中学教材中的“数学文化”内容举例，本文主要内容关键词为：教材论文,数学论文,中学论文,内容论文,文化论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近来，数学文化的提法为大家所关注。那么，如何在中学教材中加以体现？常见的方法，是把数学史的知识放一点进去，介绍几个数学家和数学故事，借以增加一些文化色彩。我们在这里有一些不同的想法，并应某些出版社之邀写了几个段落，先发表于此，请读者批评指正。
1.对称
对称，即相对又相称。这在人类早期文明中就有体现。《易经》中的太极图，就是对称图形。（图1）。
对称，是我们生活中常用的概念。我们的服装设计、室内装潢、音乐旋律都有对称的踪迹。“门当户对”，是一种平衡的要求，成为某些人的婚姻和人际交往中常用的规则。文学中的对仗也是一种对称。王维的诗句：“明月松间照，清泉石上流”，具有自然意境之美，也有文字对仗工整之美。中国文化特有的对联，更把“对称”的要求提到非常高的程度。
但是，到了数学家的手里，朴素的对称观念就进一步精致化了。数学家把对称看作某种运动下的不变性质。例如，轴对称图形就是沿对称轴翻折以后图形的形状不变，旋转对称就是以旋转中心转动以后图形的形状不变。这种“变化”之下的不变性质，可以更深刻地显示对称的本质。这也符合我们通常的认识。例如，王维诗中的对仗，无非是把“明月”变换到“清泉”，而不变的是语词的性质。形容词“明”对形容词“清”，名词“月”对“泉”。同时不变的还有：二者都是自然景物。其他词语的对仗，同样是一种不变性质。
对称本来只是几何学研究的对象，后来数学家又把它拓广到代数。比如二次式x[2]＋y[2]，现在把x变换为y，y变换为x，原来的式子就成了y[2]＋x[2]，结果仍旧等于x[2]＋y[2]，没有变化。由于这个代数式经过变换之后，形式上完全和先前一样，所以把它称为对称的二次式。韦达定理中的两根之和，两根之积可都是对称的代数式。
如果把对称仅仅看作是表示一些几何图形的轴对称和旋转对称而已，那就太小看对称了。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理。
杨振宁和李政道获得诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，就和对称密切相关。另外一个被称为“杨振宁——米尔斯规范场”的著名成果，更是研究“规范对称”的直接结果。杨振宁在“对称和物理学”一文的最后这样写道：
“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗？我的回答是，十分可能。”
对称图形是美的，对称观念是美的，对称理论更是美的。大自然的结构是用对称语言写成的。
由此可见，对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中，更在大自然的深刻结构中。数学和人类文明同步发展、密不可分，“对称”乃是纷繁世界文化中的一个部分。
以上杨振宁的引文见《杨振宁文集》第444页、703页。
2.直观与理性
追求真理是人类永远的目标。那么，我们如何判断一个命题是真理呢？这可是一个复杂的问题。不同的人，在不同的文化影响下，会有不同的答案。
让我们从最简单的几何命题一“对顶角相等”开始。如图2， 两条直线相交，那么∠1等于∠2。
这太简单了！一眼就看出来了！这还要证明吗？那不是自找麻烦吗？
大家注意，在世界名著—欧几里得编写的《几何原本》中，“对顶角相等”是命题15。证明如下：∠1＋∠3是平角，∠2＋∠3也是平角，然后根据公理3（“等量减等量，其差相等”），所以∠1＝∠2。
据历史考证，最早使用这一方法的是公元前7 世纪古希腊数学家泰勒斯。这里，重要的价值不在“对顶角相等”的命题本身，而在于泰勒斯提供了不凭直观和实验的逻辑证明。
古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主民主政治。由男性公民组成的民众大会有权制定法律，处理财产、祭祀、军事等问题（注意：广大的奴隶、妇女、外来人不能享受民主权利）。奴隶主的民主政治和皇帝君王独裁的政治，是有所区别的。古希腊的奴隶主民主政治，往往需要用理由说服对方，于是学术上的辩论风气较浓。为了证明自己坚持的是真理，就需要证明。于是，古希腊的学术，不仅要解决真理“是什么（What）”的问题，还要回答“为什么（Why ）”的问题，“唯理论”的学术风气很盛。
