刘希强[1]2002年在《非线性发展方程显式解的研究》文中研究指明本文通过应用反散射方法、李群分析方法、达布变换及其函数变换，得到了一些非线性发展方程的显式解，并讨论了部分解的性质。 在第二章中，我们主要研究了非线性Schr(?)dinger型方程。对高阶非线性Schr(?)dinger方程(1．4)，通过相平面分析，得到了同宿轨线、异宿轨线、闭轨线分别对应着方程(1．4)的亮孤立波解、暗孤立波解、周期解的结论；较系统地求出了方程(1．4)的亮孤立波解、暗孤立波解和椭圆周期解。通过分析高阶非线性项和叁阶色散项对孤子的影响，得到了下述解的有关性质：(1)孤立波的峰值与叁阶色散项和高阶非线性项的比率成正比，用此比率代替了通常Schr(?)dinger方程的比率|k~(?)|/β。(2)在单模光纤中，亮孤立波解和暗孤立波解是否存在由叁阶色散项的k~(?)，的符号决定，依此代替了非线性Schr(?)dinger方程(1．2)中相应k~(11)所起的作用；在负叁阶色散区域中可以存在亮孤立波解，在正叁阶色散区域中也可以存在暗孤立波解；亮孤立波和暗孤立波不仅可在反常群速度色散区域中传输，也可在正常群速度色散区域中传输。(3)由于叁阶色散项的作用，暗孤立波的群速度修正量为，亮孤立波的群速度修正量为(4)因为孤子的速度依赖于其脉宽，因此方程不存在有界的N孤立子。 对于Bose-Einsten凝聚中的Gross-Pitaevskii方程(1．3)，应用反散射方法、达布变换法，我们给出了求(1．3)的多孤立子解的公式，准确地获得单孤子解、二孤立子解、暗孤立子解和具有奇异性的显式行波解。我们把Tanh-函数变换法推广到sec_q—tanh_q方法，给出了多分量Schr(?)dinger和Klein-Gordon方程孤立波解。具体地说，我们给出了方程组下述形式的孤立波解：(n~N，vu~(N-1)，u~2u~(N-2)，…，n~(N-1)u)；(v~N，uv~(N-1)，u~2v~(N-2)，…，u~(N-1)v)，其中u=sec_q(·)，v=tanh_q(．)，这些结果是全新的。 在第叁章中，首先利用推广的齐次平衡法求出了方程组(1．10)，(1．11)的多孤立子解和其他形式的显式解，并利用李群分析法研究了所导出的共轭热传导方程，选出了它对应六维李代数的基算子，从而获得了方程组(1．10)，(1．11)一类相似解(这些解是由抛物柱函数、Airy函数及其导数构成)。其次，对1+1维高阶BK方程组(1．8)，(1．9)和2+1维高阶BK方程组(1．12)，(1．13)，给出了它们初始值问题的封闭形式解和无限多有理函数解，同时也得到了它们的孤立波解。 在第四章中，对于描述非均匀介质的一般变系数KdV方程(1．16)，在系数满足一定约束条件下，利用李群分析方法得到了其孤立波解；由于阻尼项的存在，其孤立波解是按照指数因子衰减的，非均匀项和阻尼项系数α(t)，β(t)的变化也直接影响到孤立波的速度的改变。对于一类特殊的变系数KdV方程(1．16)(其中α=β=0)，可被约化成Painleve第二类方程，此时这类方程具有Painleve超越函数表达的解；同时我们也给出了该方程的多孤立子解。应用一种统一的求解方法，得到了五阶KdV方程、sawada-Kotera川 摘 要方程、Kaup－Kupershmidt方程和 Caudrey－Dodd－Gibbon－S删ada－Kotera方程的行波解和周期解。通过构造函数变换，我们得到了耦合KdV方程组的一系列孤立波解和由椭圆函数表达的周期解。这些孤立波解的宽度是恒定的，而振幅和速度是任意的，并且有些解是在中心孤立波的基础上又迭加了一个更尖锐的孤立波，局域特性更加明显。 在第五章中，我们研究了n维Landau－Lifshitz（1．