中考数学中存在性问题的解法探讨，本文主要内容关键词为：解法论文,中考论文,性问题论文,学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
存在性问题通常分为肯定型、否定型和讨论型三种。常用的解法一般有以下几种：
一.直接法：
直接法是根据问题提供的信息，运用已知的知识和方法，通过计算或逻辑推理，从而求出或证得符合条件的结论或否定结论存在。
例1设a、b、c是三角形的三边，试求方程b[2]x[2]＋（b[2]＋c[2]－a[2]）x＋c[2]＝0的实数解。
解：∵a、b、c是三角形的三边，∴b[2]≠0。
又知三角形两边之和大于第三边，
∴△＝（b[2]＋c[2]－a[2]）[2]－4b[2]c[2]＝（b＋c＋a）（b＋c－a）（b－c－a）＜0。
∴方程不存在实数解。
二.分析法：
用分析法解答肯定型和讨论型存在性问题的一般思路是“假设存在——演绎推理——得出结论（合理或矛盾）”从而对“是否存在”做出准确的判定和正确的推断。
例2如图1，已知抛物线y＝ax[2]＋bx＋c经过原点O，与直线y ＝kx＋4相交于A（1，m）、B（2，2）两点，又与x轴交于c点。
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线是否存在点D，使得S[,△OCD]＝（9/16）S[,△OCB]，如果存在，请求出所有满足条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由。
解：（1）直线解析式为y＝－x＋4，抛物线解析式为y＝－2x[2]＋5x。
（2）设D（x，y）是符合条件的点，依题意，得（1/2）·│OC│·y＝（9/16）·（1/2）·│OC│·2，∴y＝9/8
∵D是抛物线上的点，∴－2x[2]＋5x＝9/8，
解得，x＝9/4，或x＝1/4
∴在x轴上方的抛物线上存在点D，使S[,△OCD]＝（9/16）S[,△OCB]。
D点坐标为（9/4，9/8）或（1/4，9/8）。
三.构造法：
以原始问题的情境特点为依托，通过观察、联想、提炼加工，建立新的数学模型，使问题在新的关系中实现转化，从而导出正确的结果。
例3求证：对任一矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B和矩形A的周长和面积比都等于常数K（K≥1）。
分析：设矩形B及A的长和宽分别是x、y及a、b，为证明满足条件的
┌x＋y＝K（a＋b），
矩形B存在，只需证明方程组〈
（K、a、b 为已知数）
└xy＝Kab
有正实数解即可。
联想到二次方程的韦达定理，∴x、y可以看作二次方程z[2]－K（a＋b）z＋Kab＝0的两根，
∵K≥1，故判别式
△＝K[2]（a＋b）[2]－4Kab≥K[2]（a＋b）[2]－4K[2]ab
＝K[2]（a－b）[2]≥0
∴上述二次方程有两实数根z[,1]、z[,2]。
又z[,1]＋z[,2]＝K（a＋b）＞0，z[,1]·z[,2]＝Kab＞0
从而，z[,1]＞0，z[,2]＞0，即方程组恒有x＞0，y＞0的解，所以矩形B总是存在的。
四.从特殊到一般的方法
有些存在性问题从一般情况思考很难得出结论，如果联想它的特殊情况，如特殊数值、特殊位置的点、特殊图形等，从研究特殊情况入手，通过观察、分析、类比，便可归纳、发现问题的一般结论或解题途径，这就是特殊到一般的方法，也称经验归纳法。
由以上分析可知△DEF三边上满足条件的P点仅有两点P[,1]和P[,2]。
五.分类讨论法：
根据数学研究对象本质属性的共同点和差异，分成几类情况，再按层次逐级讨论，最后通过综合归纳出正确结论。
分类讨论解题方法直观，逻辑性强，可避免漏解或重解，在数学解题中有广泛应用。
例5 当a＞0且b＞a＋c时，求证方程ax[2]＋bx＋c＝0 必有两个不同的实数根。
略证：根据c的取值范围，本题应分两种情况讨论
（1）如果c≥0，则a＋c＞0，∵b＞a＋c，∴b[2]＞（a＋c）[2]，于是△＝b[2]－4ac＞（a＋c）[2]－4ac＝（a－c）[2]≥0，即△＞0。
（2）如果c＜0，则ac＜0，△＝b[2]－4ac≥－4ac＞0，仍有△＞0。
综上所述，恒有△＞0，故原方程必有两个不同的实根。
六.反面求解法：
有些存在性问题用直接推理法有较大困难，运用求异思维，从反面考虑，往往有化隐为显，化难为易的功效。
例6 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c为最大边， 如果accosA＋bccosB＜4S，（其中S为△ABC的面积）。
求证：△ABC为锐角三角形。
分析：如果从正面考虑，∵c是最大边，故∠C是最大角， 要证△ABC为锐角三角形，就需证明∠C是锐角。为此需证明cosC＞0。过程比较复杂，如从反面来考虑，即最大角∠C不是锐角，而是直角或钝角， 结论一举可得。
设∠c＝90°，则在Rt△ABC中，
accosA＋bccosB＝ab＋ab＝2ab＝4S
与accosA＋bccosB＜4S矛盾。
如设∠C＞90°，而
accosA＋bccosB＞ab＋ab＝2ab＞2absinC＝4S，也与已知条件矛盾。
故∠C不可能为直角或钝角。
∴△ABC为锐角三角形。
七.作图法：
根据问题条件中数量关系的几何意义画出相应图形，根据几何作图及对图形性质的分析作出判断，从而使问题解决。
例7以线段a＝16、b＝13、c＝10、d＝6为边，且使a∥c作四边形，这样的四边形能作多少个？
分析：如图，若这样的四边形ABCD存在，AB＝16、AD＝13、DC＝10、CB＝6，且AB∥CD，作CE∥AD，△CEB应存在，但此时BC＝BE＝6，EC＝13，6＋6＜13，与三角形边的关系矛盾。
∴这样的四边形不存在。
八.抽屉法：
根据问题的特征，运用抽屉原理解题。
例8任意三个整数中，至少有两个整数的和（或差）一定是偶数。
解：从整数奇偶性考虑，可将整数分成奇、偶两类，由抽屉原则，必有一类至少含有两个数，它们的奇偶性相同，同奇偶的两数的和（差）必定是偶数。
注意：整数除按奇偶性分类外，还可按完全平方数与非完全平方数、质数与合数、奇数与2 的非负数整数幂的乘积等分类方式构造“抽屉”。