高考二项式定理问题分类解析，本文主要内容关键词为：定理论文,二项式论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、展开式中的某一指定项
例1 （2004年河南、河北、山东、山西、安徽、江西高考题）
的展开式中常数项是
（
）
A.14
B.-14
C.42
D.-42
由题意知21-（7r/2）=0，得r=6，即展开式中常数项是第7项，T[，7]=（-1）[6]C[，7][6]·2=14，故选A.
评析 直接利用通项公式进行求解.
二、求展开式中某一指定项的系数
例2 （2004年甘肃、新疆、宁夏、青海高考题）
展开式中x[5]的系数为______.
解析 利用公式T[，r+1]=C[，n][r]a[n-1]b[r]求得
令8-（3/2）r=5，得r=2，进而得到x[5]的系数为28，故填28.
例3 （2004年江苏高考题）（2x+
）[4]的展开式中x[3]的系数是
（
）
A.6
B.12
C.24
D.48
由题意设4-（r/2）=3，∴r=2，即展开式中x[3]的项是第3项，其系数为C[，4][2]·2[2]=24，故选C.
例4 （2004年湖北高考题）已知
的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x[5]的系数是_____.（以数字作答）
解析 由展开式得通项
∴各项系数和为C[，n][0]+C[，n][1]+…+C[，n][n]=2[n]=128，∴n=7.
由（3/2）n-（11/6）r=5知r=3，贝C[，7][3]=35，故填35.
评析 分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式T[，r+1]=C[，n][r]a[n-r]b[r]，先确定r，再求其系数.
三、求两个二项式积的展开式中某一指定项的系数
例5 （1995年全国高考题）在（1-x[3]）（1+x）[10]的展开式中，x[5]的系数是
（
）
A.-297
B.-252
C.297
D.207
解析 由题意可知，（1+x）[10]展开式中x[5]与x[2]的系数分别是C[，10][5]、C[，10][2]所以（1-X[3]）（1+x）[10]的展开式中，x[5]的系数为C[，10][5]-C[，10][2]=207，故选D.
评析 利用两因式展开式相应项系数配对的方法.
四、求展开式中系数满足某些特殊要求的项数
例6 （1993年全国高考题）由
展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有
（
）
A.50项 B.17项 C.16项 D.15项
解析 设展开式中第r+1项的系数为有理数，则
依题意，r既为偶数又为3的倍数，即r为6的倍数，且0≤r≤100，∴r共有17个值，故选B.
评析 先将展开式的通项进行调整，再令其幂指数为整数，进而求出所需项数.
五、求二项式中所含参数的值
例7 （2004年重庆高考题）若在（1+ax）[5]的展开式中x[3]的系数为-80，则a=______.
解析 ∵T[，4]=C[，5][3]（ax）[3]=-80x[3]，∴10a[3]x[3]=-80x[3]，∴10a[3]=-80，∴a[3]=-8，即a=-2，故填-2.
评析 利用展开式的通项公式，根据题意建立方程，求出参数的值.
六、求二项式的幂指数
例8 （2004年浙江高考题）若
展开式中存在常数项，则n的值可以是
（
）
A.8
B.9
C.10
D.12
其中（3n-5r）/6=0，即n=（5/3）r，当r=6时， n=10，故选C.
例9 （2004年湖南高考题）若
的展开式中的常数项为84，则n=______.
解析 
令3n-（9/2）r=0，得r=（2/3）n.∴n为3的倍数.
又由C[，n][r]=84，验证：n=3时，C[，3][2]=3≠84；当n=6时，C[，6][4]=15≠84；当n=9时，C[，9][6]=C[，9][3]=84.
∴n=9，故填9.
评析 此类题依条件建立指数的方程求出r与n的关系即能解题.
七、与数列、极限交汇
例10 （2004年福建高考题）若（1-2[x]）[9]展开式的第3项为288，则
（（1/x）+（1/x[2]）+…+1/x[n]）的值是
（
）
A.2 B.1 C.1/2 D.2/5
解析 T[，3]=C[，9][2]（-2[x]）[2]=288，∴x=3/2，
=2故选A.
评析 先求和再求极限，当然此题也可直接利用无穷等比数列的相关公式解答.
八、与概率交汇
例11 （2004年高考上海卷）若在二项式 （x+1）[10]的展开式中任取1项，则该项的系数为奇数的概率是______.（结果用分数表示）
解析 展开式中所有项系数依次为C[，10][0]、C[，10][1]、 C[，10][2]、C[，10][3]、C[，10][4]、C[，10][5]、C[，10][6]、C[，10][7]、C[，10][8]、C[，10][9]、C[，10][10].在这11个数中 C[，10][0]、C[，10][2]、C[，10][8]为奇数，其余均为偶数，故所求的概率为4/11.
评析 关键是找出符合要求的对象.
九、求展开式中某些项系数的和
例12 （2004年天津高考题）若（1-2x）[2004]= a[，0]+a[，1]x+a[，2]x[2]+…+a[，2004]x[2004]（x∈R），则（a[，0]+a[，1]）+（a[，0]+a[，2]） +（a[，0]+a[，3]）+…+（a[，0]+a[，2004]）+______（用数字作答）.
解析 令x=0，得a[，0]=1.（a[，0]+a[，1]）+（a[，0]+a[，2]）+（a[，0]+ a[，3]）+…+（a[，0]+a[，2004]）=2004a[，0]+（a[，1]+a[，2]+…+a[，2004]）= 2003a[，0]+（a[，0]+a[，1]+a[，2]+…+a[，2004]）.
令x=1，得a[，0]+a[，1]+a[，2]+…+a[，2004]=1，
∴（a[，0]+a[，1]）+（a[，0]+a[，2]）+（a[，0]+a[，3]）+…+（a[，0]+a[，2004]）= 2004，故填2004.
评析 此类题用赋值法能较好地解答.
[归纳领悟]
1.二项式展开式的性质：
（1）在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.
（2）如果n是偶数，则二项式的展开式的项数为奇数，且中间一项（第（n/2）+1项）的二项式系数最大；如果n是奇数，则二项式的展开式的项数为偶数，且中间两项（第（n+1）/2项与第（（n+1）/2）+1项）的二项式系数相等并且最大.
（3）所有二项式系数的和等于2[n].
（4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
2.通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在应用通项公式时要注意以下几点：
（1）在通项公式T[，k+1]=C[，n][k]a[，n-k]b[k]中，含有T[，k+1]、C[，n][k] a、b、n、k这六个参数，只有a、b、n、k是独立的，在未知n、k的情况下，用通项公式解题，一般都需首先将通项公式转化为方程（组）求出n、k，然后代入通项公式求解.
（2）求二项式展开式中的一些特殊项，如系数最大的项、常数项等，通常都是先利用通项公式，由题意列方程，求出k，再求所需的某项；有时则需先求n，计算时要注意n和k的取值范围以及它们之间的大小关系.
（3）二项式定理的一个重要用途是做近似运算：
当n不很大、｜x｜比较小时，（1+x）[n]≈1+nx.
（4）利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧.
[相关练习]
1.（2003年全国高考题）（x[2]-（1/2x））展开式中 x[9]的系数是_____.
2.（2001年上海高考题）在代数式（4x[2]-2x- 5）（1+（1/x[2]）的展开式中，常数项为______.
3.（2000年上海高考题）若（+a）[5]的展开式中的第四项是10a[2]（a为大于0的常数），则 x=______.
[参考答案]
1.-（21/2） 2.15 3.1/a