数学学力及其培养，本文主要内容关键词为：学力论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本轮课程改革初期，数学学力曾被许多专家和教师关注，然而10多年以后，它似乎很少被人提起.但我认为，在课程改革不断深入的今天，数学学力培养依然应该是教学目标与教学设计的核心. 一、数学学力的理解 “学力”一词，早在中国古代就有论述，但作为一个现代教育科学研究的关键词则主要来自于日本.根据日本教育学者的研究，所谓学力，是指作为学习主体的学生借助学校内外的学习过程所习得的能力的总体.日本的学力概念远远超越了“双基”范畴或“学业成就”的范畴，比“学业成就”更能全面反映学生的学习能力.在我国，也有很多学者提出过对学力的理解，其中最有代表性的是钟启泉教授，他认为：学力是作为教学成果的知识与能力，大体有四个组成部分：①关心、动机、态度；②思考力、判断力；③技能；④知识、理解.还有学者认为：学力是学习能力和知识水平的简称，基础知识和基本技能是构成学力的基本要素，但它还包含更重要的在接受、理解和运用知识等方面的能力. 我认为，从小学数学教学的角度，学力关注与培养的重点应该在中高年级，核心是数学基础知识与基本技能的掌握，数学概念与方法的理解与应用，数学的思考、判断和想象力，解决真实数学问题时表现出来的能力与创造性等.“数学学力”有别于“数学学业”，后者是对“教”或“学”的结果作出一个判断，一般较多地关注知识与技能，关注规则、方法、公式等现成知识的运用，是对“过去教学情况”的判断.而前者，把知识技能看作是发展的基础，更关注应用知识解决新问题以及问题解决过程的思维方式与方法，关注对问题的分析、建模、解释与评价的能力，关注对问题的创新性解决，因而这种判断是对学生“未来发展潜力”的判断.由此可见，无论从数学教学的目标还是从数学课程标准（2011年版）的精神来看，关注数学学力都是关注了数学教学的核心. 二、小学数学学力的培养 小学数学学力的培养应全面关注基础性学力和发展性学力两个层次，基础性学力的重点是知识记忆与规则掌握、概念方法的理解与运用，发展性学力应该包括对知识规律的分析表征能力、综合应用解决数学问题的能力、空间想象和正确推理的能力以及解决真实问题时表现出来的创新思考能力等. 1.基础性学力 （1）知识记忆与规则掌握. 严格地说，在一个人的数学知识结构中，纯粹属于记忆而无需关注理解的机械性知识是极少的，所谓的知识记忆，一般都是基于必要的对原理、意义的理解之上的记忆，而不是机械的.在数学教学中这样的知识主要有：计算法则、几何形体的基本特征、数学概念的语言表述、几何变换与运动方式的识别等.这些知识是能力的基础与生长点，让学生牢固掌握是必需的，否则学力的培养便失去了基石. 例如，下面四幅图中图形的变换，（ ）是平移.
像这样的问题，是最基础的变换特征的识别，学生应该有扎实的基础. 事实上，教学中对于知识记忆需要关注两个层次：上述例子是最基本的层次，即形状特征的直观再现或语言表述的直接回忆；第二个层次是在记忆的同时能体会知识的实质，即记忆要关注“核心”，带有理解性，在知识记忆中，这个层次是更为重要的. 例如，面积单位“1平方分米”的意义是（ ）. 在这里，记忆“1平方分米”的语言表述是基础，更重要的是要理解“1平方分米”是一个面积单位，“面积”的本质是平面的大小，即知识记忆中要关注的核心是“大小”. 另外，规则是数学学习的重要内容，是技能的依据，也是能力的基础.运算的顺序和步骤，计量单位的改写与换算，解方程的过程与步骤，图形的周长、面积和体积的计算等，都是重要的数学规则，教学中必须非常重视，以使学生拥有良好的基本技能. （2）概念方法的理解与运用. 理解是知识技能走向应用和能力的必经之路.理解的重点是概念，也包括一些规律和方法，理解的核心是能正确把握概念的数学本质和相互关系，理解的表现是能将概念内化为自己的经验，能在变式状态下分析、把握实质，作出正确的判断，基于理解的判断过程是一个数学分析过程而不是一个表象或概念语言的简单比对过程.数学教学中的概念理解同样要关注两个水平层次：第一个层次是对单一概念的内涵本质的理解，是理解的基础；第二个层次是对概念之间关系的把握，是理解的重点. 例如，下图中的阴影部分用分数表示是（ ）.
