陕西省绥德中学 718000
摘 要：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；三是正确确定参数的取值范围。
关键词：数形结合 数学思想 重要作用
著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。”通过对近几年高考题型的分析，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，可以使复杂问题简单化、抽象问题形象化，有助于把握数学问题的本质。数形结合思想解决的问题有以下几种：
一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.png)
已知f(x)＝，则任意x∈[-1,1]，|f(x)|≥ax成立的充要条件是( )。
A.a∈(-∞，-1]∪[0，＋∞)
B.a∈[-1,0]
C.a∈[0,1]
D.a∈[-1,0)
解析：当x∈[-1,0]时，原不等式可变为|x2-2|≥ax，即2-x2≥ax，f(x)＝2-x2图象如图所示；当x∈(0,1]时，原不等式可变为|3x-2|≥ax，g(x)＝|3x-2|的图象如图所示。当|f(x)|≥ax恒成立时，由图可知a的取值范围是[-1,0]。
二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的个数.png)
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已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x-1)；②当x∈[-1,1]时，f(x)＝x2。则方程f(x)＝lgx解的个数是( )。
A.5 B.7 C.9 D.10
解析：由题意可知，f(x)是以2为周期、值域为[0,1]的函数；又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]。画出两函数图象，则交点个数即为解的个数。由图象可知共9个交点。
三、构建立体几何模型研究代数问题
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已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx<0的解集是( ）。
A.（-3，- ）∪(0,1)∪（ ，3）
B.（- ，-1）∪(0,1)∪（ ，3）
C．(-3，-1)∪(0,1)∪(1,3)
D.（-3，- ）∪(0,1)∪(1,3)
解析：选B不等式f(x)cosx<0等价于，
或。
画出f(x)在(-3,3)上的图象，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为（- ，-1）∪(0,1)∪（ ，3）。
四、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题
例1.求函数f(θ)＝的最大值。
解：可以与两点连线的斜率联系起来，它实际上是点P(cosθ，sinθ)与点A(- 2，0)连线的斜率，而点P(cosθ，sinθ)在单位圆上移动，问题变为：求单位圆上的点与A(- 2，0)连线斜率的最大值。如图，显然，当P点移动到B点（此时，AB与圆相切）时，AP的斜率最大，最大值为tan∠BAO==1。
例2.设点P(x，y)，变量x、y满足约束条件，
，点Q的坐标为(4,3)，O为坐标原点，λ|OQ|
＝OP·OQ，则λ的最大值是( )。
A. B. C．8D．.png)
解析：λ|OQ|=OP·OQ，即5λ=4x+3y，设z=4x+3y，它表示斜率为－ 、纵截距为 z的一组直线系。画出不等式组所表示的可行域，如图，由图可知，当直线经过可行域上的点M时，纵截距 z最大，即z取得最大值，此时λ也取得最大值。容易求得点M的坐标为（ ， ），则zmax= ，即5λ= ，所以λ的最大值是 。
五、构建函数模型并结合其图象由解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究量与量之间的大小关系.png)
设有函数f(x)＝a+ -x2-4x和g(x)＝ x+1，已知x∈[-4,0]时恒有f(x)≤g(x)，则实数a的取值范围是______。
解析：由f(x)≤g(x)，
得a+ -x2-4x≤ x+1，
变形得 -x2-4x≤ x+1-a。
令y1= -x2-4x，y2= x+1-a，
y1变形得(x+2)2+y2=4(y≥0)，
即表示以(-2,0)为圆心、2为半径的圆的上半圆；
y2表示斜率为 、纵截距为1-a的平行直线系。
若不等式成立，则直线在半圆上方，
∴≥2，解得：a≤-5。
总之，在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能收到事半功倍的效果。
论文作者:雷永东
论文发表刊物:《中小学教育》2015年12月总第228期供稿
论文发表时间:2016/1/29
标签：斜率论文; 图象论文; 函数论文; 最大值论文; 不等式论文; 模型论文; 思想论文; 《中小学教育》2015年12月总第228期供稿论文;