在这样的政治文化氛围中，数学也就不仅要回答“什么是数学真理”，还必须回答“为什么”它是数学真理。于是“对顶角相等”命题的证明就是可以理解的了。试想：为了证明自己的学问是真理，先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，成为公理的逻辑推论，岂不是很有说服力吗？
重要的几何命题是世界各国都有的。比如，中国很早就发现了勾股定理，古希腊称之为毕达哥拉斯定理。中国为了说明勾股定理的正确，也讲“为什么”，使用了“出入相补”原理，用拼接的方法加以证明。但是，中国的古代数学，多半以“官方文书”的形式出现，目的是为了丈量田亩、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。虽然中国古代社会也说理，却没有古希腊那样的“自由学术辩论”，唯理论没有形成大的风气。因此，中国古代没有用公理方法进行学术探讨的传统。文化上的差异，导致了数学上的分别。
对于古希腊用公理化体系表达科学真理的方法，后人称它为“理性思维”的一种最高形式。这一点，中国传统文化中比较薄弱和欠缺，我们应当实行“拿来主义”，认真加以学习和体会，努力提高我们的思维能力。数学是体现理性思维最好的载体。所以，我们学习数学，不仅要记住定义和定理，更重要的是能学会这种理性思维的方法。
但是话说回来，我们不能事事、时时使用公理化的逻辑思维方法。那会成为书呆子的。我们仍然应当重视自己的直观观察能力，运用测量、估计的手段，使用物理的、化学的实验方法，采用各种证据来说明自己所主张的结论是科学的真理。公理化方法，只是其中的一种（然而是十分重要的一种）而已。
直观和理性是整个思维过程的两个方面，相辅相成。
3.函数：宏观与微观的两种考察
初中的函数定义是朴素的、宏观的。它告诉我们，世界上万物都在运动着，而且相互关联着。从某个数量上看运动，便是一个变量，而变量之间的关联，正是函数关系。
到了高中，函数的定义是静态的、微观的。这时的函数，着重在一个集合的某一个元素到另一个集合中唯一确定元素之间的对应关系。
这两种定义，并无高低之分，只有宏观和微观的区别。如果我们要考察函数的变化趋势，那么我们多从宏观的角度进行考察。一次函数表示直线，二次函数的图象是抛物线。三角函数是周期变化的，指数函数则是急剧式的变化，人称“指数爆炸”。至于对数函数，则是缓慢上升的例子，比直线y＝x还慢。这里，我们无须“对应”关系来帮忙，只需宏观地观察数量的动态变化趋势就行了。
但是，科学研究除了要宏观地考察之外，还要深入地、精细地观察每一个细节，微观地考察事物。正如物理学既要考察天体的宏观运动，也要考察原子内部的电子结构一样。高中的函数概念，更注意每一个自变量x和因变量y之间的对应关系。以分段函数为例，我们不仅看它的一般变化趋势，还特别关注端点处所对应的函数值。究竟是取哪一段的值，该段是否包括左端点或右端点？这就是比较微观地研究了。
著名的迪里赫莱函数是指定义在[0，1]上的如下函数
D（x）＝
这样的函数，只靠宏观描述是难以奏效的，只有微观地静态描述才显示出数学的精确性。
宏观与微观，实际上是人们常常运用的视角。管理工厂，既要观察未来市场发展的大局，又要考虑每一道工序的微小细节。在艺术上，既要有宏观的高超意境，还必须注意具体的文字处理。绘画上有泼墨画，讲究的是整体的宏观意境，而工笔画则是微细的笔墨刻画，连花鸟上的叶脉和羽毛，都画得一清二楚。
数学思想，其实和人们的思维方法是相通的，只是更加精确、更加理性罢了。
4.时间与空间的思考
初唐诗人陈子昂的著名诗篇云：“前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠，独怆然而涕下”。这是古人对时间和空间看法的文学表述。他的时空观，就是欧几里得几何的时空观，也是今天人们普遍持有的朴素时空观。