20）整体光滑解和有限时间的Blow－up解的存在性。一方面，我们得到了两类显式解的准确表达式。另一方面，我们得到解的下述性质：1．计算得到一类解的空间 什h中炬人h时hSPZ叫卜 厂＿】d二d二D 卜＊2．u、／＿‘、2．LZ＿2门 川＿一2 J门nt 八15 土tR喉巨了二 曲S巧w曲叫一N心1”trw”L…Z十心引IC厂十问T“’“’”’C“11—AI’）卜，）上（目厂巳了当 t －＋ t＊时，成立 6、。。即这类解在有限时间 t＊－T／Al（＞）发生爆炸；但在有卜 区域 D＊＝｛（t，了）；0 s t＜术＊，r＊叁叮叁＊＊｝内，Landau Lifshit＊方程的解是光滑解，我们推广了已有的相应结论。2．同样我们也得到了 －．t－1 厂Z＿云＊一＄E仕bhis flrT i二了叫卜 厂id二d二I＿rl－ZI＿’。：＿I＿T＼．＿＊一t＿．二＿＿。I＿了＼＼2 力一乡e用于回二方口〕叫一PW 尤2” rtr “卜SLc Sill叩OXi）十 h0T“’”C“COS＼th。b）厂十k7（C COS（。。L）一。。，‘一”C一‘SIS（。。L））’］呈，其中 L（，）－丁厂2（叮）r1一。dr。此时空间曲线的曲率不依赖于时间。；给定适当的初边值条件，LL方程在区域D。＝｛（t，，）；0 5卜 co；0勺＜co｝上有整体光滑解。尤其是对任意的 t，只要，、0＋。时保证 c（厂）叶0，解在，二0时是连续的。对 Belousov－Zhabotinskii化学反应中N叫。s－Field方程组，我们求出了它的八组显式解。通过利用线性无关的函数列来表示未知函数，我们分别得到二维双曲守恒律方程
肖亚峰[2]2004年在《AC=BD理论及其在一类微分方程中的应用》文中提出本文研究的主要内容为：在张鸿庆教授的“AC=BD”理论的指导下，来研究一类非线性微分方程精确求解中的变换问题。我们将张鸿庆教授的“AC=BD”理论运用到数学物理中的正问题的研究中，同时初步尝试运用到反问题的研究，给出一个初步的算法。最后对目前非线性偏微分方程精确求解中最常用的几种方法进行分类，并加以研究。 第一章介绍了非线性偏微分方程显示解研究的状况，并介绍了Grobner基。 第二章以“AC=BD”理论模式为指导，将其运用到数学物理中的正问题的研究中，给出了“AC=BD”理论的基本思想，C-D可积理论在微分方程求解中的应用，并通过具体的例子给出相应的构造C-D的算法。 第叁章，我们尝试将“AC=BD”理论模式运用到数学物理的反问题的研究中。给出了计算u=Cv，Dv=0的相容性条件的算法，并运用其计算出Maxwell方程和叁维弹性动力学方程的相容性条件。最后，通过一个例子，给出求解数学物理反问题的初步算法。 第四章，我们对目前微分方程精确求解中最常用的几种方法进行分类，并结合自己的工作加以介绍。
陈金兵[3]2006年在《有限维可积系统、无穷维孤子系统及其显式解的代数几何构造》文中提出孤子方程属于无穷维可积系统，是当今非线性科学研究的主流方向之一。在过去的几十年里，孤子方程所描述的非线性动力系统已经被深入研究并广泛应用到了各个自然学科如：生物学、化学、数学、通讯和儿乎所有的物理分支如凝聚态物理、场论、低温物理、流体力学、等离子物理、光学等等。而有限维可积系统又是经典力学中一类重要的可积模型诸如Jacobi椭球测地流、球面上的谐振子(C．Neumann系统)、几种可积的经典陀螺(Euler，Lagrange，Kovaevakaya)等。人们惊喜的发现这些有限维可积系统紧密地联系着无穷维可积系统，即大部分已知的有限维可积系统均可由无穷维可积系统在有限维不变子流形上收缩得到。另一方面，人们要很好的理解孤子方程所描述的非线性行为或实际应用中的内在机制，对于这些非线性动力系统的可能约化，并获得其显式解是十分重要的。