简析以二次函数为背景的动态几何问题，本文主要内容关键词为：几何论文,函数论文,背景论文,动态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
动态几何问题以其丰富的特性频频亮相于中考试题，尤其是与二次函数的结合，更加增添了动态几何的“个性”魅力。现采撷2009年中考试题几例作一简析，供学习参考。
一、单动点与二次函数
例1 已知Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）。
图1
图2
(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。
(2)如图2，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。
②连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。
（2009年深圳市数学中考试题）
解 (1)设OA的长为x，则OB=5-x。由题意得OC=2，AB=5，∠AOC=∠BOC=90°，∠OAC=∠OCB，因此
又由OA＜OB，可得
OA=1，OB=4，
从而点A、B、C的坐标分别为A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)。可设此二次函数的表达式为
y=a(x+1)(x-4)，
将点C的坐标代入，得a=-0.5。故这个二次函数的表达式为
图3
图4
评析 通过三点确定了抛物线的解析式；在分析△BDE是等腰三角形时，要抓住等腰三角形的特征，分3种情况进行讨论，即BD=BE，DB=DE，EB=ED；结合等腰三角形的三线合一来解题。由于是求△CDP的最大面积，因此要与二次函数的最值问题联系在一起，故要以△CDP的面积为因变量来建立二次函数。
二、双动点与二次函数
例2 如下页图5所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的3个顶点B(4，0)，C(8，0)，D(8，8)。抛物线
过点A、C。
图5
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式。
(2)动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动。速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒。过点P作PE⊥AB交AC于点E。
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G。当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ。在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。
（2009年河南省数学中考试题）
评析 由矩形的性质可知点A的坐标，近一步求得二次函数的解析式，为以下各小题打下伏笔；随着点P和点Q的运动，EF与抛物线的交点G始终在点E的上方，故EG的长等于点G的纵坐标与点E的纵坐标之差且它们的横坐标相同，所以可以通过建立二次函数来求最值。针对等腰三角形，根据点P、Q的运动分3种情况讨论即可。
三、动线段与二次函数
例3 如图6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于点Q，连接PE。设运动时间为t(s)(0＜t＜5)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，PE∥AB。
图6
图7
故在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变。
评析 由于线段的运动，因此四边形EFCD为平行四边形；利用相似或比例线段可用t的代数式表示三角形的底与高，故可求得函数解析式。针对五边形面积的定值问题，可利用等积变换转换成已求三角形的面积。
四、运动的封闭图形与二次函数
例4 如图8，已知直线
交坐标轴于点A、B，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A、C、D的抛物线与直线的另一个交点为E。
(1)请直接写出点C、D的坐标。
(2)求抛物线的解析式。
(3)若正方形以每秒
个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止。设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围。
(4)在第(3)小题的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积。
（2009年浙江省台州市数学中考试题）
图8
图9
图10
图11
评析 随着正方形的整体移动，在x轴下方的部分分别为直角三角形、直角梯形和五边形，因此这个函数关系式应分情况进行讨论。