高三数学“复数”章教学问答，本文主要内容关键词为：复数论文,问答论文,数学论文,高三论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、“复数”“虚数”这两个名词的来历是怎样的
答：“复数”“虚数”这两个名词，都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根，就会遇到求负数的平方根的问题.1545年，意大利数学家卡丹诺（Girolamo Cardano，1501年～1576年）在《大术》一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算.1572年，意大利数学家邦别利（Rafael Bombelli，1526年～1572年）用缩写字母表示虚数，并探讨了它的运算法则.1637年，法国数学家笛卡尔（René Descartes，1596年～1650年）正式开始使用“实数”“虚数”这两个名词.此后，德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年～1716年）、瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707年～1783年）和法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年～1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，除解方程以外还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理，大约在1777年，欧拉第一次用i来表示-1的平方根.1832年，德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777年～1855年）第一次引入复数概念，一个复数可以用a+bi来表示，其中a、b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了.高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何解释.不久人们又将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用.然后，又建立了以复数为变数的“复变函数”的理论，这是一个崭新而强有力的分支，所以应该让学生认识到“虚数不虚”的道理.
二、怎样让学生理解两个复数“不能比较它们的大小”
答：学生已经知道，实数集R中的大小关系具有以下性质：
（1）对于任意两个（实）数a、b来说，a＜b，a=b，a＞b这三种情况有且只有一种成立；
（2）如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
（3）如果a＜b，那么a+c＜b+c；
（4）如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc.
然而在复数集C中，不论我们如何规定大小关系，都无法同时满足上面四个性质.我们用反证法证明这一结论.假设在复数集C中能规定一种大小关系，使它同时满足上述四个性质.我们看0与i这两个复数，由于性质（1）及i≠0，可知0＜i，i＜0这两种情况有且只有一种成立.下面证明，这一由性质（1）导出的结论，偏偏又会与性质（1）矛盾.
先看0＜i的情况.这时由性质（4），可得
0·i＜i[2]
0＜-1.
再由性质（4），可得0·（-1）＜（-1）[2]0＜1.
另一方面，由0＜-1，根据性质（3），可得
0+1＜-1+11＜0.
这样，0＜1与1＜0同时成立，这与性质（1）矛盾.
再看i＜0的情况.这时由性质（3），可得i+（-i）＜0+（-i）0＜-i.于是由性质（4），可得
0·（-i）＜（-i）[2]0＜-1.
由此，可以和上面一样，推得0＜1与1＜0同时成立，与性质（1）矛盾.
这样，我们证明了，在复数集C中，对任何两个数a、b都适用的大小关系是不存在的.
三、扩充数集必须遵循哪些原则
答：这些原则可以大致归纳为：
（1）为了解决原有数集中运算遇到阻碍的矛盾，在原有数集的基础上，增加一种新的数，把原有数集扩充为一个更大的，并以原有数集作为子集的新数集；
（2）引进新数后，规定新数与原数，新数与新数之间的运算法则；
（3）在新的数集中，原数与原数，新数与原数之间仍满足原有的运算律；
（4）新的数集解决了原有数集所不能解决的一部分运算上的矛盾.
四、为什么0既是实数，又是纯虚数？
答：把0表示在复平面内，它对应于原点.我们知道，原点是两条坐标轴的公共点，所以从几何上来说，复数0表示的点是实轴与虚轴的公共点，即0既是实数又是纯虚数.
数轴是有向直线，不能有间断点，若把原点排除在虚轴之外，虚轴就被“打断”了.
把0既看成实数又看成纯虚数，使得复平面与解析几何学中的直角坐标平面统一起来，便于利用复数知识去解决平面解析几何中的问题.
五、计算
时，应要求学生注意些什么
答：（1）这道题可以训练学生对复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作，要求学生做到熟练和准确.其中乘法公式（a-b）[3]=a[3]-3a[2]b+3ab[2]-b[3]可看作二项式定理的一种特殊情形.
