面均取得了很大的成绩，本文只简述其数学成就。
1713年，明安图在对法国传教士杜德美（P.Jartoux，1668 —1720）带来的三个幂级数展开式的证明中，开始了对无穷级数理论的研究。以后，他发现了六个重要的公式，创造了连比例求解的数学方法，在当时世界上属先进成果。
明安图在处理繁忙的公务之余，坚持不懈地进行数学研究。历时三十年，写成专著《割圆密率捷法》初稿。后经其弟子整理，定稿于1774年。但很久未能广泛传播，直到1839年才刊行于世。书中将三角函数展开成幂级数，并构造几何图形的相似关系，以几何线段的连比关系为依据，计算了展开式各项系数，实际上首创了卡塔兰数（Catalan numbers），在中国数学史上，为三角函数展开式的研究开辟了一条新路。
2 明安图研究三角级数方法例析
由于明安图对中国传统数学有很深的理解，他在《割圆密率捷法》中独具特色地用几何方法研究三角级数展开式问题，并首先应用了被数学史上称为卡塔兰数的一组序列：C[,1]＝1，C[,2]＝1，C[,3]＝2，C[,4]＝5，C[,5]＝14，C[,6]＝42，…。这个数列（简记为｛C[,n]｝）在组合计数理论中有重要应
因CI＝x[2]，JK＝p[4]＝q[4]/16，由④知x[2]＝q[2]－q[4]/16 ⑤
2.2.2 施行代数运算，展成无穷幂级数
将式⑤自乘，得x[4]＝q[4]－2q[6]/16＋q[8]/16[2]，除以16，有
x[4]/16＝q[4]/16－2q[6]/16[2]＋q[8]/16[3]。
将上式乘以⑤除以16，即相当于将⑤式立方再除以16，有
x[6]/16[2]＝q[12]q[6]/16[2]－3q[8]/16[3]＋3q[10]/16[4]－q[12]/16[5]
将上式乘以⑤除以16，即相当于将⑤四次方再除以16，有
x[8]/16[3]＝q[8]/16[3]－4q[10]/16[4]＋6q[12]/16[5] －4q[14]/16[6]＋q[16]/16[7]
直到x[14]/16[6]的表达式，明安图一共连续算出七个公式。归纳上述结果，可得
上述过程可简述为：先把三角问题几何化，然后构造几何图形，得出数量关系后，施行代数运算，再表示成有限幂级数，最后扩展为无穷幂级数。
3 结语
明安图发现的一些级数，尽管比西方的同类结果要晚，但因当时中算尚未掌握微积分，他能创立新法，推导出那些相当复杂的公式，是非常难能可贵的。由于“明安图奠定了进行无穷级数运算的基础”，促使清代关于无穷级数的研究形成了一个相当活跃的领域，硕果累累，无疑形成清代数学发展中的一个闪光点。“十八世纪三、四十年代，以开始写作《割圆密率捷法》为标志，中国数学从研究有限、离散、常量的传统领域开始向无限、连续、变量的新领域过渡。这一演进是艰难而又缓慢的，明安图便站在这一潮流的最前列。”“他所构造的几何模型，其构思的精巧缜密令人不胜感叹，具有构造性数学的特点，其方法和成果足资后人借鉴。”
总之，明安图的无穷级数研究工作，乃中国近代数学研究之先导。可谓数形结合之妙笔，中西合璧之佳作。