学生解决新概念问题的困惑及教学对策_抛物线论文

学生解答新概念型问题的困惑及教学对策，本文主要内容关键词为：新概念论文,对策论文,困惑论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

新概念型问题是指在问题中给出一个学生没有学过的新概念，要求学生运用已有的知识和经验理解新概念，并根据新概念进行判断、计算、推理、迁移的一种题型.这类问题需要学生具备很强的数学阅读、信息获取和加工以及反思概括等能力，因此会给学生的解答造成一定的困惑.笔者在教学实践中，针对学生的解答困惑，进行了一些探索与思考，现整理成文，与同行交流.

困惑1：信息量大，难读懂

有些新概念包含4个要素，即概念的名称、定义、例子和属性.有时为更简洁地反映一类对象在数与形方面内在的、固有的属性，还会引进反映本质特征的符号和图形来表示定义的内涵.因此，解答这类问题，需要学生不断地把文字语言、符号语言、图形语言相互转化，这将导致数学阅读能力较弱的一部分学生读不懂新概念，理解不了题意.另一方面，大部分的数学教师对如何指导学生进行有效的数学阅读缺少有力措施，只是让学生多读几遍题目，这对读懂这类新概念的帮助并不大.

（1）已知点

，点B为y轴上的一个动点.

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值.

（2）已知点C是直线

上的一个动点.

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.

对策1：圈点关键要素，用自己的语言复述新概念

数学教育心理学的相关研究表明，如果学生可以用自己的语言来表述关键属性，则能更好地了解概念，且比较容易应用于新的情境；学生即便只是用自己的语言来表述无关属性，也能从中获益.事实上，学生能用自己的语言正确地叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这就是学生深刻理解概念的标志.

例1给出了一个新概念——“非常距离”，这个新概念中包含大量的符号语言和图形语言，给学生的直接感受就是题目长、难读懂，甚至还会让一些学生觉得越读越糊涂.分析其原因，主要是信息量太大，给学生的信息获取和加工造成困难.针对这种情况，笔者给出如下做法.

师：大家在阅读新概念时，圈点出定义中的一些关键要素，并说说“非常距离”与什么有关？

：“非常距离”与两点的横坐标差的绝对值及纵坐标差的绝对值有关.

【设计说明】通过圈点关键要素加强学生的有意注意，使学生通过阅读尽可能地注意到概念的关键属性.

师：大家阅读完新概念后，尝试用自己的语言去复述这个新概念.

：“非常距离”就是横、纵坐标差的绝对值中较大的那个.

师：很好！同学们都说出了自己对新概念的理解.用自己语言复述新概念可以帮助我们有效地克服阅读困难，促进对新概念的理解，这在以后的概念学习过程中值得借鉴.

困惑2：理解不透，难应用

许多的新概念型问题，给学生的感受是知道新概念的意思，但不会用这个概念.究其原因，是因为学生对新概念的理解只停留在直接性理解层次，而没有达到解释性理解层次.所谓的直接性理解是指对数学语言、名称的表面理解，具体表现为能用语言准确地表述数学概念，但只能找出肯定的正例或反例；解释性理解是对数学概念内在联系的理解，具体表现为能理顺概念之间的上位、下位、同位关系，深刻理解概念的内涵和外延，能把握概念产生的过程，揭示概念之间的联系等.当新概念在思维水平上应用时，就需要达到解释性理解层次，这也就是造成一部分学生知道新概念的意思，但不会用这个概念的主要原因.

例2 （2011年浙江·台州卷）已知抛物线

与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为点C、D.若点A、B、C、D中任意3点都不在一条直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线.

（1）如图4，求抛物线

的伴随直线的解析式.

（2）如图5，若抛物线

（m>0）的伴随直线是y=x-3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式.

（3）如图6，若抛物线

的伴随直线是y=-2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形.

①用含b的代数式表示m、n的值；

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，说明理由.

对策2：“回到定义去”，用定义导航数学思考

“回到定义去”是一种元认知监控，即对思维的起点和方向进行思维监控，并适时调控自己认知的过程，这是波利亚怎样解题表中的一条基本原则.由于新概念易受其他信息的干扰，学生在解题过程中会忽视一些关键属性和概念之间的联系.不断地“回到定义去”，不但可以促进对新概念本质属性的把握，而且还会强化学生对概念之间联系的关注，能有效帮助学生从直接性理解层次过渡到解释性理解层次.

例2用直接定义的方式给出了一个抛物线的伴随四边形和伴随直线，第（1）小题让学生求出一个具体抛物线的伴随直线，考查学生的直接性理解层次，而第（2）小题、第（3）小题第①问需要学生深刻理解抛物线、伴随四边形和伴随直线的内在联系，明确伴随直线是由哪两个点确定的，伴随四边形的4个顶点与抛物线以及伴随直线三者之间的关系，主要考查学生的解释性理解层次.为让学生达到解释性理解层次，笔者给出如下的做法.

