灵活建构平面图形，凸显向量几何本色，本文主要内容关键词为：向量论文,几何论文,本色论文,图形论文,平面论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
向量在近年高考中的地位越来越重要，其工具性作用已渗透到数学的各个分支.由于向量知识易于出难题，因此近年各省高考选填题中对向量知识的考查变得更加灵活多变，对学生能力要求较高，往往题型新颖或考查能力要求的试题就成为学生的主要失分点.
笔者通过教学研究发现，学生对使用向量作为工具，解决问题的意识、能力不强，主要体现在向量问题的两个方面：
（1）向量在具体问题中的运用主要体现于在向量加减法、数量积、数乘等基础上与其他知识的融合；
（2）对根据向量条件建构图形不够熟练，不能从向量的角度建构图形、解决问题.
因此，如何灵活建构图形，巧妙解决向量问题是解决选填题的关键.下面通过几个问题谈谈笔者的想法，来提高学生的建构意识，强化学生理性建构图形的意识，提高学生解决问题的能力.
一、建构“圆”
有些向量试题短小精悍，非常简洁，且试题新意不断，亮点频出，平实中显精巧雅致，解法上既宽又活且巧，将向量问题利用建构“圆”的方式体现得淋漓尽致.数学基本思想方法中的数形结合思想、化归转化思想深蕴其中.
分析：向量a，b满足夹角120°，且a-c与b-c夹角是60°，以四点共圆来建构图形.
说明：本题仍旧从向量夹角的角度出发，利用对角互补四点共圆，极为方便地解决了｜c｜的最大值问题.
例2 已知向量a，b满足a=b=a·b=2，且（a-c）·（b-2c）=0，求b-c的最小值.
又
，问题转化为定点B到圆上动点C距离的最值.至此，问题已达到学生能认知的模式，｜b-c｜的最小值为BQ-r.
说明：关注垂直知识点的转化，关注向量夹角，并结合有效信息建构合理的图形——圆，将问题转化为圆外定点到圆上动点的距离问题.此类问题往往需要审视向量条件中的垂直关系.
二、建构“三角形”
例3已知向量a≠e，｜e｜=1，对任意t∈R，恒有｜a-te｜≥｜a-e｜，则（）.
A.a⊥e B.a⊥（a-e）
C.e⊥（a-e） D.（a+e）⊥（a-e）
分析：2005年的浙江高考向量题使人第一次深深感受到向量试题的独特魅力.几何背景隐蔽，难度也较高，平面向量题中第一次引入参数，激活了更多的思想方法.仅仅一个参数t，给向量问题带来了动感.
解析：将问题图形化，如图3所示，三角形及其一边上的高，将本问题利用图形化转化，答案已经跃然纸上，其本质是点到直线距离概念内涵的几何属性，最小值借助于向量语言的描述.
说明：向量描述下的相等关系、不等关系乍一看，简约而不简单.一旦利用建构“三角形”的方法，等于、不等的联系在三角形中竟是如此的简单明了.用化数为形的分析直接快捷地得到正确的结论，起到事半功倍的作用.
例4 已知平面向量α、β（为不等的非零向量）满足将｜β｜=1，且α与β-α的夹角为120°，则｜α｜的取值范围是______.
分析：由于给出α、β、β-α三个向量，容易想到建构三角形，夹角为120°必定与三角形内角有关，故α的取值转变为三角形中的正弦定理或余弦定理求解.
说明：本题还有其他多种解法，但是建构三角形是最容易进入学生思维“最近发展区”的解法，因为向量减法的相关知识在学生脑海中根深蒂固，当三角形建构之后，求解三角形边长很自然想到运用正余弦定理.
三、建构“斜角坐标系”
分析：这是2006年一道比较新颖的向量试题，有多种解法.但我们从建构斜角坐标系出发，从平面向量基本定理及斜角坐标系下线性规划的角度求解，给人焕然一新的感觉.
解析：以OA为x轴，OB为y轴建立的斜角坐标系，分为四个象限，如图6，类比直角坐标系下线性规划知识可得：
（1）过点O且平行于AB的直线，其斜角坐标系下方程为：x+y=0；
（2）以OA为x轴，OB为y轴建立的斜角坐标系也分为四个象限，类比直角坐标系下线性规划知识可得：（1-1区域指的是第一象限1号区域，其余类似）
分析：原解是利用向量数量积与三角函数知识求解，是典型的向量问题代数化.不过，也可利用图形“建构”来解决.以OA为x轴，OB为y轴建立斜坐标系，以类似于直角坐标系下的知识予以解决.
解析：利用数形结合可知，当且仅当点C所在直线x+y=k与圆弧相切时，k最大，此时直线x+y=k与半径OC垂直，易得截距
=2.（当C重合于A或B时，k有最小值1）
说明：从本问题看出，不必拘泥于坐标系的形式，单位长度的选取依题而定，自由度和灵活度更大，为坐标系类比、拓宽思路提供了新的视角.
本文主要说明，一方面要重视向量教学中利用图形建构的解题策略.建构图形解决向量问题是一种“创新”，不仅学生灵活掌握向量之间的图形建构，而且对创新思维的培养有一定的帮助.
另一方面，我们也要正确看待建构图形巧解向量问题，它展示了数形结合思想的魅力，如例5的解法，类比直角坐标系得到斜坐标系，熟练掌握之后，不仅快捷方便，而且还有一定的创新性.