物理极值问题的求解方法，本文主要内容关键词为：极值论文,物理论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
当某一物理量随时间或空间非单调变化时，这个物理量一般存在极值。如何求极值是不少学生感到困难的问题。为此笔者对中学物理中常见的求极值的方法进行归纳整理，供学习参考。
一、几何作图法
几何作图法求极值主要是利用“直线外一点到直线上任一点的距离垂线最短”和“圆外的一点与圆上一点的连线中，圆心到切线的距离最远”这两个几何性质求物理极值。
例1 如图1所示，一粒子质量为m，带电量为q，以初速度 v与水平方向成45°角射向空间匀强电场区域，粒子恰做直线运动。求这匀强电场最小场强的大小，并说明方向。
图1
分析与解 因粒子恰做直线运动，说明粒子所受的合外力与速度平行，但不一定做匀速直线运动，还可能做匀减速运动。受力图如图1所示，显然最小的电场强度应是
，方向垂直于v斜向上方。
例2 如图2所示，一条平直的河流宽为80m，河水流速为8m/s，一人驾驶一动力渔船，欲从河岸的A点渡河到对岸，已知在A点的下游60m处有一与河岸垂直的瀑布，人欲安全渡河，渔船的最小划行速度为多少？
例3 如图4所示，一质点自倾角为α的斜面上方的定点 O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑，为使质点从O点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角应为多大？
图4
分析与解 如图4所示，做以OP为弦的辅助圆，使圆心O′与O的连线在竖直线上，且与斜面相切于P点。由于在竖直圆周上从顶点O架设的光滑斜槽，质点从任一斜槽顶端滑到底端圆周上的时间为（设圆的半径为R）
。
做出部分粒子在磁场中的运动轨迹如图6所示。图6中，轨迹①与
相切，轨迹②与
相切。显然，在上，只有在a、b之间的线段上才会有粒子射出磁场。
过P向引垂线于O点，由图示的几何关系可知：
例5 如图7所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆位于匀强电场中，场强大小为E，方向在圆周平面内，现将一带正电q的微粒从a点以相同的动能射出，当射出方向不相同时，微粒会经过圆周上不同的点，在这些所有点中，到达c点时微粒的动能最大，已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，求电场方向与ac的夹角为多大？
分析与解 因为带电粒子只受电场力，且到c点动能最大，据动能定理知，由a到圆上c点电场力做功最多，即过a点各弦（如ad、ae中），ac在电场方向的投影最长，过c点作圆的切线MN，则场强方向与该切线垂直时ac在其上投影最长，即电场方向与ac的夹角为30°角。如图8所示。
二、解析法
解析法求极值就是先根据物理规律写出某物理量y与时间t或位置x的函数关系式y=f(t)或y =f(x)，然后利用数学中函数求极值的方法求物理量的极值。常见的有用二次函数的性质求极值、三角函数的性质求极值、均值不等式的性质求极值等。如果遇到较复杂的函数关系，还可以用求导数的方法求极值。
例6 如图9所示，一辆有
圆弧的小车停在粗糙的水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦地滑下，在小球下滑过程中小车始终保持静止状态，求：
图9
(1)当小球运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？
(2)地面对小车静摩擦力的最大值为多少？
分析与解 设圆弧半径为R，当小球运动到支持力N与竖直方向的夹角为θ时，速度为v，此时小球受力如图10甲所示，由牛顿第二定律及圆周运动知识知：
例7 如图11所示，摩托车做腾跃特技表演，以
=10m/s的初速度冲上顶部水平的高台，然后从高台水平飞出，若摩托车冲上高台时以额定功率 1.8kW行驶，所经时间为0.5s，人和车的总质量为 180kg，试分析：当台高h多大时，人和车飞出的水平距离s最远？此最远距离是多少？（不计一切阻力，g取
。）
例9 半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点A，小圆盘上绕有细绳。开始时圆盘静止，质点A处在水平轴O的正下方位置。现以水平轻绳通过定滑轮挂一重物B，使两圆盘转动，如图13所示。求：
图13
(1)若重物B的质量也为
则两圆盘转过的角度θ为多大时，质点A的速度最大？并求出最大速度。
(2)若圆盘转过的最大角度为
，求重物B的质量为多大？
分析与解 (1)对于A、B系统，根据机械能守恒定律可得：
评析 本题考查机械能守恒定律与圆周运动的综合问题。求解本题的关键是要抓住A和B的速度关系式
。
三、物理分析法
物理分析法就是根据物理情景或物理条件求极值的方法。如绳、杆等承受的力有最大值、光由光密媒质进入光疏媒质会发生全反射现象、速度最大时加速度一般为零、两个物体发生完全非弹性碰撞时损失的动能最大等稳含条件求极值。
分析与解 在碰撞过程中，当A、B两物体的速度相等时，弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能最大，系统的动能最小。
则碰后系统的总动能为：
即两物体以大小相等，方向相反的动量相碰时，当弹簧压缩量最大时，速度为零，动能全部转化为弹性势能。
例11 一个具有
动能、处于基态的氢原子有一个静止的、同样处于基态的氢原子发生对心碰撞（正碰），试确定碰撞的性质。（是弹性还是非弹性的）
分析与解 两个处于基态的氢原子发生正碰，若是有动能损失，则由能量守恒可知，损失的动能转化为原子的结合能（就是原子的能量，原子的能级跃迁可能吸收光子，也可能是在原子碰撞中获得能量，从而发生跃迁）。在碰撞中，动能损失最大的碰撞是完全非弹性碰撞，也就是当两个氢原子获得共同速度。由动量守恒定律可得：
这两个氢原子在碰撞过程中损失的最大动能为
，这个能量不足以使处于基态的氢原子向激发态跃迁，因为基态的氢原子跃迁到激发态所需的最小能量为10.2eV，所以这两个氢原子碰撞不会失去动能，只能是弹性碰撞。
例12 如图15甲所示，临界角C为45°的液面下有一点光源S发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且距液面为d的平面镜M上，当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度ω做逆时针匀转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？
分析与解 本题为力学圆周运动知识与光学中反射定律的综合。设平面镜转过θ角时，光线反射到水面上的P点，光斑速度为v，由图15乙可知：
例13 电动机通过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m（已知此物体在被吊高接近90m时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？
分析与解 此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体以最大加速度匀速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率，第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力等于重力时，物体开始匀速上升。
在匀加速运动过程中加速度为
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