随机极限正态分布与审慎风险监测，本文主要内容关键词为：正态分布论文,审慎论文,极限论文,风险论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在险价值（VaR：Value at Risk）是银行监管中重要的风险指标。其于1996年由巴塞尔银行监管委员会推荐应用于银行交易账户市场风险最低资本要求的建模计算之中。而早在其被监管界接受、采纳之前，自上世纪90年代初，该指标已在金融业界得到广泛的关注与应用。然而，在近年牵动世界经济的金融动荡中，VaR指标集中暴露出其不足之处，其中尤为显著的问题即为：无法捕捉厚尾风险。由此，在2012年5月的《交易账户的基本反审》中，巴塞尔银行监管委员会提议使用替代性风险指标。而颇受推崇的则为：预期损失指标（ES：Expected Shortfall）。①因为作为一致性风险指标，②ES被视为至少在数学性质上优于VaR。相关学界及业界就是否应以Es替代VaR或应保留并改进VaR的问题展开了激烈的争论。 然而，为了助益于有效达成审慎监管目标，在2013年应巴塞尔委员会银行监管研讨会之邀参与相应的监管改进研究时，本文在具体指标选择之争的基础上更进一步，探讨了更为根本性的风险计量基础性概率统计模型的构建。因为，不论VaR还是ES，其计算均基于一定的概率统计模型。而一般风险测度方法中所使用的正态分布无法体现实际金融数据“尖峰厚尾”的特征，因而上述两指标也就无法有效测度风险。③ 本文利用我国随机分析与计算领域的国际领先成果创建了新的概率统计模型——随机极限正态分布模型（RLND：Random Limit Normal Distribution），以优化对厚尾风险的建模，辅助银行测算、储备充足资本以应对小概率、大危害的厚尾事件；并在此基础上提出了审慎性风险监管指标R-VaR与R-ES，从而为解决长久困扰金融监管界与实业界的厚尾风险建模测度问题提供了开拓性的理论与实证支持。不仅如此，本文所提出的新型概率统计分布模型还成功实现了国内外相关领域专家们就解决“尖峰厚尾”问题的数项设想，如：（1）将金融风险监测中经常使用的正态分布涵纳为一类特殊情况；（2）更为精准的刻画现实经济、金融数据的特征——尖峰、厚尾、非对称性。④ 二、“尖峰厚尾”问题及其对策 1.经济/金融数据的“尖峰厚尾”特性 在经济、金融领域，常用“尖峰厚尾”描述相应时间序列的分布形态。也即经济、金融数据的概率统计分布，相对于正态分布而言，常呈现出更为高瘦的峰部（higher kurtosis）、相应肥厚的尾端（fat-tail）和较小的两肩（lack of shoulders）。
图1分别利用S & P 500、FTSE 100 index和深成指数数据展示了实际金融数据分布的“尖峰、厚尾”特性。⑤其中，就风险管理尤为关注的“左后尾”而言，图中所标注各处均表明：实际金融数据的局部概率分布超出对应的正态分布。譬如，经测算：在正态分布下，5个标准差以上的收益率出现的频度约为170万天一次；但1950—2013年的S & P 500数据表明，自1950年起的16106天中，类似收益率出现了45次，约358天一次，频度为正态分布概率估计值的4748.6倍。⑥也即正态分布的概率估计明显低估了相对极端情况或较大损失的出现。这也是导致次贷危机中数家大型金融机构倒闭的核心技术原因之一。因而，解决厚尾问题对风险管理至关重要，且其对衍生品定价、乃至投资领域中的众多环节也均意义重大。 据Huang（2007）的研究，早在19世纪晚期，Vilfredo Pareto即通过收入数据发现了尖峰厚尾现象。1900年，Bachelier以数量金融的理论性方法探讨了该问题。1915年，Wesley C.Mitchell首度实证展示了商品价格数据亦具有该分布特性。而根据Mandelbrot（1963）的著述，Olivier（1926）和Mill（1927）第一次就价格数据的实证分布异于高斯假设提出了无可争议的证据。由此可见，“尖峰厚尾”问题由来已久且围绕该问题已形成颇多在经济、金融领域影响深远的论著。 2.