单根、共积与误差修正模型——理论、方法和应用，本文主要内容关键词为：误差论文,模型论文,理论论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O211.61
引言
传统的计量方法所讨论的估计方式，如普通最小二乘法（OLS ）或广义最小二乘法（GLS），都假设残差项为平稳序列来估计、 分析其估计式的统计特性，并以此作为假设假定的依据。若残差为不平稳序列，则在平稳状况的假设下，所得到的估计和假定结果都失去了意义，这就是所谓的虚假回归现象。
若残差为不平稳序列，而以平稳的方式检定，即使回归所代表的为假性关系，但往往检定的结果会接受这一原本不存在的虚假回归。在许多经济理论的实证领域中有些学者也运用了单根检定，对变量的平稳性问题做检定。经过差分让不平稳和变量变平稳，再以OLS做估计。 但时间序列变量用差分的处理结果，往往会导致资料的长期信息损失。因此， 现在许多学者在实证的过程中采用共积分析法及误差修正模型（ECM）再次引入损失的长期信息。
一、单一变量的单根检定
首先讨论变量的自积概念。所谓变量序列Y[,t] 自积（Integrated）d次（Y[,t]～I（d）），表示若一非平稳序列，本身在差分d次后，可转变成一平稳序列。
一般而言，检定变量序列的平稳性的步骤，首先检定Y[,t] 是否平稳，若平稳性假设被拒绝，再检定其一阶差分△Y[,t]是否平稳； 若△Y[,t]平稳，则Y[,t]～I（1）。自积阶数即序列平稳前必须差分的次数。有3种相关检定方法：非正式检验的相关图、Durbin-Watson检定和以回归为基础的t检定（单根检定）。也是使用最普遍的一种方法。 单根检定方法首先由Dickey[1]和Fuller[2]提出，其特别为假定残差项ε[,t]为正态分布iid（0，σ[2]）前提下，针对3组自回归（AR）时间序列回归模型，分别作因变量前期值系数的最小二乘法估计的个别统计量检定或联合假设的似然比检定。然而实际上时间序列模型中的ε[,t]项多为序列相关而非iid（0，σ[2]）特性， 使系数值的估计在备择假设下不具有一致性，以及有AR 阶次并不像传统DF 检定为已知的缺点，Dickey和Fuller与Phillips[3]和Perron[4]又先后发展出ADF 检定法（Augmented Dickey-Fuller test）及Phillips-Perron 无母数单根检定（Phillips-Perron non-parametric test）。
（1）DF检定（Dickey-Fuller test）
DF检定是对统计量系数估计回归式作t或F检定。当上述非平稳变量的统计量并不呈现标准分布，则需由模拟方法导出特别的临界值表。然而，以下所描述的检定在区别单根和根接近于1时并非非常有效。 这些检定由3个不同形式的单变量序列开始，即：
Y[,t]＝αY[,t－1]+ε[,t]（1）
Y[,t]＝α[,0]+αY[,t－1]+ε[,t] （2）
Y[,t]＝α[,0]+αY[,t－1]+rT+ε[,t]（3）
3序列的差异在于均值是否为零。（1）式不含常数项，均值为零；（2）式包括常数项，均值不为零；（3）式同时包含常数项与时间趋势T，均值不为零。该检定乃针对α值是否等于1（若等于1，表示Y[,t]为非平稳）；或α值是否小于1（若小于1，则表示Y[,t]为平稳）。
（2）ADF检定
以上我们讨论皆假设估计的残差项序列独立且具有同方差。Phillips证明异方差会影响单根检定的普适性。有两种方法可克服此困境。一为修正检定过程；另者为修正检定统计量。第一种方法即ADF 检定，在估计式中加上被解释变量的落后期值。如（4）式，落后期数（n表示）由残差项消除自相关的最小期数决定。如前所述，适当的检定乃针对Y[,t－1]系数β作估计。若β显著异于0，则接受Y为I（1）的假设。再者若β显著为负值，则拒绝零假设。T 统计量的临界值乃Fuller表列的τ[,r]。
△Y[,t]＝α[,0]+βY[,t－1]+rT+δ[,1]△Y[,t－1]+δ[,2]△Y[,t－2]+…+δ[,n]△Y[,t－n]+εt （4）
（3）Phillips-Perron无母数单根检定