这是对分数意义的变式呈现，对促进学生深化概念理解很有意义.同时，要有意识地促使学生对概念的理解达到更高的水平，即促进学生对数学对象之间的关系或多个方法要素分析等非单一问题的分析与理解，尤其是可适当呈现不同于教材的方式的情境，让学生实现真正的本质理解与分析判断，使数学学力得以真正提升. 例如，下面说法中，（ ）是梯形. （A）将平行四边形的一条边延长后得到的四边形 （B）有一组对边平行的四边形 （C）只有一组对边平行的图形 （D）特殊的平行四边形 这样的概念理解，以非典型的方式呈现，是建立在关系之上的思考，而不是纯粹的概念语言记忆与比对，需要更多的对本质与关系的分析来支持.对促进学生加深对以“属+种差”方式定义的概念的内涵结构的理解有很好的促进作用. 数学理解还包括对计算方法和公式等的全面理解，使学生对公式、方法的掌握得到丰富的意义支持，并在应用时因为理解到位而能实现灵活变通. 例如，一个长方体形状的玻璃缸，长、宽、高分别是30厘米、15厘米和20厘米，里面有一些水，一头抬高以后里面水的形状如下图右侧所示，抬高这头的水面正好与底面的宽重合，另一头水面离上口沿4厘米.这些水的体积是多少？
解答本题的基本方法有两种： ①20-4=16（厘米），30×15×16×
=3600（立方厘米）. ②20-4=16（厘米），30×16×
×15=3600（立方厘米）. 仅从解决问题的结果看，这两种方法不分伯仲，但从思维过程来看两者有很大的区别：方法①将抬高后水的形状看成是一个长、宽、高分别是30厘米、15厘米和16厘米的长方体的一半，即底面在下面；而方法②则发现抬高后水的形状是一个底面是直角三角形、高是15厘米的直棱柱，即底面在旁边.从思维的灵活与变通来看，课堂教学中应该引导学生有更多的类似方法②的思考，因为它表明学生对“长方体的体积=底面积×高”中的“底面”和“高”的理解是基于本质和全面的理解，而不是受到字面和狭隘的生活经验的影响，避免“底面”应该在下面、“高”应该是竖直的这样的负面定势.事实上，一个长方体的任何一个面都可以看作是底面，而与它垂直的任何一条棱都可以看作是高. 2.发展性学力 （1）分析表征. 分析表征是指能够发现数学对象及其变换的本质特征，或者数学对象之间的内在关系与结构，并能用数学方式表示出来.这是一种数学能力，这种能力反映了学生对本质与结构的把握水平，是数学学力的核心内涵. 例如，下图表示的是李航年龄与身高的关系.如果用h表示李航的身高，用
表示他0～5岁阶段平均每年长高的厘米数，用
表示他15～20岁阶段平均每年长高的厘米数，请你选择：他4岁时的身高是（ ）厘米；他18岁时的身高是（ ）厘米.
这样的问题情境：第一，数量关系适度复杂，每一个身高数都是两重数量关系的复合；第二，所有的关系需要学生从统计图中深入分析才能获得，而不是直接告知.在这样的情境下，用字母表示数就需要学生有一定的数量关系分析和洞察的能力，有利于培养学生独立分析和表征能力，提升数学综合学力. （2）综合应用. 一般情况下，在综合应用知识解决问题方面要关注两个侧重点：一是以“倍数关系”为基础的问题及其发展变化系列；二是以“两积之和”为基础的问题及其发展变化系列.无论是中低年级基于整数的“和倍”、“差倍”问题，还是高年级基于小数、分数、百分数的问题，本质上都属于“倍数关系”的范畴；而相遇问题、鸡兔同笼问题和工程问题等则属于“两积之和”的逆向系列.教学中要让学生学会寻找数量间的对应关系，有手段、有办法分析这种对应关系. 例如，实验小学与光明小学参加少年宫组织的“汉字听写比赛”，第一轮实验小学的得分是光明小学的2.4倍，第二轮实验小学比光明小学少得21分，结果两个队两轮总分相同.那么，第一轮每个队各得多少分？ 如果学生能够用下面这样的直观图分析数量之间的关系，则问题中最重要的“差—倍”对应关系就能被清晰地发现，从而有效地解决问题.
