摘要：本文分析了斐波那契数列，目的是为了强化了数学应用意识。希望能给各位同仁带来帮助。
关键词：斐波那契数列；数学应用意识；教师；学生
斐波那契(Fibonacci，约1170~1250)是意大利数学家。公元1202年，他写完了《算盘书》，首次将先进的十进位制的印度—阿拉伯数码计数法引入意大利，对欧洲数学产生巨大的影响。书中记载一个有趣的问题：“有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对兔子，便筑起一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月就开始生儿育女，并且此后每个月生一对小兔。问一对刚出生的兔子，一年会后围墙里有多少对兔子。”当然，这个题目里有若干假定：兔子们有充分的营养和生存空间；每对兔子都没病没灾的健康成长；没对兔子都有连续生育的能力和兴趣；每次生下的兔子都是一公一母的一对等。
观察结果：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，283。
显然一年内一对兔子能繁殖成283对！在解决这个有趣的代数问题过程中，得到了一个数列—1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……1876年，法国数学家吕卡将生小兔引发的数列正式命名为“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。斐波那契数列有很多有趣且“神秘”的性质，你能发现斐波那契数列 的哪些性质呢？
性质1： ；
其中第一个式子恰好是著名的黄金分割比，说明斐波那契数列与黄金分割具有先天性的关系，第二个式子是黄金分割比的倒数，不仅如此，它还与金字塔有关，金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三层，而塔的高度和底部的比是0.618。四种最美矩形的长宽(5，8)、(8，13)、(13，21)、(21，34).
细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、金凤花、百合花、蝴蝶花。斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。
斐波那契数列与幻方还有一定的联系。在斐波那契数列中，从第三项起的连续9个数3，5，8，13，21，34，55，89，144依次替换3阶幻方中的1~9时，形成一个新的方阵(如下图1、2)。这一方阵虽然不具有幻方的通常性质，但它3个行的乘积之和(9360+9240+9078=27678)等于3个列的乘积之和(9256+9072+9350=27678)。
图1 图2
可见，一个“养兔问题”竟揭示了大自然的一个普遍存在的奥妙！
参考文献：
[1]王青建.数学开心辞典[M].北京：科学出版社，2008.
[2]教育部师范教育司组编.张思明与数学课题学习[M].北京：北京师范大学出版社，2005.
注：本文系陕西省中小学、幼儿园贺建勋教学名师工作室课题“数学意识及数学应用习惯的培养研究”(课题编号：mskt1556)阶段性成果。
(作者单位：陕西省靖边中学 718500)
高中数学探究式教学的设计与实践
李永溪
摘要：目前,新课标体制下有关探究式教学的研究相当广泛，但在新课标内容中，能否正确理解学科教学和“问题式”、“自主式”、“计算机辅助式”、“合作式”探究式学习的关系，是目前迫切需要研究的一个问题。这些教学模式能为学生构建一种开放的学习环境，提供一个多渠道获取知识的机会，使学生形成一种对知识的主动探求。因此，在数学教学中充分挖掘教材，开展探究教学模式的研究显得尤为重要。
关键词：高中数学；探究式教学；设计与实践
探究式教学，具体说就是指教学过程在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识运用于解决实际问题的一种教学形式。由此可知，探究式课堂教学是教师和学生双方都参与的活动，他们都将以主导和主人的双重身份进入探究式课堂。
一、“问题式”引导探究，培养学生的问题意识
“问题式”引导探究教学，是一个以问题为中心引导探究的过程、也是一个开放的过程。“问题式”引导探究是在教师启发引导下，或教师改问或学生提问， 让学生亲自探索、体验知识形成过程，从而解决问题得出结论。因此，采用“问题式”引导探究教学，可充分发挥教学过程中教师的主导作用和学生的主题作用，从而有利于培养学生探讨问题的意识。
案例 1：已知等差数列 5， ， ，???的前n项和为Sn，求使得Sn 最大的序号n的值。
分析：等差数列的前n 项和公式可以写成 ，所以Sn 可以看成函数 。当x=n 时的函数值。另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的一些点。因此，我们可以利用二次函数来求 n的值。
此题的解决对大多数学生目前的认识结构是没问题的，但是只是着眼于解题的结果就失去了这个例题的价值，也就没有吃透新课标编排这个例题的本意。事实上我们可以引导学生作如下探究：
问题1：这个等差数列是递增数列还是递减数列？
问题2：这个等差数列前几项是非负的？从第几项开始是负的？如何确定？
问题3：要使这个等差数列的Sn 最大只要前面的哪些项相加？
问题4：如果这个等差数列改为-5， ， ???你能研究和解决类似的问题吗？
通过以上几个简单问题的探究，学生对此类问题的求知欲望进一步提高，抓住学生的好奇心，继续探究下面的这种解法的规律：
问题1：当等差数列 { an } 的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值？可通过什么来求达到最值时的n 的值？
问题2：当等差数列{ an } 的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和有怎样的最值？可通过什么来求达到最值时的n 的值？
