整体把握与实施高中函数概念教学，本文主要内容关键词为：函数论文,概念论文,高中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
函数概念是中学数学的核心概念之一，学生对这一概念的学习和理解将贯穿在整个中学数学学习过程中，由于受到不同年龄阶段认知发展水平、生活经验、学习经验的影响，学生对它的认识和领悟过程不是线性的，而是一个循序渐进、螺旋上升的过程。通过课堂观察以及归纳学生学习函数中的问题不难发现，在以往教学中，存在忽略学生认知基础，过快地呈现函数形式化定义，脱离函数概念相对孤立地研究函数性质与具体函数，以及解决函数问题时不善于回归函数概念本原等现象，从而导致学生对函数概念本质理解不准确、不深刻。《普通高中数学课程标准（实验）》建议函数概念教学从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解[1]。
为此，本文分析了高中学生学习函数概念的认知基础和思维水平；细化了立足概念本质关注概括过程的函数概念教学；提出了函数性质教学中回归函数概念的关键；指出了具体函数教学中加深理解函数概念的方法；最后，举例说明解决有关函数问题可促进函数概念的进一步深化。
一、由学生认知基础定位高中函数概念教学
学生对函数的认识可以追溯到小学，那时，他们主要感受了“对应”和“关系”（如图1）。在初中，学生学习实数、代数式、方程和不等式，感受了“对应”和“变量间的关系”，潜移默化地研究了函数的局部性质，这些都为建立函数的描述性定义奠定了基础（如图2）。
学生在初二年级正式学习函数概念，根据认知年龄特点，初中学生更容易从观察变量的角度认识函数，看到当一个量变化时，往往影响（或伴随）另一个量的变化。虽然此时的函数概念中已经蕴含了对应的本质，但是，作为初中的学生更关注变化，他们很自然地把变化作为函数最重要的特征，把函数概念紧紧地与“变化”“表达式”联系在一起。
图1
图2
课改之际，我们对我区高一新生做了一项有150名学生参加的问卷调查，调查显示如下。
(1)94%的学生能举出具体函数的例子，说明学生更容易接受和学习具体的函数。
(2)96%的学生能泛泛举出函数在实际生活中的应用，想象力丰富；4%的学生提到在数学中的应用，可见学生对函数在实际中应用的思路比较开阔，对在数学中的应用还很少涉及。
(3)64%的学生提到用解析式表示函数，但是，其中42%的学生是通过举具体函数的例子来说明的，少数学生提到用图象、列表、文字、方程、等式、公式等表示函数，由此可见，函数各种表示方式中学生印象最深的是解析式，而且是具体函数的解析式。
(4)学生对函数概念的认识多种多样，大致概括为：①函数有两个变量，自变量和因变量；②函数表示数量间的关系，一个变化，另一个随之变化；③函数就是解析式；④函数就是运算关系式；⑤函数就是图象；⑥函数是具体的函数（一次函数、二次函数、反比例函数）。
(5)18%的学生说出函数概念的本质是描述变量之间的关系，4%的学生说出函数概念的本质是对应，可见学生不容易理解函数概念的本质。
据此，我们了解了高一学生继续深入学习函数概念的知识基础：有一次函数等一些具体函数的例证，知道它们的解析式和图象，对函数概念的认识多数处在感性认识阶段。经验基础是：了解函数在实际中的广泛应用，对函数能描述客观世界某些变化规律有初步的认识。思维水平是：虽然从形象思维逐步过渡到逻辑思维阶段，但刚进入高中，还要从经验型的逻辑思维向辩证逻辑思维发展。
为此，在高中函数概念教学中，我们要客观地面对学生的思维水平和对函数概念处于较浅层次认识的实际，站在数学教学整体的高度，不失时机地帮助学生在已有认知基础上不断提高他们对抽象的函数概念的认识和理解，把“对应法则”作为函数概念的核心，理解定义域对于刻画函数的重要作用，能用多种方式表示函数，善于发挥图形在认识和理解函数概念中的作用，引导学生在研究函数性质、具体函数、函数应用中多次回归函数概念本原，反复体会，逐步加深对这一概念的理性认识。
二、在函数概念教学中细化概括过程
概念教学的核心是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例属性、抽象概括本质属性、归纳得出概念等思维活动而获得概念[2]。
1.丰富函数概念的背景，关注问题情境的设置
