向量在轴上的射影的辨析，本文主要内容关键词为：射影论文,向量论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
向量在轴上的射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础。对此各种版本的书上存在两种完全不同的定义，因而产生了一些混乱，造成了广大师生的困惑。
一、问题呈现
下面以人教社的两种教材为例做些讨论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广大师生讨论指正。
《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学①必修（以下简称课标本）第115页：
3.向量在轴上的正射影
该书虽未给向量在轴上的射影下定义，但上述“|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影”，已隐含向量在轴上的投影是数量。可见课标本与大纲本的定义是完全不同的。
高里德凡著《矢算概论》第17～18页对此的表述如下：
10.矢量的分量及射影 可以区别正负方向的无限直线称为轴。例如在解析几何中，直线Ox、Oy及Oz是轴，因为在它们上面具有正负方向。
A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线
的垂足（如图4）。如果A点位于射影轴上，那么，它的射影与其本身重合。
这一定理称为夏尔定理(Chasles)，是解析几何的奠基定理，与向量射影定理相结合可以推出平面直角坐标系基本定理，从而方便地推出两点间的距离公式、斜率公式、分点公式、三角形面积公式等直至解析几何的所有公式。
为了给出向量在x、y轴上的射影的定义，先从平面向量的直交分解谈起：
由上可见，澄清关于向量在轴上的射影的有关概念及其符号体系，对于教材建设的意义是重大的。以上的改革方案是粗略的，限于水平也是不完善的，请大家讨论指正。
（本文在成文过程中曾与张奠宙教授、华宣积教授、杨象富（特级教师）老师通过电话、书信讨论，在此向他们深致谢意）
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