师：先看第（1）小题，大家思考一下，求直线解析式的常用方法是什么？需要什么条件？

生：待定系数法，需要知道直线经过的两个点的坐标.

师：那我们知道这条伴随直线经过哪两个已知点了吗？

（一部分学生还没有明确答案.）

师：现在大家回到定义去看什么叫做伴随直线.

：经过抛物线与y轴的交点（0，5）和抛物线顶点（2，1）.

师：很好！回到定义去，就会让我们关注到伴随直线最本质的属性，即它是由抛物线顶点和抛物线与y轴交点确定的直线.

师：再看第（2）小题，用顶点式求抛物线的解析式，需要知道哪些条件？

：顶点坐标和抛物线上另一个点的坐标.

师：对！那我们能知道它的顶点坐标及另一个点的坐标吗？

生：不知道.

师：那同学们就再次回到定义去，重点关注一下伴随四边形的4个顶点与伴随直线、抛物线三者之间有什么联系？

：我知道伴随四边形面积为12这个条件怎么用了.

：我求出抛物线的顶点坐标了.

师：说说你的思路.

：由定义可知伴随四边形ABCD的顶点A、C的坐标为点A（0，-3）、点C（0，3），这样在△ABC中就可以算出AC边上的高，它就是点B的横坐标，由于点B在伴随直线y=x-3上，又可求出它的纵坐标，这个点B就是抛物线的顶点.

师：当回到定义去关注概念之间的联系时，我们就会发现伴随直线与y轴的交点既是抛物线与y轴的交点，又是伴随四边形的一个顶点，这使我们找到了问题的切入点.

师：最后我们考虑一下第（3）小题，大家能画出这个矩形的示意图吗？

师：如果觉得有困难，就再次回到定义去，寻找伴随四边形的4个顶点与伴随直线、抛物线三者之间有什么联系？

：我知道矩形的顶点A和顶点C的坐标分别是（0，b）和（0，-b），还有一个顶点是抛物线的顶点且在伴随直线上，这样就可以画出这个矩形的示意图.

师：根据这些概念之间的关系，把与m、n、b有关的信息在矩形的示意图中作出标记，并考虑如何建立起它们之间的关系.

：如图7，过点B作BE⊥Ox于点E，连接OB，

利用勾股定理可以得出

，

又由点B（m，n）在伴随直线y=-2x+b上，

可得到方程为：

n=-2m+b，

这样就可以解出

师：刚才，在对新概念的应用遇到困难时，我们都是“回到定义去”，寻找新概念之间以及新概念与抛物线之间的联系，化解了这些困难.“回到定义去”，不但可以帮助我们加深对新概念的理解，还可以让定义导航着我们的思考，是一个重要的解题策略.

困惑3：联系不易发现，难关联

新概念型问题为有效地检测出学生在新概念的学习活动中的一系列表现，往往设计成一个有条理的分层级问题串，各小题之间会按某种逻辑递进展开，各小题之间存在着一定的内在联系，但很多时候这种内在联系不容易被发现，给学生的感受是各小题之间的关联性不强，从而给反思能力不强的学生带来很大的困惑.

例3 （2013年浙江·台州卷）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.

（1）试用直尺和圆规画一个“好玩三角形”.

（2）如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=

.求证：△ABC是“好玩三角形”.

（3）如图9，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2∠β，点P、Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB—BC和AD—DC向终点C运动，记点P所经过的路程为s.

①当∠β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，求

的值；

②在点P、Q的运动过程中，若有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，直接写出tanβ的取值范围.

对策3：反思追问，在启发下拾级而上

这个已经解决的问题与现在正要解决的问题有关吗？能不能利用它？能利用它的结果吗？能利用它的方法吗？通过前面的问题解决，受到了哪些有益的启示？为了利用好这些启示，是否需要引入某些辅助元素？能不能从整体的角度去思考这样的问题？这样一系列的反思、追问是波利亚怎样解题表拟定计划中的解题建议，它能让学生在反思追问中寻找到小题间的联系，把看似没有联系的各小题关联成一个整体，并在启发下找到下一个层次问题的切入点，使学生的解题拾级而上并最终正确地解决问题.

例3给出的“好玩三角形”是一个新概念，是在直角三角形和等腰三角形两个系统内进行的一系列探究.其中第（2）小题在直角三角形中，已知一个特殊锐角的正切值，证明它是“好玩三角形”；第（3）小题实质上在菱形背景中让学生探究有两条边相等的“好玩三角形”的性质，即它的底角正切值是两个固定值之一.这种用正切值来探究“好玩三角形”的设计意图，学生不容易觉察到，它们之间的内在联系更难被发现，导致学生无法把前后各小题关联成一个整体去思考，进而导致问题串最后面的问题无法被解答.针对这种情况，笔者给出如下做法.

师：