在高中函数概念新课中教师创设怎样的问题情境？追寻函数概念历史发展的轨迹，始终遵循人的认知过程，是先有函数定义的变量说，后来认识到变量概念难以精确化，因变量如何“依赖”自变量，也没有细化，对函数的认识需要进一步深化，继而出现了函数定义的对应说。历史上认识函数概念的“渐进性”给教学带来启示，问题情境设置关注两点：一是让学生自然地衔接初中学过的函数概念；二是让学生从丰富实例中产生认知冲突，感到再次学习函数概念的必要性。
例如，用几何画板演示一个变化的圆——一个半径不断增大的圆的运动过程。在学生观察圆的变化时，提出问题：这个运动变化过程中有哪些变量？哪些变量之间存在依赖关系？这些依赖关系是函数吗？学生发现了变量间的关系
（半径r，面积S，周长C），唤起他们对初中学过的函数概念的回忆。然后，教师继续提供给学生一些认识函数的感性材料。
实例1 某同学买笔记本，每本5元，买x(x∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本的总钱数y与本数x之间的关系是什么？
实例2 一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶时间从0分钟到10分钟，速度与时间的关系是什么？
实例3 张明测量自己在安静状态下海分钟脉搏次数，剧烈运动后，每隔1分钟测量一下自己每分钟脉搏次数，直到第4分钟，数据如下：
在上述变化过程中，哪些量在发生变化？谁依赖谁在变化？
有代表性的实例能丰富例证的多种属性。实例1中函数y=5x，x∈｛1,2,3,4,5｝与学生以前学过的正比例函数y=5x有离散和连续的差别；实例2中看不到一个量随着另一个量的变化而变化；实例3中每分钟脉搏次数不能用确定的解析式来表示。学生感到用初中所学函数概念不容易判断这些实例中的关系是否为函数，有必要从新的高度再次认识函数概念。
2.增加学生的感性认识，重视概念本质属性的抽象过程
美国数学教育家杜宾斯基(Dubinsky)提出的数学概念教学的APOS理论，指出学生对概念学习的几个阶段：活动、过程、对象、概型。为了让学生抓住函数概念的本质是对应，要让学生充分经历“活动”、“过程”阶段。如上面实例1中，教师引导学生分析本数与总钱数之间的关系：1→5；2→10；3→15；4→20；5→25。通过多次“活动”抽象对应x→5x，再细化为数集｛1,2,3,4,5｝到数集｝5,10,15,20,25｝上的对应。实例2反映出速度与时间的关系是数集｛t|10≤t≤10｝到数集｛60｝上的对应t→60。通过多次“活动”，概括出一般的对应过程x→f(x)，这是一个普遍的对应过程。
为了抽象概念的本质属性，需要对实例的不同属性进行精确分化，从不同角度分析比较，舍弃非本质属性，分化出本质属性。怎样把“一个量变，另一个量跟着变”和“一个量变，另一个总是常量”统一起来？教师可以引导学生比较实例1和实例2的共性：无论是y=5x，x∈｛1,2,3,4,5｝还是y=60,t∈[0,10]，变量之间的关系都是x有一个值，y就有唯一确定的值和它对应，这个与它对应的值相同或不同并不是本质，只要是唯一确定的值就可以，一对一、多对一都可以。再比较实例3，找这个对应的值必然要有一个确定的法则，对应法则有无表达式并不是本质属性，进而概括出用集合对应的观点描述的函数定义。
对定义中“唯一确定”的理解可以联系生活实际，日常生活中变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定的函数关系，另一类是变量间的关系带有随机性的相关关系。函数描述变化，对于变化的结果来说，函数仅研究那些有确定结果的“变化”，变化结果的确定性是唯一性的背景[3]。
介绍表示函数的符号y=f(x)是让学生再次体会函数对应本质的良好时机，可以调整板书y=f(x)的顺序：在黑板上先写“x”，然后写“f( )”（刚才的x被括在括号内），最后在f(x)前写“y=”，一边板书一边口述函数定义，通过动态板书和口头强化会加深学生对符号y=f(x)内涵的理解。再通过举例f(x)=2x+1与f(t)=2t+1是同一个函数，让学生感受到它们定义域、对应法则都相同，得出值域也相同，用哪个字母表示解析式中的自变量并不是本质的。
为了加深学生对定义域在刻画函数中意义的理性认识，可以引导学生分析，在函数y=f(x)中，y与x的地位不同，x的变化起绝对性作用，y处于从属地位，函数的值域是由定义域和对应法则所决定的，除对应法则外，定义域是描述函数的另一个基本要素，可以通过具体例子（如y=x与
是不同的函数）来丰富学生对定义域在刻画函数中作用的感性认识。
3.突出图形语言的作用，强化对概念本质的理解