案例1从学生认知结构的角度由浅入深设计问题，在解决实际问题过程中通过情境的探索, 不断产生新问题；已解决的问题又成为提出新问题的情境, 从而引发在深一层次上去提出问题，进而去解决问题，最终达到问题解决。
二、“自主式”引导探究，培养学生科学推理能力
“自主式”引导探究，是指学生在学习过程中自主学习讨论为主、确定并完成某一问题的研究。只有还给学生学习的“自主权”，才能真正发挥学生的主动性，“自主式”探究教学方式是实现学生主动参与教学的重要途径。
案例2：必修1 第 30 页的函数的单调性的探究问题：画出反比例函数y = 的图像。
①这个函数的定义域I 是什么？
②它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。
教师指导学生探究，并及时作出概括和评价。从表面上看，这个探究是比较容易完成的，结论也很清晰。但是要引导学生真正领会探究的意义和价值则还需要在教学中对这个问题进行自主探究的设计。
问题1：你能说函数y = 是减函数还是增函数吗？
问题2：函数y = （k>0 ）又具有怎样的单调性？
引导学生画出上面问题的大致图象，通过观察图像，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，这是发现和解决问题的一种常用数学方法。接着引导学生利用这种先猜想，后证明的方法讨论下面的问题，强化学生自主探究的成功感：
问题 3：那反比例函数y= （k ≠0）的单调性又怎样呢？
问题4：请运用上述单调性的方法进行函数y = x + （x ≠0 ）的单调性的研究。
三、“计算机辅助式”引导探究，培养学生的实践能力
高中数学课程应发挥信息技术与课程内容的有机整合，两者的整合不但有利学生认识数学的本质，而且有利培育学生求知、进取的探究精神。例如：在教高一函数部分内容时，发现学生对平移交换，翻折交换等知识点难理解，只会死记硬背。我们可以设计如下过程进行教学。
案例3：函数y = f(x) 的图像与y = f(?x)、y =?f(x)、y =f(｜x｜) 、y =｜f(x)｜的图像之间的关系如何？
利用计算机(用几何画板)进行特殊化研究的尝试如取y =f(x)=2x 与
y =f(x)=2-x，学生会发现图象关于y 轴对称得到的。按照类似的过程，可以得到它们之间的图像关系如下：
① y=f(x)? y=f(?x):将函数y =f(x)的图象关于 y轴对称得到的新的图像就是y=f(?x) 的图像；
② y =f(x)? y =?f(x):将函数y= f(x)的图象关于x轴对称得到的新的图像就是y=?f(x) 的图像；
③y = f(x)? y=|f(x)|：将函数y = f(x)的图象在x 轴下方的部分对称到x 轴的上方，连同函数y =f(x)的图象在x 轴上方的部分得到的新的图像就是y=|f(x)|的图像；
④y = f(x) ? y=f(|x|):将函数y= f(x)的图像在 y轴左侧的部分去掉，函数 y=f(x)的图象在y 轴右侧的部分对称到y 轴的左侧，连同函数y= f(x) 的图象 在 y 轴右侧的部分得到的新的图像就是y= f(|x|) 的图像。学生根据上面的图形已经对函数的图象变换已经有了初步的认识，根据学生的探究欲望接着下面的问题：
问题 1：函数y = f(x+m)、y= f(x)+n , y=f(｜x｜)、y =｜f(x)｜的图像之间的关系如何？
问题2：y =f(x)与y= f(x+m) +n 、y = f(kx)、y= kf(x)的图像关系。让学生对研究过程反思、通过反思，认识到利用现代信息技术研究数学问题方便简洁、效果好。学生经历了数学的建构过程，才能更深地理解数学的本质。
四、“合作式”引导探究，丰富情感体验
学会与学生合作、交流是课堂教学成功的手段之一。课堂上始终保持着民主、平等、活跃的气氛，学生在不同见解而引发的争论中，老师认真的倾听、理解、支持同学的意见，使学生在心理上有自我激励、自信心增强的体验。知识和技能目标是硬性的、可以量化的，而过程和方法、情感态度和价值是隐性的，是无法量化的。合作式探究课堂教学为“隐性”教育目标提供了平台。
案例4：新教材必修1 奇函数、偶函数的定义：
一般地，对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f(?x)= f(x)，那么函数f(x) 叫做偶函数；对与函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)=?f(x),那么函数f(x)叫做奇函数。
这里老师教学可以展开如下合作式探究 ：
问题1：奇函数、偶函数的定义域有什么特征？
问题2：如果奇函数、偶函数有图象，则其图象有什么特征？
问题3：既是奇函数又是偶函数的函数存在吗？如存在请举具体例子。
问题4：判断函数奇、偶性的方法有那些呢？
问题5：如果一个函数是奇函数或偶函数又有什么性质呢？
问题6：如果奇函数在原点有定义又有什么性质呢？
案例4学习过程体现了学生对课本中定义、概念不要死记硬背，对数学概念的形成过程和本质进行研究，养成对每个定义概念进行理解、反思类比的好习惯。
总之，新课标体制下数学教学中，我们教师要激发学生的学习动机、激励学生去取得成功，重视思维训练，发挥学生的主题作用；培养学生的探究意识和探索能力是长期的、日集月累的，应融入日常的课堂教学之中；培养学生主动参与、乐于探究、合作与实践的意识和习惯，切实提高学生的实践能力和创新能力，使学生获得可持续发展的动力。
(作者单位：福建省南安市龙泉中学 362300)
论文作者:赵世念
论文发表刊物:《中学课程辅导●教学研究》2017年1月上
论文发表时间:2017/3/3
标签：函数论文; 学生论文; 数列论文; 等差数列论文; 图像论文; 数学论文; 图象论文; 《中学课程辅导●教学研究》2017年1月上论文;