山东省东营市胜利第一中学 257100
摘 要：数列的递推公式和通项公式是表现数列特征和构造的两种不同形式，高考题中往往只给出数列的递推公式，若能求出通项公式，则问题将迎刃而解。在很多文章中，给出了很多由递推求通项的方法，如叠加法、累乘法、迭代法、构造法等，在这里不一一赘述了，本文列举了几种转化的技巧，供大家参考。
关键词：数列 递推公式 通项公式
《普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》指出：“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。”而数列的题目体现得很明显。本文通过实例来谈谈求通项公式的几种技巧：
一、取倒数
例1.数列｛an｝中，a1=1，an= （n≥2），求数列｛an｝的通项公式。
解：由题意得，两边同时取倒数有： == +2n；
∴ -=2n，-=2n-1，…， - =23， - =22；
逐项累加得 - =2n+2n-1+…+23+22==4（2n-1-1）；
∴ =1+4（2n-1-1），∴an= ,n∈N+。
二、同除以乘积项
例2.数列{an}中,a1= ,且当n>1时有=，求数列{an}的通项公式。
解：依题意，等号两边交叉相乘得an-1-an=4an·an-1（n≥2）；
所以等号两边同除以an·an-1得： -=4（n≥2）；
所以数列｛ ｝是以5为首项、公差是4的等差数列；
所以 =4n+1，所以an= （n∈N+）。
上述两种是比较基础的技巧，下面看第三种：
三、取对数
例3.已知a1=2，点（an，an+1）在函数f(x)=x2+2x的图像上，其中n∈N+，求数列｛an｝的通项公式。
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解：依题意可得：an+1=an2+2anan+1+1=（an+1）2；
又∵a1=2，∴an>0（n∈N+），∴an+1>0（n∈N+）；
两边同取以3为底的对数，
∴1og3（an+1+1）=1og3（an+1）2=21og3（an+1）；
又∵1og3（a1+1）=1，∴数列｛1og3（an+1）｝是首项为1、以2为公比的等比数列。
∴1og3（an+1）=1×2n-1=2n-1，∴an+1=32 （n∈N+），∴an=32-1（n∈N+）。
利用本方法，需注意两点：
1．两边取对数前，要注意数列各项都是正数。
2．取对数时，对数的底数要有针对性，是为了使数列的首项为1。如2002年上海高考理科第11题：若数列｛an｝中，a1=3，且an+1=an2(n∈N+)，求数列｛an｝的通项公式。在本题中就用到了取对数的办法。
四、递推意识
例4.数列｛an｝中，a1=2，an+1＝，bn=| |(n∈N+)，求数列｛bn｝的通项公式。
分析：本题直接看bn的式子，不好发现其内在联系，利用取倒数、取对数、同除以乘积项的办法都不能解决，那我们怎么办呢？
因为求通项公式的出发点就是看前一项和后一项的关系，所以我们不妨递推一下看。
解：∵bn+1=| |=||=2| |=2bn，又∵
b1==4,∴数列｛bn｝是以4为首项、以2为公比的等比数列，∴bn=2n+1，n∈N+。
五、分离常数意识
例5．数列｛an｝中，a1= ， - =0,n∈N+，求数列｛bn｝的通项公式。
分析：先观察本题形式：若取倒数，则会出现 =1-＝an-1，n∈N+无法处理；若交叉相乘，可得an+1·an-an+1=an+1-1，n∈N+，∴an+1·an=2an+1-1，n∈N+；再同除以an+1·an，∴1= － ,n∈N+，还是无法得到直接关系；若取对数，也无法操作；若递推，则式子更复杂。那我们该怎么办呢？
因为两个式子形式相似，前面的式子分子上不是常数，第二个式子分子是常数，因此我们不妨分离常数。
解：∵ - =1+ - =0,n∈N+；
∴ － =-1；又∵ =-2，
∴数列｛｝为首项为-2、-1为公差的等差数列。
∴＝-2+（n-1）·（-1）=-n-1，n∈N+，an-1= ，n∈N+；
∴an=，n∈N+。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准（实验）[M].北京，人民教育出版社，2007。
[2]舒结高 从一道最新的高考题说起[J].中学数学研究，2015，（11），43-45。
论文作者:王林超
论文发表刊物:《中小学教育》2017年7月第283期
论文发表时间:2017/7/11
标签：数列论文; 公式论文; 对数论文; 式子论文; 常数论文; 题意论文; 本题论文; 《中小学教育》2017年7月第283期论文;