（2）从这道题的运算结果，应该看出，1/2-
对于一道题的解决过程的反思，看起来并不难，但对学生学习知识和提高能力十分重要.它可以有效地锻炼逆向思维，拓宽和加深知识，使学生对一个问题的认识更加全面.
六、怎样安排研究性学习课题“复数的几种不同表示及运算”
答：教育部于2002年4月颁发的《全日制普通高级中学数学教学大纲》（人民教育出版社2002年4月第1版）第19页上把“复数的几种不同表示及运算（包括向量表示）”作为研究性学习课题的“参考课题”之一.对于这一课题，可以给每位学生印发以下材料.
我们已经知道怎样用代数形式表示复数.通过观察可以发现，a+bi与过去学过的直角坐标系中的平面向量ai+bj十分类似.这就启发我们去研究如何用向量表示复数a+bi.
1.复数的向量表示
如图1，设复平面内的点Z（a，b）表示复数z=a+bi，连结
，请你考虑以下问题：
①向量由点Z惟一确定吗？点Z由向量惟一确定吗？
就是复数a=a+bi的向量表示.我们规定：相等的向量表示同一个复数.
②复数0用什么向量表示？
回忆直角坐标系中平面向量的加法与减法，有（ai+bj）±（ci+dj）=（a±c）i+（b±d）j，
这使我们理解了前面所学的复数代数形式按多项式加、减法则进行加法、减法运算的合理性.
试一试，补全下面表格中的文字、式子和图形：
对于向量来说，复数z=a+bi的实部a、虚部b就是在x轴、y轴上的坐标.可由有序实数对（a，b）唯一确定.除此以外，还可由什么有序实数对唯一确定呢？这使我们想到了可以利用的长度r及与x轴的夹角θ组成有序实数对（r，θ）.
③如图1，用向量的长度（模）r来表示复数z=a+bi的“绝对值”的大小，称为复数z=a+bi的模，记作｜z｜或｜a+bi｜或r，那么
｜z｜=｜a+bi｜=｜｜=r=______，
显然r≥0，r∈R.
④用向量与x轴的夹角（以x轴的非负半轴Ox为始边）来表示复数z=a+bi的方向，那么
cosθ=______，sinθ=______，tanθ=______，其中θ的取值范围是______.
由此可看出，复数与三角函数也有紧密的联系.
2.复数的三角表示
现在来研究怎样利用三角函数表示复数a+bi.
由图1可以看出，除了复数0以外，有
我们把复平面内以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（起点是O）为终边的角θ（它有无限多个值），叫做非零复数z=a+bi的辐角，并把表达式r（cosθ+i sinθ）叫做复数z的三角形式.
在复数的三角形式中，辐角θ常取[0，2π）的值.复数0的辐角是任意的.
请你研究以下问题：
①如何把复数
+i、1-i、实数-1分别表示成三角形式？
②根据复数的乘法法则及正弦、余弦的和角公式，可得z=z[，1]·z[，2]
由此可知：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
请你在图2中把各向量所表示的复数的模与辐角注上去.此图显示了复数乘法的几何意义.
③根据复数相除的定义，z[，1]÷z[，2]即
的模等于什么？辐角等于什么？表述你的研究结果.
④当n为正整数时，z[n]即[r（cosθ+i sinθ）][n]的模等于什么？辐角等于什么？表述你研究所得到的公式.这一公式是由法国数学家棣莫弗发现并证明的，因此被数学界命名为棣莫弗公式.
由于利用复数的三角形式将复数开平方十分方便，我们可用复数的三角形式来研究复数的平方根.
3.复数的开平方
我们先假定任一复数有平方根，再找出这些根.
请你研究以下问题：
①怎样根据复数相等的充分必要条件，将ρ[2]、2
，用r、θ表示出来？
②z=r（cosθ+i sinθ）的平方根有几个？它们的三角形式分别是什么？
③上述“复数的开平方”可以推广成“复数的开n次方”吗？不妨一试，并表述研究结果.这一结果表明复数集C具有怎样的优良的运算通性？
思考题
1.怎样让学生在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系？
2.怎样遵照新颁布的教学大纲安排本章的教学？