解决“尖峰厚尾”问题的方法简介 1962/1963年Mandelbrot发表了关于厚尾问题的著名论文之后，此领域中涌现出大量的研究致力于解决这一仍未得到充分理论诠释的经济/金融现象，其中包括：时变波动率（time-varying volatility）、跳扩散模型（jumps-diffusion）、随机波动率（stochastic volatility）、隐含分布（implied distributions）、混合模型（mixture model）等等方法。然而，2007—2008年全球性金融危机在证实现存风险管理模型依然不足以有效防范风险的同时，也突出了进一步解决厚尾问题的迫切性。 因而，本文利用我国随机分析与计算领域的国际领先成就，提出了一类创新性且较为简洁有效的基础性概率统计分布模型——随机极限正态分布。不同于此前相关解决方案主要从问题的表现形式入手，RLND的模型设计不仅基于实证数据分析，而且建立在从哲学一经济学层面探究问题本源、寻求解决思路的理论基础之上。具体而言，如随机波动率模型、自回归条件异方差模型（autoregressive conditional heteroskedasticity model）等方法着重刻画波动率变化这一客观经济、金融现象的数量规律。而随机极限正态分布的构建是基于对波动率变化原因的深度反思，其深层次的经济学原理为：1921年Knight创立不确定性理论时的核心理念——变化是客观世界及商业世界的本质属性。因而，本研究利用先进的数学工具，实现了对一组连续变动规律性概率分布的模型表达设计和参数赋值。也正是因为此模型构建过程将问题的经济、金融本源纳入了考量，RLND具有了颇多非常良好的经济、金融和行为金融的属性和解释力。⑦而单就本文的研究目的而言，这一类新分布不仅可体现经济、金融数据所呈现出的核心特征，而且可将一般正态分布涵括为一种特殊情形。同时，鉴于本研究旨在从理论及实务两个层面同时助益于风险管理领域的前沿探索与监管实践，为了便于风险度量应用，经过一定形式的模型与算法简化后，与同类模型相比，RLND还具有了相当的实务操作价值。 三、随机极限正态分布及其特性 本节将介绍随机极限正态分布的理论基础、推演过程及其分布形态的主要特征。概括而言，RLND的创建基于随机计算与分析领域的前沿理论与模型工具——非线性期望理论。在此理论框架下，我们首先定义了随机极限正态函数，继而通过模型简化，推导出一般性随机极限正态分布函数。虽然，相应简化过程将削减一般性RLND对“不确定性”的量化分析能力，但鉴于本文着重研究厚尾风险建模测度问题，且为了确保相应风险测度计算更加简便易行，所以将在后续研究中另行集中探讨风险管理中的另一关键性问题：不确定性。 1.非线性期望理论简介 1999年，4位著名法国数学家Artzner et al.（1999）重新审视了线性风险概率统计模型，通过引入相容风险测度（coherent measures of risk）的概念探讨了纳入“不确定性”的风险模型，从而引入了一种特殊的非线性概率统计模型——次线性概率统计模型。此后，Peng（彭实戈）（2004，2005）和Denis & Martini（2006）分别从期望和概率两个角度对包含波动率不确定性的模型进行了各自独立的研究。⑧此后，Peng引入了时间相容次线性期望，即：G-期望（标示为：
[·]）；并在此框架下定义了新的布朗运动：G-布朗运动；继而，推导了相应的Ito随机计算；给出了由G-布朗运动驱动的随机微分方程和倒向随机微分方程等理论结果。⑨因而，本文将在Peng较为完善的理论框架下推导随机极限正态分布模型。 近年来，非线性期望理论在国际经济、金融界的影响愈发显著，颇多世界知名学者认为：其不仅是数学领域的一项重大创新，同时将成为推动经济、金融众多领域深刻变革与长足发展的一项重要技术理论与工具，尤其是在金融风险测度与管理领域。 2.随机极限正态分布模型 （1）G-期望理论框架下的随机极限正态函数 随机极限正态函数的推导基于非线性期望理论框架下的G-热方程。⑩该热方程描述了非线性期望理论框架下一类随机变量概率分布函数的核心特征。由非线性期望理论及式（1）可知，该热方程与表征随机变量变化速度的二阶导数密切相关；进而，为了增强其对随机变量的描述力，通过在一般性G-热方程基础上加入表征随机变量状态的h函数和g函数，即可得如下热方程：
也即，当函数u（t，x）的两自变量分别为：t=1；x=0时。 另：在特定条件下，如h（y），g（y）为常数或在下例中时，
