对圆面积公式推导教学的几点思考，本文主要内容关键词为：公式论文,几点思考论文,面积论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
［背景］
这是一节圆面积公式推导的教学课。课堂上教师让学生动手操作、自主探索，放手让学生将已分成的近似小三角形拼成一个近似已学过的图形。教师因势诱导，启发学生合作交流，对已拼成的平行四边形、长方形、三角形和梯形等，进行比较、分析、判断和推理，从而得出了“
”的计算公式。但课快结束让学生质疑时，有几个学生提出摆不出三角形和梯形。教者随即反问大家：“你们说能不能拼成三角形和梯形？”多数同学异口同声地回答：“能！”但有几位提问的学生不甘示弱地说：“不能！”此时，又有一位学生激动地站起来争辩道：“能拼成梯形，但不能拼成三角形！”大家激烈地争论起来，谁也不肯让步。教者抬手看了看表，下课时间快到，示意大家停止争论，并对少数几位提出异议的学生说：“刚才你们没有注意看老师是怎样拼的，课后再动脑筋拼拼看。”争论暂时平息下来。至于为什么拼不出来，其实学生和教师心理都没有底。
［思考］
我们知道，“圆面积公式”的常规推导思路是：先把一个圆平均分成若干份，然后将其拼成近似的长方形，最后根据长方形与圆的关系推导出圆的面积公式。随着教学改革的不断深入，圆面积公式的推导方法已趋于多样化，这对于开放学生的思维，使学生感悟知识形成的过程，体验“做数学”的乐趣，起到了引领和促进作用。但从上述教学过程来看，还有许多的问题值得我们去深思，去探讨。
思考1：将圆等分时，当小扇形（也可看成近似的小三角形）的个数满足什么条件时，才能拼成较大的三角形或梯形呢？
课后，笔者找到了这几位学生，经了解才知道拼不成三角形和梯形的原因，并不是“没有注意看老师是怎样拼的”，而是出在将圆等分成的扇形的个数上。这正是长期以来一直没能引起人们注意和重视的问题。认为将圆任意分成多少等份都可以拼成一个三角形或梯形，殊不知它是有规律的、有条件限制的。那么，将一个圆分成若干个扇形，当扇形的个数满足什么条件时，才能拼成较大的近似的三角形和梯形呢？
(1)先研究拼成（等腰）三角形的条件。我们观察图(1)（为画图方便，用小等腰三角形代替扇形）。观图可知，如果将每层小等腰三角形的个数依次排列起来，就是一个首项为1，公差为2的等差数列。在这个等差数列中，设
，项数（层数）为n，前n项的和为
（小等腰三角形的总个数），则有：
附图
也就是说，当一个圆等分成的扇形个数是一个完全平方数时，(
)，才能拼成一个近似的三角形。（证明略）
附图
附图
现在我们再回过头来讨论以上课例中学生的争论。多数学生以及老师都是按课本将圆分成16个扇形的（教材上就是这样分的），由于
，所以既能拼成三角形，也能拼成梯形。而提问的那几个学生是将圆切成18个相等的扇形，18不是完全平方数，也不能表示为两个自然数的平方差，所以无论怎样“再动动脑筋拼拼看”，也总是拼不成三角形和梯形的。有一学生将圆分成了24份，24不是完全平方数，但能表示为两个自然数的平方差：
，所以不能拼成三角形却可拼成梯形。
思考2：不用“拼摆”就推不出圆面积公式吗？
在长期的教学中，“等分圆并把圆转化成学过的直边图形”进行推导圆面积公式，不仅形成了共识，而且以“等分”为切入点来推导圆面积公式已是顺理成章的教法。笔者在长期的教学实践中发现，不用“拼摆”也能推出圆面积公式。如：
(1)等分圆后，不少学生不用这些大小相等的近似小三角形去拼成已学过的图形，而只用其中一份就推出了圆面积公式。即：如果把圆等分16份，那么一份所占的面积就是整个圆面积的
总之，教学圆面积公式，笔者认为应从“学生会怎样想”的现实水平出发，让推导过程自然生成。不管学生是将圆转化成学过的各种图形进行“先分再拼后推”（要注意等分的个数），还是采取“不拼摆直接推导”，都应给予充分肯定。只要是学生经历了知识的产生和发展的过程，体验到学习是一种快乐的活动，就不必局限于哪种方法。但作为教师事先一定要钻透教材，注意“下水实践”，做到心中有底、有备而教，做到预设和生成相结合。避免“拼不出”和“推不出”的情况发生，以免学生对数学知识的真实性和科学性产生怀疑。为此，新理念的贯彻落实，假若没有教师知识水平和教学能力的支撑，再美好的新课程改革和设想，必将是一句空话。