师探、生探、共探——《双曲线几何性质》的教学构思与设计，本文主要内容关键词为：双曲线论文,构思论文,几何论文,性质论文,师探论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
时下，由素质教育和创新教育所带来的教学革命唤醒了沉闷的课堂，昔日冷冰冰的满堂灌、生硬的记忆教学已大为减少，许多数学教师已经成为课堂教学的改革者，各种教育技术和方法的运用，使得许多课堂教学已经如行云流水，教学氛围也已是教师声情并茂，学生兴趣盎然，教学效果也远非过去的可比，所有的这一切都在显示着教法的张力和潜力，教法已经为现代意义上的改革创造了可贵的经验，而且它还在进步与发展中。今天，我将自己平时的教学实践中的一点探索捧出来，旨在与广大同行们共同探讨为学而教的方法和技巧，此篇教学构思与设计源于我在2000年11月代表江苏省参加首届全国高中青年数学教师优秀课评比荣获一等奖的说课稿。
从可操作性的角度出发，我将《双曲线的几何性质》这一节的教学划分为三个阶段：
一师探（教师的探索），即我探索“怎么教？”、“教什么？”；
二生探（学生的探索），即学生探索“怎么学”、“学什么？”；
三共探（师生共同探索），即我在充分探索的基础上，酝酿出学案，以学案为载体，引导学生自学，学生在自学的基础上，发现疑难问题，带着问题，师生相汇于教学平台，共同探索、解决问题。
下面，我详细地来谈一谈：
第一阶段：师探
要解决“怎么教？”的问题，我认为，首先应该做好六个方面的工作：
1 分析教材
1.1 本节教材的地位和作用
本节教学是圆锥曲线中继椭圆之后，研究了“双曲线及其标准方程”的基础上来学习的一节内容。与椭圆的几何性质相比，二者有许多相似之处，是椭圆几何性质的研究方法在双曲线中的再应用。
通过本节课的学习，可以进一步向学生渗透数形结合、函数与方程、极限等思想方法，也可以培养学生的观察、猜想、类比、归纳、创新等能力。
1.2 教学内容
本节教学的主要内容：双曲线的五个性质“对称性、顶点、范围、渐近线和离心率”。
1.3 教学重点和难点
重点和难点：双曲线的渐近线。
2 分析学生
一位名师曾说过：“不了解学生的教育，不是真正的教育。”
从学生现有的知识体系来看，要搞好本节教学，我认为：
有利的因素：学生已经掌握了椭圆的几何性质，所以，他们可以通过类比的方法研究双曲线的相关性质，因此，可以说，学生已具备了接受新知识的一定的知识基础的。
不利的因素：学生对利用方程系统地研究曲线的几何性质这一解析方法的掌握还不太熟练，再加上在渐近线的探求和证明过程中应用了极限的思想，学生在认知、理解上会有一定的困难，因此，本节教学要从实际出发，兼顾学有困难和学有余力的学生，多层次地组织教学。
3 确定目标
根据教学大纲的要求并结合本节教材的特点以及高二学生已具备的知识和能力，我把本节课的教学目标确定为：
知识目标：使学生初步掌握双曲线的几何性质，会根据所给的标准方程画出双曲线简图。
能力目标：提高学生自学的意识，培养学生类比、归纳、猜想、交流、合作、创新等方面的能力。
情感目标：通过讨论、交流，培养学生团结协作的精神；通过计算机辅助教学，揭示数与形的统一美，激发学生学数学的兴趣。
4 确定教法
考虑到本节教材的特点和学生现有的知识水平，我认为本节课的教法不宜单一，应根据不同的内容和学生对问题的领悟程度，灵活地选择和调整教法。以学案为载体；以“启发式”为基本原则；以“自学”为主要方式；再辅以讨论、交流等多种形式，多角度、多侧面地开展教学。
5 选择学法
现代教学论认为，促进学习能力的提高，实施素质教育的关键，是教给学生学习的方法和策略，使学生实现由“学会”到“会学”的质的飞跃。
本节课，我要努力教给学生的主要是：1.温故知新的学习习惯；2.自学、讨论、交流的学习方法；3.类比、归纳、猜想的思维品质。给学生展示自己思维过程提供必要的时间和空间，使学生在我和其他同学的帮助与认可下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。
6 设计学案
在以上五方面分析的基础之上，我再精心设计一份学案，并提前发给学生，其作用为：引导学生有目的、有针对性地进行课前预习。
第二阶段：生探（学生的探索）
学生围绕学案，自主预习；自行试做题组；主动讨论、交流；及时反馈疑难，我再将疑难问题认真地分析、归类，以修改、充实教案，为师生共探作好准备。
第三阶段：共探（师生共同探索）
学生带着问题走进课堂，我带着教材走向学生，我与学生共同探索、解决问题。这一阶段，共分六个环节：（这也是本节教学过程的具体实施方案）
1 反馈小结
教学过程的第一环节，我总结学案的完成情况，表扬学案完成较好或有创新表现的同学，并指出存在的问题，对个性问题，我个别辅导；对共性、典型的问题，则师生共同讨论解决。我认为，“双曲线的对称性、顶点、范围和离心率”，学生通过类比椭圆的相关性质及研究方法可以得出；最典型的问题，应该是“渐近线的探求与证明”。为了帮助学生突破这个难点，我利用计算机辅助教学，给学生提供直观形象的思维载体，引导学生通过以下三步的教学，逐步认识渐近线。
2 释疑解惑
（1）猜想渐近线