(y)即可为分布函数。 （2）简化了的、一般性随机极限正态分布函数 在如上对非线性期望理论框架下随机极限正态函数的界定中，若令
，即可得简化了的随机极限正态函数，其具体定义如下： 对于给定概率空间(Ω，
，P)中的随机变量X，
(·)为：
同样可知，在特定条件下，该函数可为分布函数。 如，当EX=0，
，且： （1）h为（-∞，0）上连续递增、[0，+∞]上连续递降函数，或：
(·)即为随机变量x的分布函数。其中，与条件(2)所对应的分布函数可标记为
，即为后文中集中探讨的一般性随机极限正态分布。（13） 3.随机极限正态分布的属性：厚尾，尖峰，非对称 在推导、构建了一类新的概率统计分布模型之后，需验证其描述实际金融数据的有效性。同时，为了验证其适用范围，需用RLND同时对综合性金融数据与微观企业数据进行拟合分析。（14）本研究已基于如下数据实现了模型验证：Dow、NASD、RU2K、FTSE 100 index、DAX Index、Bloomberg European 500 index、Niklkei 225 stock average、Hang Seng Index、上证指数、深证指数、WTDI、RU3K、FINL等综合性金融资产价格指数数据，以及Citigroup、Exxon-Mobil、GE、GM、Pfizer、Wal-Mart、爱使股份、豫园商城、万科A、深康佳A等50多家世界主要金融市场上市公司的股票价格数据。（15）文中将仅选取其中具有代表性的综合性数据S&P 500和上证指数以及微软公司数据集中说明RLND模型的有效性。而且，为了更加清晰、明确的诠释RLND对实际金融数据的描述力，第86～88页的图2、3、4还将比较一般正态分布、混合模型、隐含分布与随机极限正态分布的不同数据拟合度。（16）同时，如前文所及，风险管理尤为关注厚尾问题，所以，该组图还分别重点呈现了各相关模型基于不同数据的尾部分布。 在图2、3、4中，平滑线表示原始数据；标记线则为拟合分布概率密度曲线。图2-1的分析基于1950—2013年S & P 500日收盘数据。其中图2-1-A为正态分布与该数据的拟合图示与参数列表。由该图可知，正态分布无法精准刻画实际金融数据的形态：峰高仅占实际数据概率密度分布函数峰度的67.3%；而正态分布在[-0.0265，-0.0075]和[0.0063，0.0275]两区间上的分布较实际数据密集，体现出较厚的“两肩”；同时，通过图2-2-A、B可知，在[-8σ，-3σ]区域内，也即分布的尾部，正态分布又无法有效估计小概率、大损失情况发生的概率，具体表现为：代表原始数据的平滑线时常位于代表正态分布的标记线之上且两者之间偏差显著，也即正态分布的概率估计明显低于该区域实际数据的概率密度分布。而另一方面，图2-1-B则清晰的展示了RLND与实际金融数据的较好拟合。RLND充分描述了实际数据的高峰性质（lepokurtic）。尤其，如图2-2-C、D所示，此类新型概率统计分布密度函数可在微小偏差下实现对厚尾分布的全面覆盖。体现在图中即为：标记线以微小偏差高于平滑线，或者两者基本重合。概言之，RLND系统性呈现出了实际金融数据尖峰、厚尾的重要特征。与此不同，图2-3则展示了，混合模型和隐含分布其实亦无法很有效的刻画数据的尾部形态。
图3与图4则在我国主要金融市场数据和国际重要微观金融数据的基础上再度证实了随机极限正态分布模型的各类优良属性，在此不再赘述。 上述实证检验与比较分析较为充分地展现了随机极限正态分布的“尖峰”与“厚尾”属性，然而因为代表性数据在考察时域上的客观分布特征，未充分体现模型所可能具备的“非对称”性质。虽然文章旨在优化厚尾风险计量建模，“非对称”性并非关注重点。但该属性在衍生工具定价与行为金融等领域同样具有相当的研究价值，所以如下简要说明RLND模型对其的描述力。图5即为在不同参数取值情况下的图形模拟。其中，左图展现了左倾非对称；而右图显示了右倾非对称。两图中的实线与虚线分别代表
、
两参数绝对值的差额绝对值为4与8时的概率密度分布曲线。可知，当参数
与