ADF检定加上△Y落后期值的调整过程导致自由度损失，因此降低检定效力。另一种克服残差项自相关的方法是Phillips和Perron提出的以无母数调整修正检定统计量。Phillips无母数单根检定法是应用中心极限定理透过标准化累积和过程弱收敛至维纳过程以表征检定统计量的渐进分别。然而，在ε[,t]不具有iid（0，σ[2]）分布前提下， 该渐进分布依赖于参数σ[2]／σ[2][,ε]，且愈偏离影响愈大。 此时补救方法有二：（1）设法转换检定统计量， 使其分布独立于σ[2]与σ[2][,ε]。（2）该转换后的统计量须和转换前收敛至相同的随机变量。Phillips就此问题对σ[2]与σ[2][,ε]采用一致估计式， 再依此求得符合上述条件的转换统计量，且该统计量具有与Dickey-Fuller 统计量相同的渐进分布，故可直接运用Dickey-Fuller 检定之表列值作检定。其后，Perron将此方法扩展至含漂移项及线性趋势模型的个别系数系统计量。
二、共积关系
（一）共积概念
若两个或多个非平稳变量序列，其线性组合后的序列呈平稳性，则可称这些变量序列间有共积关系存在（Cointegration）。 其正式定义如下：
若变量向量中，X[,t]所有的定量均自积d次，好X[,t]～I（d ）且存在一个非零向量β，使得向量Z[,t]＝βX[,t]～I（d－b）。b＞0，则变量向量X[,t]称为具有d，b阶共积关系，表示为X[,t]～CI（d－b），而β即所谓的共积向量。
共积关系在概念上可用Y[,t]与X[,t]两变量加以说明。
Y[,t]＝λX[,t]+ζ[,t]
（5）
ζ[,t]＝Y[,t]－λX[,t]（6）
假设Y[,t]与X[,t]均为I（1）序列（亦即Y[,t]与X[,t]经过一次差分后为平稳序列）。两变量线性组合为I（1）是常见的事实。但在特殊情况下，两个I（1）变量的线性组合为I（0），此时称该两变量具有共积关系。换名话说，若（6）式ζ[,t]成为一个I（0）平稳序列，则Y[,t]、X[,t]为共积关系。而λ为共积常数，若超过二个变量， λ称为共积向量。
设一个p维VAR模型如下：
Z[,t]＝A[,1]Z[,t－1]+…+A[,k]Z[,t－k]+η+ε[,t] （7）
其中Z[,t]为p维向量的随机变量，A[,t]为p×p系数矩阵，ε[,t]～iid（0,∑），η为常数项，且（7）式假设Z[,t]为I（1）序列，此假设并不代表在Z[,t]向量每一个别变量必须为I（1）序列， 在寻求非平稳变量间共积关系时只要两个变量为I（1）序列即可。
将（7）式表示成误差修正模型如下：
△Z[,t]＝γ[,1]△Z[,t－1]+…+γ[,k－1]△Z[,t－k+1]ПZ[,t－k]+η+ε[,t] （8）
（8）式即为一次差分的VAR模型加上误差修正项ПZ[,t－k]，设置误差修正项主要目的是为了将系统中因差分而丧失的长期信息引导回来。П矩阵可视为各变量向均衡水平调整的冲击效果，因此称之为冲击矩阵。
将零假设设定为H[,0]∶П＝αβ'，α、β为满秩矩阵，当接受零假设时表示П＝αβ'，其中П为降秩矩阵，亦即rank（П）＝r＜p，存在r组共积关系，而r的个数隐含着一些意义：
（1）r＝p表示Z[,t]向量中各变量皆为平稳序列。
（2）r＝0表示П为空矩阵，Z[,t]向量各变量无共积关系。
（3）r＜p此时П＝αβ'，Z[,t]向量各变量间存在r组共积关系，β称为共积矩阵，α称为长期调整系数，用来衡量整体体系的调整速度。
（二）共积关系检定
检定变量之间是否具有长期平稳关系（共积关系）的方法，发展至今有一段时日，其中主要检定方法有二、一是Engle-Granger 二阶段共积检定法；另一是Johansen共积检定法。限于篇幅，我们仅介绍后者，它也是最被常用的一种检定方法（Johansen法同时给出了检定是否存在共积关系和估计共积向量的方法）。
Johansen[6]提出针对（8）式的最大特征根（Maximum Eigenvalue）及迹检定（Tracetest）两种检定共积个数的方法。
（1）迹检定：
H[,0]∶r＜p
H[,1]∶r＝p
对此作似然比检定，其检定统计量为：
ρ
trace＝－2lnQ（H[,0]／H[,1]）＝－T∑ln（1－λ）
i＝r+1
（2）最大特征根检定：
H[,0]∶r＝q；q＝0，1，2，…，p
H[,1]∶r≤q+1
其似然比检定统计量为：