（x＞a）的单调递增，可知双曲线是无限伸展的，那么，它伸展的趋势如何呢？
为了进一步激活学生的思维，我利用《几何画板》，演示双曲线形成的动画（以第一象限为例），并启发学生思考：当双曲线向外伸展时，它越来越象什么呢？当学生观察后得出：它越来越象一条直线时，我及时抓住这个有利的契机，进一步启发学生，既然从形的观点看，双曲线与直线有着某种联系，那么，由曲线和方程的关系可知，双曲线与直线在方程上，一定也存在着某种必然的联系，这种联系是什么呢？
我引导学生还是从这个函数来分析，由直线方程是关于x的一次式，想到把这个函数
紧接着我提出如下的问题：当双曲线向外伸展时与直线y＝（b／a）x是“无限趋近”还是“分道扬镳”？ 是“并肩同行”还是“若即若离”？
当学生思维受阻时，我再次打开《几何画板》，进一步作如下演示（如图1）：过双曲线上任一点M（x，y）作直线y＝（b／a）x的垂线，得垂线段MQ，引导学生观察当M点远离原点时，垂线段MQ 的长的变化趋势，让学生通过对“形”的变化的直观感知，得“无限趋近”的直觉猜想。
在以上“形”、“数”两方面分析的基础上，引出“渐近线”的概念。至此，本节教学的第一个难点：渐近线概念的引出就此突破。
（2）证明“无限趋近”：
在上面分析的基础上，为了帮助学生进一步证明“无限趋近”，我启发学生从“距离”这一角度来探讨证明方法：
我初步估计，在我的启发引导下，基础好一点的学生通过“讨论交流”可能会找出如下三种证明方法：
说明：如图2所示，令M（x，y）为双曲线上任一点，过M 点作实轴、直线l的垂线，与直线l分别交于点N、Q；过M 点作实轴的平行线交直线l于P点）。
如果学生真的想出了这三种证法，我还要进一步引导学生比较它们之间的区别和联系。
无论学生想到哪一种证法，或是想到的证法是多么地不成熟，我都会不失时机地给予表扬和鼓励，让学生充分“体验成功”！
当学生分组探讨证明方法时，我分别到各小组巡视，对不同水平的学生分别给予不同程度的点拨、指导，并及时掌握学情，根据学生反馈的情况，及时调整我教学的方向，如果学生的学习状态不太理想的话，对“无限趋近”的证明将不作深入的研究；仅以教材上提供的证法为例，如果学生的学习状态普遍较好，我再启发学有余力的学生课外思考能否从“斜率”这一角度来探讨证明方法。
在前面分析的基础之上，我再进一步指导学生完成证明过程。至此，本节教学的第二个难点：无限趋近的证明就此突破。
（3）求渐近线方程
为了使学生尽快掌握渐近线方程的求法，
学生发现它们在形式上的联系，从而引导学生总结求渐近线方程的方法，我认为，此时若设计这样一道练习题让学生练习，更易于学生理解渐近线与双曲线在方程上的联系：
练习：求下列双曲线的渐近线方程：
通过练习，既可以使学生掌握求渐近线方程的方法，也可以使学生明白，渐近线相同的双曲线不唯一，从而为下一节课的学习埋下伏笔。
3 深化新知
（1）辨析类比
通过表1，检测学生对双曲线的几何性质的掌握情况。
通过表2， 检测学生对双曲线与椭圆的几何性质中共性与差异的认识。
检测程序是：从存在问题较大的学案中任意抽取两张通过实物投影进行展示，请一位学生充当老师进行点评，我作小结。
通过这样的辨析类比，使学生尽快建立起系统的知识体系，形成牢固的知识结构，为双曲线的几何性质的应用作好准备。
（2）题组训练
通过例题与两个变式练习检测学生应用双曲线的几何性质分析、解决问题的能力。检测程序是：学生板演→学生点评→教师小结。
例题 求双曲线（x[2]／9）－（y[2]／16）＝1的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的简图。
变式练习1：把方程改为16x[2]－9y[2]＝144呢？
变式练习2：把方程改为（y[2]／9）－（x[2]／16）＝1呢？
我选择该题组的目的：
（1）通过练习， 由学生总结出画双曲线的五个基本步骤：①描实、虚轴端点；②画出矩形；③画渐近线；④画出第一象限图形；⑤由对称性画出其它象限图形（注意“焦点”的确定）。
（2）通过求具体双曲线的有关元素， 巩固对双曲线的几何性质认识。
4 总结反思
为让学生形成知识网络，完善认知结构，我首先引导学生总结双曲线的五个性质及其研究方法，再引导学生针对以下诸问题，反思自己的学习过程，以便为今后更好的学习作准备。
（1）你的学习心得、体会是什么？
（2）你有哪些好的经验可以推广？
（3）你的学习目标实现了吗？
（4）你还存在什么困难和疑问？
5 自由提问
为了帮助学生解决这些困难和问题，我在课尾留出一定的时间，供学生们自由提问，同时，我也可以利用这个机会，辅导学有困难的学生，从而使全班的每一个学生都能达标。
6 布置作业
为让学生进一步巩固所学知识，我布置如下作业：
A.阅读教材84－86页内容，整理课堂笔记。
B.教材91－92页的练习3、5、6。
思考题：求过点M（4，
），且渐近线方程为x±2y＝0 的双曲线的标准方程。
说明 此篇文章源自我2000年11月参加首届全国高中青年数学教师评优课获一等奖的说课稿，并在此基础上稍作修改。
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