的绝对值取值差异增大时，分布曲线的非对称性也越显著。 四、随机极限正态分布下的VaR与ES 如引言所述，本文旨在通过首先重建核心风险指标测算所依据的基础性概率统计模型，继而在新模型的基础上重塑此类风险指标，以实现对金融风险更为审慎的测度。在上节中，文章已推导、引入了一类新的概率统计分布模型：RLND，并证实其能够更好呈现客观金融数据的重要特征。因而，本节将在RLND的基础上完善金融风险管理领域的两个重要指标：VaR和ES，并基于实际金融市场数据比较指标优化前后的风险测度差异。 1.R-VaR与R-ES的定义与模型 本文将基于随机极限正态分布概率统计模型的VaR与ES简称为R-VaR与R-ES。根据Jorion（1996）对传统线性概率空间（Ω
，p）中VaR的界定，R-VaR可定义为： R-VaR=E[ξ]-ξ*
其中，ξ与E[ξ]分别为相应金融资产的期末值与期望，ξ*则为该资产在置信水平α为时所对应的最小期末价值。 且，若令
为资产的初始价值，R为一定时期中的资产收益率，R*是置信水平位为α时的最低收益率，则有：
进而可知：
若令μ为一定时期中资产收益率的均值，β为与置信水平α相对应的收益率与μ的偏离值，则有R*=μ-β。继而，可得：
同时可知，R-ES可定义为：
其中，α依然为置信水平；r为收益率；f（r）为相应的概率密度函数。 虽然风险指标的模型表达相似，但是与一般线性概率空间中基于正态分布等概率统计模型的VaR和ES不同，R-VaR与R-ES的计算所依据的基础性概率统计模型为随机极限正态分布，因而相对应的数值实现方法也迥然不同。 2.随机极限正态分布与一般正态分布下风险测度的比较分析 基于前文实证分析中所用数据：S & P 500指数、上证指数和微软公司股价数据，表1、2、3对比分析了不同概率分布模型下同一风险指标的不同审慎程度，且分析的数量结论也反映出巴塞尔银行监管委员会提议以ES替代VaR的主旨所在。 以表1为例，当置信水平为95%时，VaR值为-0.0215，而R，VaR的数值则为-0.0240，两指标呈现出不同的风险测度值。这一差异意味着，对于US
10M的投资而言，VaR与R-VaR的损失测算及相应的应对储备分别为：US
-212，705.23与US
-237，142.90，转换为年度性数值即为：US
-2，905，941，34与US
-3.183，570.32。由此可知，R-VaR是比VaR更为审慎的风险测度指标。而在99%的置信水平下，R-ES的绝对值超过ES绝对值114.8997%，表明每US
10M投资所对应的预期损失与损失储备相差US
379，584.95。而正如前文分析所及，R-VaR、R-ES与普通的VaR、ES之所以对同一资产标的的风险有着不同的测度，是因为它们基于不同的概率统计分布模型。正是因为RLND模型更能体现实际金融数据的厚尾特征，所以其更加有利于厚尾风险建模和审慎性风险监管。而且，由于RLND较为精准的估算了实际数据中尾部事件发生的概率，所以其能够在实现对风险稳健（robust）测度的同时，以不过度防范的方式兼顾金融市场的效率。 而就2012年5月《交易账户的基本反审》所提出以ES替代VaR的问题，表1、2、3的数据分析亦体现出了此审慎监管意图。如表2所示，即使就基于正态分布的风险测度而言，在95%的置信区间上，ES值为-0.0337，而VaR值仅为-0.0260。简言之，ES通过将厚尾事件纳入考量，从而实现了对风险更为审慎的监管。 本文是在近年来世界经济领域在金融风险管理和控制方面出现了较大问题且实体经济在金融动荡中不断受到恶性冲击的背景下立题的。因而，其研究目的是致力于探讨世界经济、金融平稳发展中务需攻克的问题；研究内容属于当前国际相关学术界致力于探索和实现理论突破的前沿问题，以及国际相关政策界亟待实现监管实践创新的领域。
由于深刻地认识到现行主要风险指标（如VaR等）难以有效测度风险的一个重要原因在于其所赖以实现风险测度的基础性概率统计模型无法充分概括现实金融数据的核心特征，所以，基于彭实戈院士所创建的非线性期望理论，本文提出了创新性的概率统计分布模型——随机极限正态分布。该模型不仅将金融风险监测中所经常使用的一般正态分布涵纳为一类特殊情况，而且更为精准地体现了现实经济、金融数据的重要特征——尖峰、厚尾、非对称性。同时，为了从理论和实务两个层面同时助益于风险管理领域的前沿研究与监管实践，通过有效的模型简化，RLND具有了相当的实务操作价值。进而，基于此创新型概率统计模型，文中重塑了核心风险指标VaR和ES，并基于实际金融市场数据证实优化了的风险指标可在兼顾金融市场效率的同时实现对风险更为审慎的测度与防控。 