从前面的调查中我们知道，学生对函数表示方式印象最深的是解析式，其实，在一种表示法中看似理解了概念并不意味着在另一种表示法中也理解了概念，教学中可突出图形语言对理解函数概念的作用，从“形”的角度强化对概念本质的理解。在学生知道函数定义后，不能过早地盲目应用概念，为了让学生更加清晰地把握概念本质特征“对应”，可以让学生举出更多的不同于课堂呈现的函数的正例，用图象表示。在学生对函数概念有了一定理解的基础上，教师举出反例让学生进行概念的辨析。
例如，判断哪个图形（如图3）不是函数图象。
例如，判断哪个集合中的点所在的图形一定不是函数图象，点的集合是｛(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)｝，｛(1,5),(2,5),(3,6),(4,10)｝，｛(-2,8),(-1,4),(0,0),(1,2),(-2,10)｝。
图3
例如，比较函数y=3x，y=3x(x＞0),y=3x(x∈N*)的不同，让学生画出所给函数的图象，直观地看出它们明显的差异，理解即使函数解析式相同，但由于定义域不同，导致值域不同，是不同的函数。
例如，给情境，要求画图象，或者给图象（如图4），要求编实际问题。
图4
三、在函数性质教学中不断回归函数概念
研究函数性质离不开函数概念的支撑，要克服孤立地就性质论性质的倾向，在研究如何刻画函数变化规律的过程中不断回归函数概念，真正完成函数概念的初步建立。
1.由函数图象上点的变化规律回归函数概念
研究函数的单调性、奇偶性都离不开其非常直观的形象——函数图象，数形结合是研究函数性质的重要方法。然而，从直观的函数图象特征提升到用抽象的函数表达式表示性质有很大的思维跨度，需要给学生搭建一个从直观到抽象，从宏观到微观，从描述到刻画的平台。图象是由点构成的，图象上任意一点的坐标(x、f(x))是由自变量x，以及按照确定的对应法则f，得到唯一确定的与其对应的函数值f(x)构成的，研究图象上点的坐标变化规律实质上是在研究自变量的变化特征和函数值的变化特征，由此可揭示函数的变化规律。
例如，研究函数的单调性，以
在[0,+∞)的单调性为例，通过观察图象（从左到右）呈现逐渐上升的趋势，学生会用函数值y随着x的增大而增大的语言描述，如何用符号语言刻画“增大”？学生很自然地想到取两个特殊点，如点(2,4)和点(3,9)，引导学生分析“增大”表示了变化，有变化就需要有比较，具体说是有数值之间大小的比较，自变量2＜3，函数值4＜9。
如何用符号语言刻画函数值y随着x的增大而增大中的“随着”，引导学生挖掘“随着”蕴含着“按照对应法则”，上面提到自变量2＜3，函数值4＜9，再精细化，就是当自变量的改变量3-2＞0，按照对应法则，其对应的函数值的改变量
。
刻画函数单调性还有一个难点，那就是从刻画函数图象上两个特殊点的变化特征推广到任意两个点的变化特征，取值的任意性（任意的
）仍可回扣函数概念，函数定义中自变量x的任意性要求揭示函数单调性时也必须具有任意性。
例如，研究函数的奇偶性，呈现给学生一组具有共同特征（如图象关于y轴对称）的函数图象，具体到图象上的点，用点的坐标刻画其关于y轴对称，如
。
2.揭示定义域对于刻画函数性质的作用
函数定义域是函数三要素中除了对应法则外的基本要素，定义域在刻画函数的单调性和奇偶性中不容忽视。例如，函数奇偶性刻画的是在定义域上的整体性质，任取x∈D，都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立，说明这个性质是在定义域上的整体性质而非局部性质，对定义域D内的任意一个x，都有-x∈D，也就是f(-x)有意义，x、-x同属于定义域D，定义域关于原点对称。再如，函数单调性是函数的局部性质，单调性是在单调区间上具有的，离开了相应的区间就谈不上单调性。对于某个具体函数来说，单调区间可以是整个定义域，可以是定义域的一部分，也可以没有单调区间。可以通过对常见错误（如反比例函数在它的定义域上是减函数）的分析加深理解。
四、在具体函数教学中加深对函数概念的理解
函数概念是从大量具体函数例子中抽象概括的，如果没有丰富的具体函数的实例，函数概念也成了无源之水，无本之木。每一个具体函数又是非常鲜活、生动的函数实例，它具有函数的共性。研究具体函数需要以函数概念为指导，同时，通过对具体函数的学习又可以加深对函数一般概念的理解和掌握。
1.用概念同化的方式学习具体函数概念
