数学核心概念意象构建的理论与实践，本文主要内容关键词为：意象论文,核心论文,概念论文,理论论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学核心概念往往是教学的重点与难点，又是相应数学学科发明的本源，为了突破难点，加强理解，提高思维能力，构建其意象乃是必由之路。下面循着笔者思维的轨迹说明其理论和实践的意义。
一、向量的意象
向量是向量分析的基本概念，历史上多用物理学中的力为意象，如利用两力合成的实验引入向量加法的平行四边形法则。但应用平行四边形法则求两力的合力时，计算中要用到余弦定理。在当年教学上余弦定理要在高一下学期才学到，对于高一上的物理教学十分不便。如何解决这一矛盾，迫使笔者另觅出路，这是上世纪五十年代的事。
笔者尝试用位移作向量的意象，物体从点A运动到点B，其位移为向量
。再从点B运动到点C，其位移为
。两次运动的合成，其位移为
。根据位移与运动的路径无关，可知两次运动合成即与从点A运动到点C所产生的位移
一样，从而有
于是向量加法的三角形法则跃然纸上。
位移是看得见摸得着的向量，既然其加法服从三角形法则，可以推想一切向量的加法均服从三角形法则，从此建立向量加法定义是合情合理的。
定义 先将向量b平移使其始点与a的终点重合，则以a的始点为始点，b的终点为终点的向量c，称为向量a与向量b的和向量。记作a+b=c。
图1
如图1，
图2
从此推出向量加法的多边形法则。并证明了向量加法服从加法结合律。
这样处理向量的线性运算十分方便。再从此引入向量的正交分解，就方便地使向量的加减运算化归为实数运算，而不必应用余弦定理了。这说明向量的意象用位移取代力的优越性。这一改变始于上世纪六十年代，七十年代美国的物理教学中也作了类似的改革，时至今日已是人们的共识。这一变革的经历说明了数学核心概念的意象的恰当构建既有理论意义更有实践价值。
二、三角函数概念意象的构建
三角函数概念发源于三角形边、角关系的定量研究。后受函数概念的渗透与实际应用的刺激，角的概念的推广经欧拉的天才改建，引入沿用至今的坐标定义。此后由于教学的方便取r=1，应用单位圆，引入圆函数，这又是教材中普遍采用的观点。
笔者受到力学求共面作用于同一点诸力的合力的启发，发觉三角函数与力的正交分解有密切的联系，如果利用向量改造任意角三角函数的定义将为运算带来极大便利，与向量的坐标相结合可以构建三角函数的活动模型为三角函数的学习创造新的体系。
图3
图4
上述定义与传统定义显然是等价的。三角函数的活动模型（即三角函数的意象）中点P的坐标，实际就是(cosθ,sinθ)。在模型中转化为x轴上的有向线段OM的数量和y轴上的有向线段ON的数量。当θ变化时，观察OM、ON的变化规律，即可把握cosθ、sinθ变化的规律，使余弦函数、正弦函数的性质尽显眼底。余弦函数、正弦函数的定义域、零点、正、负值区间、值域（包括最大值和最小值）、周期性、奇偶性、单调性。并画出余弦、正弦函数的图象。利用向量的坐标表示可以方便地推导诱导公式、加法定理，还可以利用向量工具推出正弦定理、余弦定理，一部三角学都成了三角函数定义的直接推论。整部三角学仿佛就是学生自己发明的一样。
有了三角函数概念系统的改造，建立如上的活动模型（即意象）不仅建立了三角学的新体系，同时把向量的一维向量、二维向量、三维向量的基本定理，转化成直线坐标系、平面直角坐标系、空间直角坐标系的基本定理（这些定理乃是解析几何发明的本源）可以使解析几何中的几何量转化成其坐标表达式（即数学符号语言）。许多定理、公式也都成了学生创新思维实践的成果，从而体会构建数学核心概念的意象的理论价值和实践意义。
三、数列极限概念的意象
数学极限概念是极限论的基础，即极限论的核心概念之一，在此基础上发展到函数极限概念，它既是教学的重点，更是教学的难点，如何突破这一难点，数学家与数学教育家作过大量的研究。在1966年正值十年浩劫前夕，笔者对此作过探索，虽然遭遇空前的干扰，但乐此不疲。
在微积分诞生之前，人们已经多次碰到常量数学无法解决的问题，如圆周长、圆面积、抛物拱面积等等，在常量数学无能为力的面前，出路何在？在无法求精确解的困难下，自然想到求近似解来代替精确值。开始阶段，求得的近似解误差比较大。如古代我国有“径一周三”之说，实际求得圆周率的近似值3，随着生产力的发展，要求的精确度逐步提高，通过不断改进，求出的近似值的误差越来越小，但不论误差多小，结果仍为近似值，只有人们从求近似值的过程中进行反思，发现近似值乃是某变量的函数，观察到一系列近似值的演变趋势不断向一定值逼近，凭直觉猜想这一定值就是所求问题的精确解，这一猜想是否正确？如何判断其正确或谬误呢？在微积分诞生的初期，人们一直为此苦恼，也由此发生不少错误，直至柯西提出极限的严格定义，更确切的说是魏尔斯特拉斯提出ε-N、ε-δ语言以后，才使微积分奠定在严密的逻辑基础之上，极限思想才有了严密的表述，下面先从一个实例分析开始。
例 一矩形闸门宽1米，长4米，水深3米，如图5，图中单位为米，求闸门受到的压力是多少？
图5
由于压强随水深而变化，故应用常量数学无法求精确解，不得已求其近似解，将闸门沿水深方向分为n等分，分别求其所受压力的近似值，然后加起来。
其每层所受压强如下所示：
就多小，精确地刻画了
确实向定值A无限逼近”。这里借助绝对误差
与绝对误差界ε，揭示了数列极限概念的本质属性，构建了数列极限的意象，它并非几何形象，但仍然有助于对概念的理解与巩固记忆，这说明概念的意象并非一定是具有几何形象，只要是能揭示概念本质属性，便于深刻理解与应用就可以了。
教学实践证明，利用上述“误差模型”能帮助学生突破难点，取得较好的效果。1980年初，笔者的一堂研究课，近90%的学生当堂理解了数列极限的概念。并能正确应用求出简单数列的极限。
值得指出的是：如果把理解为数列在数轴上的对应点与点A的距离，ε是任意小一段距离，前人已成功地构建了数列极限的几何模型：
当n无限变大时，在n＞N的条件下，数列
的对应点都落在点A的ε邻域(A-ε,A+ε)中，则可以无限逼近定值A，即
。
这一几何模型也是数列极限概念的意象，它却是有形的几何图，一样起到加深理解，便于记忆巩固应用的作用。
以上的论述都揭示在数学核心概念的教学中，恰当地构建概念、原理的意象对概念的理解、应用、巩固记忆都有不可忽视的作用，其理论价值与实践意义的巨大是不言而喻的。从思维科学成果进行分析，它是促进左、右脑协调能力的重要渠道，它对人脑创新思维的发展有巨大的作用。因而下列命题应该是不可忽视的规律之一：
自觉恰当地构建数学核心概念的意象是突破难点把握重点的重要教学规律之一。