顺序引导与有效突破&以“斜边直角边”定理教学为例_直角三角形论文

循序导引，有效突破——以“斜边、直角边”定理教学为例，本文主要内容关键词为：斜边论文,直角论文,定理论文,为例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、提出问题

      初中阶段学生学习的判定两个三角形全等的定理有：“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”这四个，它适合所有的三角形，而直角三角形是一类特殊的三角形，判定两个直角三角形全等，除了可以应用上面四个判定定理外，还可以应用“斜边、直角边”定理，它是判定两个直角三角形全等特有的定理.然而学生刚接触“斜边、直角边”定理时，往往会提出这样一个问题：前面学习的四个判定定理都有三个元素对应相等，而“斜边、直角边”判定定理为什么只有两个元素（斜边、直角边）对应相等？笔者做出这样的解释：表面上看，“斜边、直角边”这个判定定理只有两个元素对应相等，实际上还有一个元素对应相等，那就是直角.因此“斜边、直角边”这个判定定理同前面四个判定定理一样，也有三个元素对应相等.此时学生又提出新的困惑：对于两个一般三角形而言，利用“边边角”不一定能判定其全等，那么，对于两个直角三角形为什么就判定其能全等呢？下面笔者引导学生就这个问题展开讨论，让学生对“斜边、直角边”定理有一个清晰的认识.

      二、教学突破

      1.数学实验，感悟定理

      笔者开始引导学生回顾引入“边角边”定理时的一般思路，要求学生对照问题进行自主思考：

      如图1，把一长一短两个木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明什么？

      

      当然，通过前面的学习，学生已经知道这个实验说明有两边和其中一边的对应角分别相等的两个三角形不一定全等，也就是说不存在“边边角”这样的判定三角形全等的定理.

      接下来笔者引导学生做进一步探究：

      如果用l表示图1中的直线BC，那么AC、AD可以看作短木棍绕点A4旋转时与直线l相交形成的两条线段.假设短木棍在绕点A旋转的过程中，与直线l只有一个交点E，如图2所示，这个实验又能说明什么？

      

      学生1：说明AE是点A到直线l的距离；

      学生2：说明线段AE是垂线；

      学生3：说明线段AE是点A到直线l的垂线段；

      （设计这个数学实验主要是想让学生得出“斜边、直角边”这个判定定理，但没有学生能够做出相关的回答，于是笔者又继续加导）

      教师：看来线段AE是直线l的垂线已经是大家的共识，那么，线段AE是垂线能说明△ABE是什么三角形？

      学生4：直角三角形.

      教师：以长木棍AB为斜边、短木棍AE为直角边的三角形的形状是不是固定的？

      学生5（经过一番思考）：应该是固定的.

      教师：为什么？

      学生5：因为长木棍AB是固定的，而短木棍AE也应该是固定的，因为AE是点A到直线l的垂线段，只有一条.因此，这个三角形的形状和大小也应该是固定的.

      教师：回答得很好.那么以长木棍AB为斜边、短木棍AE为直角边的三角形的形状固定又说明了什么？

      学生6：说明这些三角形能够重合.

      教师：这些三角形能够重合又说明了什么？

      学生6（喜悦之情，溢于言表）：老师，我明白了，以长木棍AB为斜边、短木棍AE为直角边的三角形的形状固定说明所有以AB为斜边、AE为直角边的三角形都能完全重合，也就是说以AB为斜边、AE为直角边的直角三角形全等.

      教师：说得太好了！

      2.乘胜追击，证明定理

      （1）借用常规图形

      笔者并未就此停滞，而是乘胜追击，让学生尝试对这个定理进行证明.

      教师：能不能运用前面所学的判定定理来证明“斜边、直角边”这个判定定理？下面先请同学们看这样的问题：如图3，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AC=BD.求证BC=AD.

      现在我们把题目中的条件和结论进行互换，如图3，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，BC=AD.求证AC=BD.

      

      哪位同学能证明？

      学生7（稍加思考）：因为AC⊥BC，BD⊥AD，所以∠D=∠C=90°.又∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC（AAS）.

      所以AO=BO，DO=OC.所以AO+OC=BO+OD，即AC=BD.

      学生8：证出△AOD≌△BOC后，还可利用“面积法”来证明AC=BD.

