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三角板是学生熟悉的作图工具。一副三角板都有两个直角三角形，其中一个是等腰直角三角形，它的三个内角分别是90°，45°，45°；另一个三角形的三个内角分别是90°，30°，60°。以三角板为道具，以学生常见的熟悉的几何图形为载体，将三角板进行简单的组合或者以平移、旋转等变换设计的问题，用以考查学生的动手实践能力、实际应用能力和探索研究能力的一种新题型，较好地考查了学生观察、实验、比较、类比、归纳联想的能力以及运动变化、分类讨论思想等综合运用能力。此种题型涉及面广，既注重基础知识，同时又具有很强的综合性，三角板中蕴含着深厚的数学知识，成为数学中考中一道亮丽的风景。本文就近年来以三角板为背景材料设计的操作探究题为例，进行分类评析，供大家参考。
一、三角板的拼摆
例1 （山东枣庄）如图，两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC。试判断△EMC的形状，并说明理由。
解 △EMC是等腰直角三角形。
证明 连接MA。由题意知AD=BA，DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°，
所以∠DAB=90°。又因为MD=MB，所以AM是等腰Rt△ABD斜边BD上的中线。
有
，AM⊥DB。
所以∠MDA=∠MAB=45°。
所以∠MDE=∠MAC=45°+60°=105°。
又DE=AC，所以△MDE∽△MAC。
所以ME=MC，∠DME=∠AMC。
因为∠DME=∠EMA=90°，所以∠EMA+∠AMC=90°。
即CM⊥EM。
所以△EMC的形状是等腰直角三角形。
点评 三角板是特殊的直角三角形，解题时必须把握边与角的特征，充分利用直角三角形的一些性质，如直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半等。
例2 （江苏扬州）把一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为______。
解析 由三角形的外角定理可得∠α的余角=45°-30°=15°，所以∠α=90°-15°=75°。
点评 此题考查了三角形外角与内角之间的关系以及余角的基本概念，在进行计算时要充分利用三角板的特殊角度之间的关系，要能运用所学的知识解决一些实际问题，还要能从生活中常见的图形捕捉求解信息。
二、三角板的平移
例3 （广东东莞）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连接CD。
(1)填空：如图1，AC=______，BD=______；四边形ABCD是______梯形。
(2)请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）。
(3)如图2，若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，△FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围。
图1
图2
解析 (1)
，等腰；
(2)共有9对相似三角形。
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；（有5对）
②△ABD∽△FAD，△ABD∽△EBC；（有2对）
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；（有2对）
所以，一共有9对相似三角形。
(3)由题意知，FP∥AE，所以∠1=∠PFB，
又因为∠1=∠2=30°，
所以∠PFB=∠2=30°，所以FP=BP。
过点P作PK⊥FB于点K，则
。
t的取值范围为：0≤t＜8。
点评 利用三角板的平移来设置问题情境，为学生创设了一个充满探索性和创造性的环境，在三角板的平移过程中图形有了动感，它可以很好地检验学生处理图形的能力，考查学生在动中求静，在动中寻找始终不变的量的技能，进一步考查学生的观察、分析、判断与自主探索的能力。
三、三角板的旋转
例4 （河南省）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置，若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为()。
(A)10πcm(B)
(C)15πcm(D)20πcm
解析 由题意知，顶点A从开始到结束所经过的路径长，是以点C为圆心，CA长为半径所成的劣弧AA′的长。
点评 本题考查了旋转角的概念和弧长公式的应用，因此，只要求出∠ACA′的度数和AC的长度即可。
例5 （江苏徐州）如图1，一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°。
图1
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q。
【探究一】 在旋转过程中，
(1)如图2，当
时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明。
图2
图3
(2)如图3，当
时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由。
(3)根据你对(1)、(2)的探究结果，试写出当
时，EP与EQ满足的数量关系式为______，其中m的取值范围是______（直接写出结论，不必证明）
【探究二】 若AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为
，在旋转过程中：
(1)S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由。
(2)随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？求出相应S值的取值范围。
解析 探究1(1)EP=EQ。
证明连接EB，证明△EPB≌△EQC即可。也可以过点E分别作EM⊥AB，EN⊥BC，垂足分别为M、N，再证明△EMP≌△ENQ。
点评 本题利用直角三角板按指定的条件运动为背景，探究动态几何图形所具有的“变”与“不变”的性质，在开放性的结论中引导学生推理、猜想，融实验、探究、证明于一体，体现出试题的层次性、探索性等特点，很好地考查了学生探究问题、解决问题的能力。题目蕴含了丰富的数学思想方法，旋转变换、从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法贯穿于整个题目之中，极大地考查学生综合分析、解决问题的能力。考查的知识点有：函数的建立与应用、函数的最值、等腰三角形、三角形面积、三角形全等和相似的证明及应用等。解决此类问题应利用图形运动变化中某一时刻“静止”的位置，挖掘出其中的“不变的因素”沿着设置的“路标”按图索骥，方能以不变应万变，探究猜想出问题的答案。
编者语：什么是合情推理、合情猜想？有没有不合情推理、不合情猜想。在结论出来之前人们如何判断自己的推理或猜想是合理的还是不合理的？如果合理性不能被事先确定，那么如何选择合情的推理或合情的猜想呢？推理、猜想是人的重要思维形式，人们在开始推理猜想时，是无法断言自己的推理、猜想是不是合理的。做这样的断言不是一件有意义的事。人们总是尽量要求自己能够正确的推理、正确的猜想，以得到正确的结论。这说明，将证明和猜想冠以合理或不合理是没有意义的。仅当结果得出时，才能断定推理或猜想是对的还不对的，或者是部分对的或部分不对的。另外，倘若前提错了，就算是正确的推理，也不会得到正确的结论。总之，哪有什么“合情推理”？
四、三角板平移和旋转结合
例6 （湖北荆门）将两块全等的含30°角的三角板如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3。
(1)将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；
(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=______；
(3)将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′。
解析 (1)
；(2)30°；
(3)证明：在△AEF和△D′BF中，因为AE=AC-EC，D′B=D′C-BC，
又AC=D′C，EC=BC，所以AE=D′B。
又∠AEF=∠D′BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD′E=30°，
所以△AEF≌△D′BF。所以AF=FD′。
点评 本题利用两块全等的三角板为载体，让学生在三角板的平移、旋转和翻折过程中去感受真实图形的变化，这对学生来说具有一定的挑战性、探索性。同时也体现了对数形结合思想的考查，涉及知识点较为全面，具有一定的综合性。
五、三角板和其他图形组成的问题
例7 （贵州遵义）在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC分别相交于点M、N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。
解BM与CN的长度相等。
证明 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC。
在Rt△AME和Rt△FNE中，AE=EF，∠AEM=∠FEN=90°-∠MEF，
所以Rt△AME≌Rt△FNE。
所以AM=FN，所以BM=CN。
点评 在三角板旋转的过程中，∠AEM和∠FEN的相等关系始终不变，故三角形的全等关系始终不变，所以BM与CN的相等关系也不变，如果进一步探究还能发现EM和EN始终相等。本题考查了全等三角形的判定与性质，在旋转中找出不变的量是解决问题的关键。
总之，利用三角板做背景的问题已成为中考热点之一，它以学生生活中熟悉的实际问题为载体，在三角板的平移、旋转、翻折中寻找不变量与变量，激励学生动手操作、动脑思考，在经历实验、操作、猜想、验证等过程中得出结论，体现了生活、数学、活动、思考的教学理念，让学生在直观具体的的环境中感受数学无处不在，从而提高了学生自主探索的能力。