诗的前两句表明：时间的两端都是无限的。上有二维的天，下有二维的地，形成一个三维空间。诗人的位置是原点。他作为一个思古想今、展望大地的学者，感叹天地之宏大，时间之遥远，觉人生之短暂，视野之狭隘，遂有上述的诗情。
今天，我们的几何学—欧几里得几何学，正是在这样的时空观下面讨论的几何学。
时间的模型，就是一条直线，两端无限，中间连绵不断。子在川上曰：“逝者如斯乎，不舍昼夜”。我们从整数、有理数到实数，填满整个直线。实数系的连续性，正是时间连续性的数学写照。同样，直线也是空间连续性的数学模型。牛顿力学，正是在这样的时空观上展开，形成了17世纪科学革命的标志。
我们的地球近似地是一个圆球。地球表面则是一个球面。一条航船在汪洋大海中航行，沿一个固定方向行驶的轨迹似乎是一条直线，其实是一条圆弧。连接地球上两点的最短线是这两点和地球中心构成的“大圆”上的一段弧。在球面上架一个笛卡儿坐标系，以南极为原点，经线和纬线为坐标轴，那么两根坐标轴在北极交成一点，这在欧氏空间里是不可能出现的事（欧氏平面上的x、y两轴是永远不会相交的）。
显然，描述我们生存的空间，欧氏空间虽然可以大体近似，但是在数学上已经不够用了。于是，就有非欧几何的出现。欧氏空间把空间看作各相同性的，即一条线段、一个图形的面积，搬来搬去不会改变，到处都一样。现在看来也不合适。整个宇宙空间中，有的地方密度大（如星球、星云所在处），其他地方密度就很小，于是在空间各处会发生变化的距离、面积等等现象，要有新的几何学来描述，这就是微分几何学的研究对象。
20世纪初，爱因斯坦发表相对论，认为时间和空间不能分割，我们生活在一个四维空间之中。新的物理学理论认为宇宙是一次大爆炸之后才形成的，于是时间有了“起点”。这些重大的科学问题，正对数学研究提出更新的研究方向。
时间和空间的研究远没有完结。
5.小概率事件：万无一失
成语词典上对“万无一失”的解释是：“比喻有绝对把握”。这仅仅是比喻而已。从数学上看，虽然万无一失，但是也许第一万零一次就失败了呢。尽管可以“亿无一失”，但是十亿次、百亿次后出现失误的可能性不是依然存在吗？因此，“万无一失”只能说出现失败的可能性很小，毕竟不能和“有绝对把握”划等号。
概率论中把事件发生的概率很小的事件，称做“小概率事件”。小概率事件是我们每天都碰到的事情。比如：
·某地的“福利彩票”，十万户设一个特等奖，奖金100万元。 因此，中特等奖的概率是十万分之一。
·我国2001年因交通事故而死亡的人数为7万余人。 以全国人口14亿计算。一年内因车祸死亡的概率约为五万分之一。
·一个零件，正品率要达到0.999，意思是一万个零件， 大约有一个次品，即“万仅一失”。
·完成一件任务，有九成把握，即“十拿九稳”。此时成功的概率达到9／10，失败的概率为1／10。
那么，多大的概率算“小概率”？这是因人、因地、因事而异的。没有统一的标准。
中国古代军事学有“六十庙算”的说法。意思是有6 成把握就应该攻打。实际上把0.4也看成小概率了。一般地说，95 ％的把握是大家最常见的底线。也就是说，0.05通常被认为是小概率。但是这不可一概而论。
一台设备有1000个零件是常见的（如一架飞机）。假如每个零件的合格率是0.999，而且其中一个零件失效，就会导致整个系统失效。 那么，按照独立事件的概率计算方法，整台设备正常工作的概率只有0.999[1000]＝0.368。 这意味着这台机器就有三分之一的时间能够正常使用。这样的产品怎么卖得出去？如果是发射宇宙飞船，涉及的零件和部件非常之多，其可靠性的要求必须非常的严格。0.0001的次品率已经很高，不是小概率事件了。
小概率事件还和人的心理因素有关。比如，有些人觉得自己肯定会中奖（十万分之一），却认为绝对不会出车祸而死亡（五万分之一）。
确实，如何对待小概率事件，是人们处理工作和生活问题的必备科学素质。不当地忽视小概率事件，会因麻痹大意，酿成大祸。但也不必过分害怕小概率事件，以致谨小慎微，裹步不前。事实上，你不必因担心天上的飞机会掉落在你的头上而忧心忡忡，但更不可因疏忽大意使飞机的安全受到威胁。只有对具体的小概率事件做具体分析，科学地加以处理，才能在“十拿九稳”、“万无一失”、“绝对把握”等等之间作出正确的抉择。
注：对“万无一失”的解释见《中华成语、熟语辞海》，学苑出版社。