      因为△AOD≌△BOC，所以

      

      教师：学生8能够将图形证明问题与面积联系起来，是一种创新证法，值得表扬.请大家继续思考，由BC=AD我们还能证明哪两个三角形全等？

      学生9：△ADB和△BCA这两个直角三角形全等.

      学生10：老师，我发现△ADB和△BCA这两个直角三角形正好有一条斜边和直角边对应相等，这个例子说明有一条斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等，而且在证明过程中用到的就是前面的四个定理.这说明可以运用前面的四个定理证明“斜边、直角边”定理.不过美中不足的是△ADB和△BCA有一条公共斜边AB.

      学生11（激动）：这正好为我们证明“斜边、直角边”定理提供一种很好的思路，那就是让两个直角三角形的斜边重合，让不确定的直角边相交，也就是将两个直角三角形拼成图3的形式.

      教师：看来你想到怎样证明“斜边、直角边”定理了.

      

      

      （学生11的证法正是笔者预期的，但这时有一位学生对此提出质疑）

      学生12：我觉得学生11的证法不妥.这个证明有一个前提条件，就是已知条件中的两个直角三角形中的较短直角边相等，如果是较长直角边相等，用学生11的方法就无法证明.

      学生12的回答确实出乎笔者意料.一开始笔者也以为按照图5的拼图方法一定能够证明“斜边、直角边”定理，殊不知按照这种拼图方法，两条较长直角边必然相交，如果已知条件是两条较长直角边相等，这个条件就无法利用，也就无法证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（因学生还未学习相似，暂时不能证明）.

      （至此，课堂预设与有效生成发生冲突矛盾）

      教师：学生11能够根据图3，想到把两个直角三角形拼成图5的形式来证明“斜边、直角边”定理，值得表扬，学生12能够提出学生11证法的不足，说明学生12考虑问题非常严密，值得肯定.既然图5证明“斜边、直角边”的限制条件是两个直角三角形的较短直角边相等，看来这种证明方法不可取.

      虽然学生11的证法有些缺憾，但是已经让学生看到用前面所学的四个判定定理证明“斜边、直角边”定理的希望，增强了学生理解“斜边、直角边”的信心.

      （2）借用等腰三角形的判定和性质

      学习了等腰三角形的性质和判定定理后，笔者仍然不忘提醒学生看一看、想一想有什么方法可以证明“斜边、直角边”定理.由于在学习等腰三角形的性质时，曾经有过这样一个探究：如图6，把一张长方形的纸按图6（1）中虚线对折，并剪去阴影部分（图6（2）），再把它展开，得到的三角形（图6（3）有什么特点？

      

      可能受图6（3）和学生11拼图方法的影响，有学生竟然用拼图的方法证明“斜边、直角边”定理.

      

      

      

      还有学生可能是受后续将要学习的直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的影响，想到一种不用拼图的证明方法.

      证法3：如图10，在∠C内部作∠MCB=∠B，CM交AB于M，则MC=MB.

      又因为∠A+∠B=90°，∠MCA+∠MCB=90°，

      所以∠A=∠MCA，

      所以MC=MA.

      所以MB=MC=MA=

AB.

      

      

      至此，大部分学生对“斜边、直角边”定理的疑惑终被解除，从而可以踏踏实实、充满自信地理解和运用“斜边、直角边”定理.

      三、教学启示

      在进行初中数学定理教学时，多数教师往往停留在“记忆—强化—应用”这一常态的教学层面，只是强调定理的应用，而对定理的产生背景和定理内容的理解漠然置之.这样，不仅抹杀了学生对知识渴求的天性，更抹杀了学生的创造性，不利于学生的可持续发展.人们对事物的认识并不总是一帆风顺，而是呈螺旋式上升.因此我们教师在教学某些公式、法则、性质、定理时，要注意用发展的眼光进行教学，不必强求学生“一口吃个胖子”.随着所学知识的加深，数学经验的积累，我们应该注意尝试应用新知识来解释或用新的眼光来看待已学的公式、法则、性质、定理，会有“一览众山小”之感.这样的教学不仅可以巩固旧知，复习新知，加深新旧知识之间的联系，尊重学生的认知规律，满足学生的认知需求，拓宽学生的数学视野，提升学生的思维能力，丰富学生的数学思想.同时，也有助于师生双方加深对已学公式、法则、性质、定理的有效识记、本质理解与有效应用，构筑相对完备的知识体系.

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