同时，学生在综合应用知识解决数学问题的过程中，如果问题中的数量关系比较复杂或比较隐蔽时，要引导学生确定标准，学会对数量关系进行合理的转化，使对应关系更加明了、直接与清晰. 例如，有两个相同的长方形按图（1）放置，现在将这两个长方形同时向左右方向平移至图（2）所示.问每个长方形的长是多少厘米？
这个问题情境简单但关系隐蔽，以图形的方式呈现，但实质是数与代数的问题.以下便是几种主要的解法：
②84÷（4×2-1）=12（厘米），12×4=48（厘米）； ③84÷（3×4+4×2+1）=4（厘米），4×（3×4）=48（厘米）. 这些方法的共同特点是进行上下两部分关系的转化，或者转化成为比例（分数）关系，或者转化成为份数，于是数量关系便清晰可见，这种转化能力正是数学学力培养所要大力关注的. （3）想象推理. 想象与推理都是重要的数学能力，都是数学课程标准（2011年版）提出的核心数学素养，两者往往是不可分割的，因而是数学教学的重要目标.一方面，想象与推理是融合在平时的数学学习中的，只有平时在教学中这方面的目标不落空，相应的学力才能得到提升，尤其是学生在综合应用知识解决问题时，是不可能离开想象与推理的，否则问题不能得到很好的解决.另一方面，教学中也需要以有效的材料为载体，来促进学生想象与推理能力的提高. 例如，下面图（1）是一个正方体，每个面上的图案各不相同.这个正方体通过翻滚以后，变成了图（2）的样子，那么，空白的两个面上的图案是怎么样的？请你画出来.
这样的问题，既有想象，又需要根据图案特征与关系进行推理，因而解决问题的过程就是一个能力得到有效训练的过程.这样的思考经历，在解决问题的同时还能促进思维的严密与精细.事实上，这些思维要求恰恰是学生解决问题过程中的弱点，当需要运用想象、推理及其他知识与方法严谨地解决问题时，学生的学力水平差异就会表现得更明显.以下的测试说明了这一点： 下图是一个模型，如果每个正方形的面积是1，这个模型的表面积是（ ）. （A）22 （B）35 （C）42 （D）44
测试的平均得分率是68.3%，选择A、B、C三个迷惑项的错误都属于在思维的严谨与精细上的不足.这些问题告诉我们，在想象与推理的教学中，我们还需要关注更具体的策略与方法的落实. （4）创新思考. 创新思考是数学教学和学力培养的终极目标之一，同时也是目前学生发展中最弱的方面.学生创新思考能力的培养可以从以下两个方面入手. 一是在保证一般习题训练的基础上适度呈现一些真实的问题，让学生能够充分利用并分析有效的信息，突破思维定势，判断出问题的核心与实质并做出决策，顺利地解决问题. 例如，小张参加环湖公路自行车赛，出发一小时以后，教练才想起忘记给小张挂上号码牌了，立刻开车去送号码牌给小张.已知环湖公路全长135千米，小张每小时骑36千米，教练开车的速度是每小时45千米，那么教练将号码牌送给小张至少需要多少时间？ 这个问题的解决需要突破既有的经验与思维定势，即教练不应同向去追而应反向去送，所用时间才是最少的，因为情境是环湖公路.正确的解法是：
（小时）.与以往问题的区别在于，这个问题更加真实，是一个更实际的问题而不仅仅是一道练习，学生需要先对问题的实质作出判断和决策，然后再思考解决的方法与步骤，这需要更高的能力和突破性的思考，而如果永远是操练性的习题训练，学生就会缺少这样的创新意识和能力. 二是要创设多策略解决问题的情境，让学生以自己独特的思考，不同于他人的方式，用数学的语言与规则描述、分析或解决数学问题. 例如，下面图（1）和图（2）中都有5个点，我们一眼就可以看出：图（1）中的5个点比较分散，图（2）中的5个点比较集中.图（3）和图（4）分别是甲、乙两个小村庄，你认为哪个村庄村民的房子住得比较集中？用数学的方法说明你的观点.
要让学生充分表达，引导学生尽可能用数学的方式来思考和说明观点，例如：根据连接房子间距离的总和、根据能覆盖所有房屋的最小长方形的面积、根据连接最外圈房子得到的多边形的面积或周长、根据每户人家在多边形内的占地多少（密度）等来解释，促进学生突破性地思考，培养学生创造性应用数学知识解决问题的能力，学生的学力就可在这种真实、有效、多策略的问题情境中得到良好的培养.
标签：数学论文; 数学素养论文; 基础数学论文; 思考方法论文;