本学位论文正是从以下几个方面对描述非线性现象的孤子方程进行进一步的研究和探讨： 寻求新的有限维可积系统—— 可积系统中的重要问题之一就是找出尽可能多的新的有限维可积系统。Flaschka曾提出过这样一条原则：可积系统的约化系统应该仍是可积的。基于Flaschka的思想和Moser的工作，曹策问教授于1989年首创Lax对非线性化方法用于从无穷维可积系统(孤子方程)生成有限维可积系统。鉴于此，我们结合Moser约束方法、一般r—矩阵理论及Lax对非线性化，分别由耦合Harry—Dym孤子族和笔者给出的一个孤子族导出两个新的Neumann型有限维可积系统。此外，结合母函数方法，由修正(Modified)Jaulent-Miodek孤子族给出了一个新的Bargmann型有限维可积Hamiltonian系统。值得一提的是：在获得与耦合Harry—Dym孤子族相联系的Neumann型有限维可积系统过程中，我们还将用于导出Bargmann型有限维可积Hamiltonian系统所使用的母函数方法平推到了Neumann型情形。 孤子方程的分解及其在黎曼曲面上的线性约化——
张颖元, 刘希强, 王岗伟[4]2012年在《(2+1)维非线性发展方程的对称约化和显式解》文中指出利用相容方法,得到了(2+1)维非线性发展方程的对称,并根据相应的特征方程组得到了(2+1)维非线性发展方程的相似约化,同时得到了一些新的显式解。
刘敏[5]2008年在《两个高维孤子方程的显式解》文中进行了进一步梳理本文根据吴文俊院士提出的数学机械化思想,以符号计算软件Maple为工具,在导师张鸿庆教授“AC=BD”理论的指导下,研究在流体力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性偏微分方程若干求精确解的方法。第一章回顾了孤立子研究的历史与发展,非线性发展方程(组)精确求解的若干方法,以及基于双线性方法的几种构造性技巧,同时介绍了数学机械化思想与符号计算以及一些有关这些学科的国内外学者所取得的成果.第二章主要介绍了求解微分方程的“AC=BD”模式及其应用,对几种经典求解孤子方程方法给出了AC=BD表述,并通过具体的变换给出了C-D对的构造方法.第叁章首先介绍了双线性方法及其Wronskian技巧,其次通过引入对数变换,借助于双线性方法求得了(3+1)维YTSF方程的N-孤子解和Wronskian解,最后提出了一种新的广义的多Riccati方程有理展开法,以(2+1)维破裂孤子方程为例来说明此算法的有效性。
周建平, 闫志莲[6]2007年在《一类广义非线性sine-Gordon方程新的显式解》文中指出将行波变换推广为一般的函数变换,给出一种改进的试探方程法。应用该方法求解一类广义的非线性sine-Gordon方程,获得了多种形式的新显式解,包括叁角函数型解,双曲函数型解。
林府标, 张千宏, 张俊, 龙文[7]2018年在《一维广义热传导方程的精确解》文中进行了进一步梳理【目的】为构造一维广义热传导方程新的精确解。【方法】利用李群分析法把一维广义热传导方程的解析求解问题约化为寻找常微分方程精确解的研究和探索问题。【结果】结合试探函数法和观察法给出了一维广义热传导方程的许多新的显式解析解和行波解。【结论】所得的新解析解扩展和完善了已有的结果。