如前言所述，本文在应邀参与相应国际研究的过程中，旨在实质性改进与完善相关的银行监管方法。因而，RLND模型及相应审慎性风险测度指标有望成为优化银行交易账户市场风险资本计算、信用风险资本计提等监管方法的重要技术工具。不仅如此，除监管应用外，在金融实业界，相应的模型及风险指标创新还将切实辅助银行等金融机构实现对风险的有效识别、计量、监测与防控。而且，正如“尖峰厚尾”问题在经济、金融领域存在的普遍性所揭示，此创新型概率统计模型还将有助于金融资产定价、衍生品创新、金融市场有效性分析等等领域的发展。 此外，2012年6月欧洲证券及市场管理局（ESMA）展开了对Moody's、Standard & Poors以及Fitch三大国际评级公司的调查。与此同时，欧盟宣称将建立自己的评级公司，以打破美国评级机构对世界金融市场的疑似“操纵性”、垄断性影响。值此之际，本文在我国随机分析与计算领域前沿研究成果的基础上提出具有创新性的、审慎性风险测度模型，以期有益于我国风险评估与管理技术的储备。 非常感谢匿名审稿人的意见和建议。当然，文责自负。 附录：G-期望的相关主要理论 如前文所及，Ω为一给定的随机事件集合；
是定义在Ω上的实值函数的线性空间，同时假设
包含常数且若X∈
则│X│∈
。 定义1.1
为一个次线性期望，有
：
→R满足：
如下，我们将在首先给出检验函数空间
的定义之后，界定次线性期望下随机变量的同分布和独立。
为由满足以下条件的函数φ所组成的线性空间：
其中：C＞0，m∈N依赖函数φ的选取。
对应的热方程为：
①详见Basel Committee on Banking Supervision（2012）。 ②一致性风险指标应满足单调性、次可加、正齐性和保常性（Inui and Kijima，2005）。 ③就此问题，相关理论界及业界在持续寻找、试用替代性分布模型，部分重要进展请见后文中的简介。 ④相关文献如Stoyanov et al.（2011）等。 ⑤数据来源：Wind资讯。已对各指数日收盘数据作对数收益率计算处理。 ⑥图1中，S & P 500数据：u=2.9238e-004，σ=0.0097；FTSE 100 index数据：u=2.5203e-004，σ=0.0112；深成指数数据：u=3.7997e-004，σ=0.0225。 ⑦囿于篇幅，对相关内容的系统性介绍这里不再展开。 ⑧多年后Denis et al.在一定条件下统一了此两种框架，详见Denis et al.（2011）。 ⑨详见Peng（2007，2008，2010等）。 ⑩关于G-期望理论相关内容的简介请参见附录，详述请见Peng（2007，2008）、Hu et al.（2014a，2014b）等文献。 （11）相关参数赋值均可通过数值拟合获取。
（13）RLND模型参数估计的基本方法为条件最小二乘拟合法，此处不再赘述。 （14）关于拟合检验方法可参见梁小筠（1997）等。 （15）数据来源：Bloomberg与Wind资讯。 （16）如前文所及，致力于解决“尖峰厚尾”问题的方案与模型为数众多，其模型构建基本原理、简洁性与实用性、实证检验效果及模型的理论解释力等方面是不同方案间横向比较的多项维度。在简要论及RLND模型独特的数学与哲学-经济学理论基础及模型简洁性等方面之后，如下将从实证检验方面说明RLND模型的有效性。而所选取的进行实证拟合检验比较分析的模型为金融业界较为常用、检验过程相对争议较少、且模型构建方法原理具有可比性的模型。另：即使就实证检验此单一评价标准而言，亦难于穷尽数量繁多模型之间的一一比较，且其相互间并非完全直接可比，感兴趣的读者可联系我们，提出某一具体模型进而探讨其与RLND模型的比较分析。
（18）简言之，当
，次线性期望即退化为线性期望。如前文所述，为了能将“不确定性”因素纳入考量，1999年4位著名法国数学家在反思线性概率统计模型的基础上率先在理论层面上提出了框架性解决思路，而彭实戈院士进而构筑了相对完善的G-期望理论体系。 （19）当时
，此方程称为Barenblatt方程。 （20）该式可通过热方程解的存在唯一性得到。
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