数学概念教学“好课”的表征——以“定义型概念”教学研究为例，本文主要内容关键词为：概念论文,表征论文,教学研究论文,为例论文,定义论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学概念一般可以分为定义型概念、描述型概念和感知型概念三种.由于数学概念在数学学习中具有基础地位，一般来说，新知识都是在基本概念的基础上构建起来的，所以研究数学课堂教学的评价，首先要考虑概念课的评价.
一、数学概念课发展性评价的量表
进行概念教学评价首先需认识概念认知特点.在概念教学过程中，准确地把握概念本质、建立清晰的概念表象会对知识的溯本求源和知识的拓展延伸应用起到至关重要的作用.越准确把握基础概念，越符合学生的认知特点，教学的难度就越小，越容易取得较好的效果.根据数学概念学习的特性，我们认为数学概念教学的基本过程是：在数学概念的形成与同化过程中，揭示概念的内涵与外延，使学生在原有认知的基础上认识新概念；通过科学的训练，理解概念；通过概念的应用，牢固掌握概念，灵活运用概念；通过不断反复与再现，构建新的知识结构，达到理解、巩固、融合、应用概念的目的.
对数学概念课教学的发展性评价，其意义在于评估各阶段数学教师概念教学的水平，提高数学概念学习的质量.按照课堂教学发展性评价的特征要求与指标体系[1]我们进一步设计了数学概念课教学评价量表.在该量表中，仍然把教师和学生作为测量的两个主要方面，其中课堂评价对象以教师为主、学生为辅，对学生表现的评价主要放在课后进行，这样的设计可以增加评价的有效性.
1.一级指标的设计
一级指标的设计主要考虑数学概念认知的要求，参考学科教学知识、课程知识和学生认知特点，共设计了如下5条：
（1）教学目标
主要考察相应课程目标的落实情况，体现学科教学的价值，反映学生认知的特征，是教学评价的最重要指标.
（2）概念的引入
在教学目标指引下，积极地进行同化与顺应，创设有利于概念建立的现实背景或学科环境，在引入过程中，努力呈现概念的本质属性，厘清概念范围，努力提供多元的概念表征方式，做到问题准确，贴近学情，激发兴趣.
（3）概念的理解与应用
充分借助各种教学手段（信息技术等）展示概念的发生、发展过程，展现运用概念解决问题的过程.采用适当的策略引导学生积极参与，注意让学生以书面的、口头的形式展示自己的思维过程.对照教学目标，及时评估学生的认知情况，调整教学方法，培养学生良好的学习习惯、思维能力以及解决问题的能力.
（4）教师的素养
围绕概念学习所需的基础知识、基本技能、语言、板书、组织管理能力等方面，评价教师的专业素养.
（5）教学效果
主要评价教师在课堂中的表现、师生的关系以及学生对数学概念认知的即时反应.
将学生表现从学习效果中单列，一方面是考虑体现新的课程评价中“以学定教”的理念，更多的是因为从教师问卷中看出“课堂教学关注学生表现”成为大家认可的重要因素.
2.二级指标的设计
二级指标的设计仍然采用了四级分档的方法，从1级到4级指标具有递增性，每项具体内容的序号从低到高，体现教学水平的递增，以此区分教师课堂教学专业水平的高低.
从教师专业发展的角度考虑，从职初教师到成熟教师，课堂教学的各种表征是循序渐进式还是循环往复式？我们认为，渐进是必然的，反复也是正常的.我们这里所寻求的无非是想建立一个教师在课堂教学方面阶段性发展的标准.但要称其为标准必须具备三方面的内容：①两级指标体系；②指标的说明；③指标的检测方法.目前，课题研究完成了指标体系的开发与说明，对指标的检测仍在进行中.
本文所指“定义型概念”一般是指概念的界定是完整的，如二次根式、两角和的余弦等.而“描述性或感知性概念”一般是发展性概念，教学中不可一次界定清楚，如函数、概率、极限等.评价指标是可以通用的.
二、数学概念课发展性评价的研究
1.个案研究步骤
第一步：课前将课堂教学评价指标提供给授课教师，让其对照评价要求进行备课.这样操作的优势是使教师既是被评价者，又是评价指标修订的参与者；
第二步：实施“第一次评价”，课内让参评教师用评价量表对教师进行评价分类，主要以教师课内表现为主；
第三步：实施“第二次评价”，课后用设计的问卷对全体学生进行调查，并个别访谈；
第四步：将两次评价汇总情况反馈给教师，评价意见尽可能取得本人的认同；
第五步：授课教师进行第二次教学设计和第二次授课.
2.部分个案研究结果分析
2011年～2012年，笔者的工作室进行了十五人次的教学设计、课堂教学、评价研究活动，现将其中五位教师概念教学情况汇总，见表1.
（课内评价权重0.7，课外学生检测权重0.3）
（1）授课对象分析
五位教师中有三位高级教师、两位中级教师，表中的分类是按照教师教学经历（是否为学科把关教师）、教学效果（是否三次以上带毕业班）、研究能力（是否命题把关、领衔研究课题）等来划分的，并不完全按照职称分类，其中有一位尽管是高级教师，但在学校既不是骨干教师，又没有出色的业绩，所以只能确定为经验型教师，而不是成熟型教师.