λ[,max]＝－2lnQ（H[,0]／H[,1]）＝－Tln（1－λ[,r+1]）
其中T为样本个数，λ为（8）式П的特征根，p为变量个数。 零假设隐含着λ[,i+1]＝λ[,i+2]＝…＝λ[,p]＝0，表示此体系中存在（p －r）个单根，最初先设零假设有p个单根（亦即r＝0）若拒绝H[,0]表示λ[,1]＞0，有一个共积关系。再继续检定有p－1个单根，若拒绝H[,0]表示有两个共积关系，依次检定直至无法拒绝H[,0]为止。
一旦共积个数确定之后即可求出β，再将β代回（8 ）式误差修正模型可得П的估计式П[e]，（8）式可改为：
△Z[,t]－П[e]Z[,t－k]＝γ[,1]△Z[,t－1]+…+γ[,k－1] △Z[,t－k+1]+μ+ε[,t] （9）
由OLS方法可估计短期调整系数矩阵γ[,1]…γ[,k-1]， 再将（9）式表示成ECM形式：
△Z[,t]＝γ[e][,1]△Z[,t－1]+…+γ[e][,k－1]△Z[,t－k+1]+α[e]β[e']Z[,t－k]+μ[e] （10）
三、误差修正模型（ECM）
相对于共积说明了变量间的长期均衡关系，ECM可用来说明， 短期变量间的变动关系，及短期调整至长期均衡过程。 Engle和Granger[7]及Johansen[8]指出一组具有共积关系的变量， 存在一相应的误差修正模型，提供一个多方位的渠道，容许短期调整至长期均衡。误差修正模型是一受限制的VAR体系， 由所有具有共积关系的变量与误差修正项组成（如（8）式）。
误差修正模型可用以观察变量之间的因果关系。Granger 指出误差修正模型有两个判断因果关系的来源：一是显著的落后差分解释变量项，该解释变量直接影响被解释变量；另一是显著的误差修正项，所有解释变量透过短期失衡的调整，间接影响被解释变量。
四、应用
本小节我们将运用前面介绍的理论与方法，来对中国1989年3月—1999年8月的消费需求、投资需求、国际贸易与经济增长之间的关系作一实证研究。我们使用月度资料。所有资料来自于《中国统计》（1990—1999）各期和《中国统计摘要—1999》。在实证过程中我国使用社会消费品零售总额来表示消费需求（C），固定资产投资表示投资需求（I），对国际贸易我们分出口（E）和进口（M）来讨论。由于资料的可得性，我们用工业总产值（Y）来反映GDP水平，这主要考虑到工业总产值占GDP构成稳定且比重较大（1989—1999年GDP的构成中，工业总产值的比重稳定在40%左右）。所有变量都用零售价格指数调整至1990年的价格水平（单位为亿元）。用SPSS8.0软件的X11ARIMA方法对5个变量序列作了季节调整。 所有变量均以自然对数表示。以下具体程序使用TSP4.3软件。
（一）单根检定
结果见表1、表2。
因在TSP所作的单根检定中除了ADF 统计量外也提供了PP 统计量及WS（Weighted Symmetric）统计量， 我们将3 个统计量均列出， 但以ADF统计量为主。其他两个统计量仅作为参考。P值是接受单根的零假设的概率值，TSP以AIC（Akaike Information Criterion）准则选取落后期数。由表1可以看出各变量均无法拒绝有一个单根零假设（ADF 检验P值远大于0.1），从表2可以看出各变量一阶差分均拒绝有一个单根的零假设。故各变量均为I（1）。
（二）共积检定
我们用Johansen提出的迹检定法检定5个变量之间的共积变量， 由TSP得出的具体结果列在表3（TSP以AIC2准则选取落后期数为2）。
从表3中我们只列出了3个共积向量的检定，其中P 值为拒绝零假设的概率值，从中可以得出在1%的显著水平5个变量中有2个共积向量。
一般，虽然共积体系的共积关系并不唯一， 但理论上最大的trace值（或最大特征根所对应的第一组共积向量是最具平稳性和最大检定效力的。因此本文将第一组共积的共积向量来代表变量间的长期均衡关系。具体表示为：
Y＝1.02981I+1.1678C+0.78491X－0.81391M（11）
从（11）式我们发现从1989年3月至1999年8月这段时期消费需求对工业的影响最大，进口对工业产生负面影响。投资需求、消费需求、出口和进口对工业的影响弹性分别为1.03、1.16、0.78、－0.81。其中进口的影响弹性为负说明进口品会对中国工业产生一定冲击。