数学概念的学习方式主要有两种，即概念形成和概念同化。幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等具体函数是“函数”的下位概念，可以用概念同化的方式学习。教学中最重要的是引导学生善于迁移函数概念的本质，用对应的观点描述该具体函数，指出其对应法则、定义域、值域。同时，兼顾具体函数的特殊性，其特有的对应法则，相应的定义域、值域，特有的函数性质、函数图象等，以此来再次充实函数的例证，丰富对函数概念的理解。
2.函数模型的实际背景是函数概念背景的具体化
每个基本初等函数都有其丰富的实际背景，每个基本初等函数模型都简洁地刻画了一类客观世界变化的规律。联系学生已有的生活经验，呈现他们熟悉的实际背景是对函数概念背景的具体化再现。例如，指数函数的实际背景有：细胞分裂，细菌繁殖，复利计算，物质衰变，这些现象在一定条件下其数量与时间（或次数）的关系都是按指数规律增长的，可以用指数函数模型
刻画。如果研究细胞分裂次数与个数的关系，物质衰变年数与该物质含量的关系，就可以用对数函数模型
(a＞0,a≠1)来刻画。幂函数的实际背景有：正方形的面积与边长的关系，正方体的体积与棱长的关系，某段时间走了单位路程，速度与时间的关系等，可以分别用幂函数模型
等来刻画。三角函数的实际背景有：圆上一点的匀速圆周运动、弹簧振子、单摆、波浪、潮汐等。这些各具特点的实际背景再次丰富了学生认识函数概念的原有背景。
3.对应法则是联系新旧概念的桥梁
奥苏伯尔的认知同化论把学习解释为学习者利用原有认知结构中与新学习知识有关的观念去同化新知识，将知识纳入认知结构，并对其进行改组和再构，形成新的认知结构的过程。实现认知同化的最佳方式是有意义学习，其实质是新学习的知识与认知结构中有关内容存在某种合理的或逻辑基础上的联系[4]。在具体函数的教学中，我们要明确学生对即将学习的具体函数与他们已有概念间的联系，特别关注联系新旧概念的桥梁是每一个具体的对应法则，为学习新的概念找到“同化”和“顺应”的基础。
例如，对数函数的概念是建立在函数概念、对数与对数运算、指数函数等概念基础上的一个新概念。函数概念具有统领作用，可以指导对数函数的学习；研究指数函数的经验可以迁移；对数与对数运算是此具体函数对应法则的具体化。在诸多合理的或有逻辑的联系中，对应法则——求对数是联系新旧概念的桥梁，教学中可以利用细胞分裂的实例，建立细胞分裂次数与细胞个数之间的对应关系，其定义域、值域完全可以从分析指数函数中得到，研究方法也可以类比指数函数的研究方法。
4.用对应的观点理解具体函数
在幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等具体函数的学习过程中，仍然要突出函数的三要素，核心是对应法则。
例如，指数函数的教学，可以呈现细胞分裂、物质衰变等实际背景，让学生再次经历抽象对应的“活动”和“过程”（如下表）。
此时的“活动”和“过程”对学生已经非常熟悉，在抽象对应法则
或
的过程中他们又一次感悟了函数概念的本质，得到函数
，x∈N和
，x∈N*后可以归纳出一类函数，任意给一个x值，按照对应法则
就可以得到唯一确定的y与之对应，因此
是一类具体函数，由于自变量在指数位置，把它叫做指数函数。
接着要说明指数函数的定义域、值域以及底数范围的合理性，这是具体函数概念的精细化过程。由于指数幂从整数指数幂推广到分数指数幂和无理指数幂，推广后的规定与原有的幂的运算性质是相容的，无矛盾的，指数概念得到扩充。在底数a＞0的前提下，指数的范围可以推广到实数，定义域为实数集，
。接着，讨论底数a的取值，如果a=0，则当x＞0时，
恒等于0，当x≤0时，无意义；如果a＜0，如
，则当
，…时，函数值在实数范围内不存在；如果a=1，则y=1，没有研究的必要。为了避免这些情况，规定a＞0，且a≠1，至此得出指数函数的定义：函数
(a＞0,a≠1,x∈R)叫做指数函数。
例如，任意角三角函数概念的教学，学生在初中学习的锐角三角函数概念建立的是锐角与直角三角形边长比值之间的一一对应关系，到高中，要提升到建立任意角与单位圆上点的坐标或坐标比值之间的多对一的对应关系。这里需要为学生搭建一些台阶，弧度制的引入使得任意角与实数之间建立了一一对应关系；从几何中的锐角过渡到代数中坐标系中的任意角；从直角三角形边长的比值过渡到角终边与单位圆交点的坐标。最后揭示出任意角三角函数的对应是多对一，由于是任意角，所以终边相同的角有无穷多个，而角的终边与单位圆交点的坐标唯一确定，因此，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是角的函数。至此，建立了实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的多对一的对应关系，反映了三角函数特有的性质——周期性。