苟晨华[8]2007年在《能源利用问题的代数显式解析解》文中认为解析解有其不可代替的理论价值。流动与传热的各种基本方程的解析解，历史上对学科的发展曾起过非常关键的作用。由于它们严格表达了该方程在某一特定条件下的详尽准确情况，解析解还可以用来检查各种数值计算方法的准确度、收敛度与有效度，以及作为研究不同数值解法的基础，启发如何改进其差分格式、网格生成等。所以，即使对近年来迅速发展的计算流体力学与计算传热学，解析解也是非常有用的。而代数显式解析解尤其适合用于理论研究与作为数值计算的标准解。尽管如此，由于解析求解能源利用问题的偏微分方程在数学上较为困难，国际上的公开文献中仅有少量有关的代数显式解析解报道。本学位论文依托国家自然科学基金(No.50246003，No.50576097)和国家重大基础研究发展规划项目(No.G20000263)等科研任务，对能源利用的代数显式解析解问题进行了深入研究，涉及导热、对流换热、传质、非牛顿流体运动等领域。主要研究内容如下：双曲型(热波)方程作为一种典型的非Fourier热传导模型得到了学术界的普遍关注。本研究对二维和叁维双曲型热传导方程给出了一些含有任意函数的解析解。对于二维的情况，解中含有8个任意函数。对于叁维的情况，解中含有无穷多个任意函数。初步讨论了这些解的边界和初始条件。通过对这些解的分析指出，当内热源以特定方式衰减时，无论其几何分布如何，它对于温度分布都不会有影响。这是由双曲型热传导方程导出的一个特有现象。Chen-Holmes方程也许是现有最为完善的灌流组织传热模型。本研究导出了考虑非Fourier效应时Chen-Holmes生物传热模型特定热物性条件下的通解，以加深对该模型的了解，丰富生物传热学理论。由此通解可得到带有热波的解，热波解及其存在条件的生理学含义为，对于肿瘤、大脑等具有高血液灌注率的部位，由初始温度分布不均趋于温度均匀的过程中，考虑非Fourier效应时，组织内各点温度可能会在平衡温度附近上下振荡，而非直接过渡到平衡温度。Pennes方程是目前应用最广泛的生物传热模型。本研究由Chen-Holmes方程通解出发，得到了考虑非Fourier效应时特定热物性条件下Pennes生物传热模型的通解，该解反映了对于任意的边界条件与初始条件，由Pennes方程所揭示的生物组织内的温度分布。王补宣院士的多孔介质方程是一种富有代表性的生物传热模型。该方程的推导不涉及Darcy定律，也不限于牛顿流体，因而具有很好的通用性。本研究给出了非Fourier效应下该方程在一定内热源条件下的显式解析通解，以拓展对于生物传热这一高度复杂现象的认识。该解反映了对于任意的边界条件与初始条件，当总的内热产满足特定约束条件时，由王补宣方程所揭示的生物组织内的温度分布。当导热系数与体积比热为温度的函数时，非Fourier导热主控方程成为非线性偏微分方程，求得其解析解较为困难。根据作者的了解，国际上公开文献中极少有非线性非Fourier导热的显式解析解的报道。本研究对其导出了一些代数显式解析解，以发展相关理论并为数值计算提供标准解。Brinkman模型是Darcy模型的一种改进模型，它可以反映一些各向异性与非Darcy效应(例如非滑移界面效应)。为更严格、准确地探讨Brinkman模型所反映的规律性，本研究推导并得出了该模型基本方程组的一些代数显式解析解。第一解的物理图景为在两块与y轴平行且相距δ的无限长固壁之间的、温度均匀的Brinkman流动。第二解代表多孔介质中一种在两块与x轴平行的无限长的可渗透壁之间的Brinkman自然对流。第叁解可代表多孔介质中在两块平行于y轴的无限长固壁之间的Brinkman自然对流，且温度分布是线性的。本研究给出了两套轴对称定常层流自然对流代数显式解析解以加强对这种流动的基础了解。第一解描述了一垂直无限长下移冷多孔介质圆管外半无限空间的有边界层假设的自然对流。第二解描述了两垂直同心圆管之间的自然对流。本研究对对流进行了热力学上的严格讨论，说明了对流不是一种真正的传“热”方式，而主要是一种通过粒子运动输运内能的方式。基于对对流换热的讨论，从物理意义上阐释了场协同概念——当速度矢量处处与等温线垂直时，可获得最好的对流换热效果。为了进一步发展场协同理论，研究实现场协同的方法，导出了各种场协同解，包括具有热源的解与具有质量源的解以及边界协同解。