（2）评价结果分析
从课内教学评价来看，Y老师得分较高，这是一位具有18年工作经历的高三数学的把关教师，三次负责全校高中教师的备课及指导，具有较强的科研能力，但评价的总分不高，评价结果与教师现状有差异.为此我们对Y教师进行了访谈，以下是访谈片段：
研究者：……你认为这节课学生接受情况如何？
Y老师：我认为民办高中学生质量较低，上课讲授的概念学生接受程度不会高，这是预料之中的.所以，我估计课外学生测试成绩也不会高.
研究者：我认为对于学生基础较差的班级，备课的难度应该降低，使课堂中大多数学生能够接受，对不对？
Y老师：但是不管公办高中还是民办高中，高考的要求都是一样的，降低要求会影响考试吧？我们这里的老师很难做啊！
课程教学的目标应该是一致的，但学生的情况是有差异的.值得我们思考的是，课堂教学的评价绝不是一个标准可以客观反映的.
总分最高的是一位民办初中的C老师，她属于经验型教师，她的教学特点是数学概念阐述清晰、准确，学生运用概念解决问题效果较好，敢于在课堂质疑、反驳，思维能力培养出色.这些应该和生源有直接关系.
五位教师概念教学结束后，我们都进行了学生问卷及个别访谈，一方面获得学生课后评价意见，另一方面从课堂教学表现和教学效果两方面验证我们的课堂教学发展性评价与实际效果的吻合性.
三、数学概念课“好课”的表征分析
我们研究成熟教师概念课“好课”表征的过程，实际上就是在探索数学概念教学“好课”的标准.按照数学概念发展性评价的要求，我们对概念课实施的各个环节进行成熟教师概念教学“好课”表征分析，发现好的概念课除了概念表述准确、清晰、精炼，目的性明确以外，还有以下特征.
1.概念的引入既要“朴素自然”，又要“引人入胜”
成熟教师在概念引入时，首先考虑符合学生认知基础，一般选择学生比较熟悉的生活实例或已学知识的延续作为引入概念的切入点，表征的最高境界是能够引人入胜.
例如南京师范大学附中马明老师引入“字母表示数”时的教学片段：
T：同学们，我们先来听一首儿歌：一只青蛙两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；两只青蛙四只眼睛八条腿，扑通、扑通跳下水……接下去该怎么念呢？
S：我会，三只青蛙六只眼睛十二条腿，扑通、扑通、扑通跳下水.
T：那一百只青蛙呢？不好数了吧？我们今天来学习一种表示，让它好数.n只青蛙2n只眼睛4n条腿，扑通n下跳下水.这就是我们今天要学的“字母表示数”.
概念引入符合学生认知规律，意料之外，情理之中，引人入胜.
2.概念理解揭示本质，厘清范围
成熟教师组织概念认知时，围绕概念的本质属性，精心设计“核心问题”，利用一连串相关联的问题来揭示概念的内涵与外延，或通过类化、辨析、试错等手段，保障概念的同化与顺应.
例如，下面是一段关于两角差的余弦公式的教学片段：
T：（问题1：缘起）要求cos（α-β）=？如何从三角比的定义认识差角的余弦？cos（α-β）是否可以用单角的三角比表示？
S：我们需要在坐标系中作出差角.
T：好的！请大家自己动手.
S：老师，差角可以做出，但差角的三角比怎么算呀？
T：对了，这就是问题的关键！（问题2：类化）建立坐标系，做出单位圆后，角α、β的终边与单位圆的交点如何表示？
S：（cosα，sinα）、（cosβ，sinβ），差角怎么办？
T：（问题3：深化）请大家在坐标系中比较，作出的单角α、β和差角α-β.它们的三角比怎样表示？
S：老师，知道了！cos（α-β）不能用三角比表示，因为差角的始边不在x轴的正半轴上.
T：（问题4：再深化）对了，接下来大家说该怎么办？
S：把差角的始边变到x轴的正半轴上（学生自己发现了旋转的方法）.
T：（问题5：顺应）旋转后，你能找出其中的等量关系吗？
S：由全等图形可得：｜AB｜=｜A′B′｜.
接下来，学生由等量关系推导出差角的余弦公式.
T：（问题6：辨析）公式中单角α、β和差角α-β的意义是什么？公式左边、右边的结构分别是什么？
T：（问题7：应用）请大家解决cos（45°-30°）=？
T：（问题8：应用）例题、练习题.通过以上8个有效的问题串，既揭示了概念的本质，又营造了师生共同探究的环境.
3.通过科学训练和知识体系的建构巩固概念
成熟教师对概念的巩固、复习，总会进行变式（概念变式或问题变式）设计，总能找到新知识在原有知识中的“落脚点”，通过联系和转化，建立新的知识体系.
T：有了差角的余弦公式，能否获得和角的余弦？能否推出两角和、差的正弦、正切公式？能否获得二倍角的正弦、余弦、正切公式？能否获得半角的正弦、余弦、正切公式？能否获得其他公式？能否获得和差化积和积化和差公式？
除了上述涉及概念课“好课”特殊的表征，还有一般的数学“好课”表征，如教师基本功扎实、自信、语言生动有激情；课堂师生关系融洽，教学效果良好等.