例如，数列教学可突出用对应的观点看数列，相对于连续函数而言，数列是一类离散函数，可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式也就是相应函数的解析式
。教学中同样可以让学生经历抽象对应的“活动”和“过程”，引导学生把数列理解为在每一个有序的位置上有唯一确定的数值与之对应，这种顺序法则就是函数的对应法则。它的特殊性在于：定义域是正整数集或其子集；值域是有顺序的，不能用集合符号表示。
五、在解决问题的过程中进一步深化函数概念
有关函数的常见问题一般有两类：一类是数学中有关函数的问题，包括单纯的函数问题和函数与其他知识交会的问题；另一类是建立函数模型解决实际问题，灵活解决有关函数问题可以促进对函数概念的进一步深化。
1.在解决数学问题的过程中把握函数概念本质
研究函数三要素、性质、图象是常见的问题，问题中所给函数的形式往往更为复杂或更为抽象，如给出的函数是分段函数、由一些基本初等函数经过四则运算得到的函数、复合函数、含有字母的函数、抽象函数等，虽然函数形式发生了很多变化，但它毕竟是非本质变化，对应的本质不会改变。
例如，分段函数是一类特殊的函数，其特殊性在于，分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一样。正确理解分段函数在端点处的函数值以及分段函数的对应法则能够深化对函数本质的理解。问题：判断哪个图形（如图5）所表示的是奇函数的图象，写出奇函数的解析式，并证明该函数是奇函数。
图5
从“形”的角度观察，两个图形都关于原点对称，图5(1)中，当x=0时，与它对应的值有两个±1，这不是函数图象，此图可以加深对函数概念的理解。从“数”的角度抽象函数性质，图5(2)所描述的函数是奇函数，容易求得其解析式
，证明它是奇函数则需要理解奇函数的本质。先观察其定义域关于原点对称，然后，分类讨论x＞0以及x＜0时，都有f(-x)=-f(x)，这需要正确理解函数概念本质，准确运用各段的对应法则。
例如，复合函数由于进行了函数的运算，使得对应法则更为复杂，问题：函数f(x)，g(x)分别由下表给出，求满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值。
解不等式f(g(x))＞g(f(f(x))，需要清楚复合函数f(g(x))和g(f(x))的对应法则。从“形”的角度观察，借助图6直观看到按照两种不同方式复合的过程；从“数”的角度分析，要理解复合函数（以不同方式复合）使得对于定义域内任意一个x，经过中间变量u相应地得到唯一确定的y，这是对函数概念本质的又一次领悟。
图6
2.在研究实际问题的过程中提升函教概念
为了让学生更深刻地体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，可以通过研究性学习或实习作业，引导学生研究生活中两个变量之间的函数关系，进一步深化对函数概念的领悟和运用。
例如，研究本校学生家长观看网络教育节目的累积人次与天数之间的关系，并对今后某天累积人次进行预测。学生在研究中，需要经历收集数据、描绘散点图、选择函数模型、求函数模型、检验的过程，亲身体验了利用函数模型解决实际问题的过程。下表是某小组学生收集该校学生家长观看网络教育节目累积人次的数据。
研究中，他们利用TI图形计算器帮助解决问题，为了直观反映其变化规律，画出散点图（如图7,8）。通过观察图象的变化趋势，有的学生选择了一次函数y=ax+b作为拟合函数（如图9,10），有的学生选择对数型函数y=a+b·lnx作为拟合函数（如图11,12）。
图7
图8
图9
图10
图11
图12
哪个更合适呢？教师引导学生比较每天的预测值与实际值误差的大小，为了宏观地把握这些误差的和，并兼顾避免这些误差求和时抵消，引导学生计算误差的绝对值之和或误差的平方和，小的预测效果更好些，可以利用该函数模型对今后某天观看累积人次进行预测。学生通过研究发生在身边的实际问题，体验了函数在刻画和解决实际问题中的作用，是对函数概念理解的又一次升华。
以上教学实践证明，立足数学教学整体，系统进行高中函数概念教学的实践能有效帮助学生更深刻地理解函数概念本质，也为今后以导数为工具进一步研究函数的性态，建立函数与其他知识的联系，以及逐渐学会利用函数思想解决问题奠定了良好的基础。
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