对流强化传热是当前学术界的研究热点之一。本研究对两平行可渗透壁之间的二维对流换热导出了一些解析解，并运用单相强化传热的统一理论——场协同原理进行了分析。这些结果有助于启发增强或削弱场协同程度的实用方法。本研究还讨论了一些因素对于换热强度、场协同度等的影响。分析表明对于这种流动场协同度可能会对不同壁面的换热条件具有不同的影响，此外局部场协同程度在一些情况下可能比整个流动区域的场协同程度更有意义。就主控方程而言，非稳态对流比稳态对流问题更为复杂。一般而言，稳态对流问题可认为是非稳态问题的特例。本研究给出了一些在两平行壁面之间的非稳态二维对流换热的解析解，同时由这些解得出了一些有意义的结论。例如第一解表明非稳态对流换热在一定条件下可能退化为非稳态导热问题，此时流体运动对换热没有贡献。第叁解指出非稳态流体运动可用于弱化换热。本研究对考虑非Fourier效应和非Fick效应的热质耦合方程组导出了两组解析解。这些解有助于加深对多孔介质干燥中非Fourier非Fick超常传热传质过程的理解，同时可作为标准解校核数值计算结果，具有较好的参考价值。双扩散对流的主控方程组相当复杂，为数学上叁维的非线性偏微分方程组。本论文推导了双扩散对流的两套代数显式解析解。第一套解为无限长的柱形管中的双扩散对流；另一套解为无限长的具有多孔介质壁面的环管中的双扩散对流。它们对于传热传质理论具有重要的意义。复杂流变液体种类繁多，一般以非牛顿本构方程加以描述。理解流变液体的各种流动现象有助于推动一些学科和产业的发展。本研究对环管中的Oldroyd-B型不可压非定常旋流推导出了两个代数显式解析解。尽管流变液体主控方程较为复杂，这些解析解却非常简单。此外，本文还导出了广义二阶流变流的一个定常解。
马云苓, 耿献国[9]2011年在《两类(2+1)-维孤子方程的显式解》文中研究表明应用双线性方法,在(1+1)-维方程的帮助下,研究和讨论两类(2+1)-维孤子方程的显式解,给出了方程的单孤子解,双孤子解和N-孤子解,提供了求(2+1)-维孤子方程显式解的可行途径。
刘娜, 刘希强[10]2008年在《两类非线性发展方程的新的显式解》文中研究指明应用指数函数法,得到了(1+1)维Sinh-Gordon方程、(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程的一些新的显式解.
参考文献：
[1]. 非线性发展方程显式解的研究[D]. 刘希强. 中国工程物理研究院北京研究生部. 2002
[2]. AC=BD理论及其在一类微分方程中的应用[D]. 肖亚峰. 大连理工大学. 2004
[3]. 有限维可积系统、无穷维孤子系统及其显式解的代数几何构造[D]. 陈金兵. 郑州大学. 2006
[4]. (2+1)维非线性发展方程的对称约化和显式解[J]. 张颖元, 刘希强, 王岗伟. 量子电子学报. 2012
[5]. 两个高维孤子方程的显式解[D]. 刘敏. 大连理工大学. 2008
[6]. 一类广义非线性sine-Gordon方程新的显式解[J]. 周建平, 闫志莲. 量子电子学报. 2007
[7]. 一维广义热传导方程的精确解[J]. 林府标, 张千宏, 张俊, 龙文. 重庆师范大学学报(自然科学版). 2018
[8]. 能源利用问题的代数显式解析解[D]. 苟晨华. 中国科学院研究生院（工程热物理研究所）. 2007
[9]. 两类(2+1)-维孤子方程的显式解[J]. 马云苓, 耿献国. 广西师范大学学报(自然科学版). 2011
[10]. 两类非线性发展方程的新的显式解[J]. 刘娜, 刘希强. 数学的实践与认识. 2008
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