例谈数学论文写作的科学性，本文主要内容关键词为：科学性论文,数学论文论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《中学数学杂志》2012年第11期“正切代换在解题中的应用”（文[1]）介绍了换元法中三角换元的一个技巧——正切代换，列举了它的五种“常见形式”，每一种形式都“通过例题”来作具体说明（这是一种易于入门的写作方式，类似的内容和形式还可见于文[2]～[6]）.作者在一开头就认为，此文的研究能有“化繁为简、事半功倍的效果”，在文末的总结中又断言，“从以上实例可以看出，若能巧妙地借助正切变换解决问题，不仅可以降低解题的难度，而且增强了可操作性，提供了一个新的视角，丰富了知识结构，提高了解题能力”.但是，读完全文之后我们感到，所举的“实例”大多没有体现作者的主观意图，有的处理缺失科学性，有的素材缺失典型性，有的评注缺失充分性，而这些问题不是文[1]所特有的，它是“解题研究误区”十几年乃至几十年的沿袭.我们在文[7]（p.15）已经谈过“解题研究误区”的4点表现，文[8]又继续进行了一些补充，此处不作展开.下面，仅就文[1]的具体“实例”谈数学论文写作的科学性.
一、科学性的初步认识
确保科学性是任何论文写作的基本要求，我们认为，数学论文写作可以从数学内容与写作说理两个维度展开科学性，每一维度又有两个要点，组成“两维度、两不要、两增强”的基本认识：
1.确保数学内容的正确性
论文写作的核心是提供创新成果，而它的基础和前提是内容的正确无误，所以，我们谈论数学内容的科学性首先要提到数学内容的正确性、首先要确保数学内容的正确性，主要抓两点：其一、不要有知识性错误；其二、不要有逻辑性漏洞.知识性错误主要指所涉及的命题不符合或不完全符合事实，核心是命题的真假性；逻辑性错误主要指所进行的推理论证不符合或不完全符合逻辑规则，核心是推理论证的有效性.
（1）防止正切变换中的知识性错误
用正切变换解题的传统过程可以分为四步：
第一步：作正切变换，用新式tanθ换旧元x，并依题意界定θ的范围.
第二步：把题目中的旧代数式f（x）换成新三角式g（θ）.
第三步：根据三角式g（θ），依题意进行一系列的三角运算.
第四步：得出题目的结论.
据此，正切变换需要特别注意以下三点：
注意3：作正切变换后，求解过程少不了一系列的三角运算，而三角公式是在左右两边都有意义的前提下成立的（比如，出现分母时自动排除分母为0的字母取值），所以，我们要纵观求解的全过程，确保步步不走样.当出现运算的限制要求时，要调整θ的范围，有时，可能还要分情况讨论.
对这三方面稍有疏忽，不仅会出现知识性缺失，而且也会带来逻辑性漏洞.
（2）防止正切变换中的逻辑性错误
首先要防止上面提到的知识性缺失，保证所进行的变换和推理符合逻辑规则，同时要特别注意变换的等价性（或有效性）.
应该说，文[1]的多数内容都没有科学性问题，但在例3上有知识性缺失，在例4上有逻辑性缺失.
由于数学知识与逻辑规则常常是相依共存的，所以，知识性错误与逻辑性错误也常常是同时出现的，我们应该在知识盲点的基本位置和主要趋势上区分知识性错误与逻辑性错误.
2.提高论文写作的说服力
论文写作的一个基本作用是说服——说服自己、说服别人（包括赞成和反对自己观点的人）.数学结论靠毋庸置疑的逻辑证明来说服，数学教育的结论靠什么来说服呢？我们说靠“实证加理论说明”.为了提高论文写作的说服力，我们建议从选例的典型性和说理的充分性两个方面增强.
（1）增强选例的典型性
诸如文[1]这样的写作，是通过具体案例来说明问题的，这些例子其实是“一般性原理”的具体代表，它到底能不能代表“一般性原理”，就取决于这些例子有没有典型性，更具体一点说，就是例子应能很好体现正切代换的有效性（或优越性）.例子的典型性好、优越性强，文章的创新性和征服性就有了.
但是，此例用正切代换依然有“统一处理的”特征，典型性还是比较好的.并且，它取自2011年的高中联赛题，比其他例子更具新鲜感.
（2）增强说理的充分性
通过具体案例来说明一般性原理的过程主要是归纳（合情推理），它与数学逻辑证明不一样，会有两个前景：或者正确或者谬误，我们当然是要“正确”，所以，就要努力增强说理的充分性.首先是要有确凿的事实来作为归纳的基础，最好是在学生中做实验，用实证的效果、确凿的数据来说话；其次是要拿得出理由来，体现归纳的合理性.我们说，合情推理也需要“实证加理论说明”来推理，不是什么名词流行就贴什么名词标签、什么地方时髦就往什么地方靠拢，更不要说连自己都没有搞清楚的话，不要下连自己都说服不了的结论.比如谈“正切代换”，如果只是想“提供了一个新的视角”，那文[1]例1是有说服力的，至于例1的三角解法是不是“思路清晰、减元增效”（文[1]p.35）就需要更多的证据了，因为把
代入，有
也是化为“一元问题”（文[1]p.35），且不比“正切代换”麻烦.
而如果是要体现“化繁为简、事半功倍的效果”（文[1]p.35）、体现“不仅可以降低解题的难度，而且增强了可操作性”（文[1]p.36）等，那由后面的分析可以看到，文[1]的整体说服力不足.事实上，文[1]中的“注”，很多提法都需要增强说理的充分性（要是提高不了充分性，可以反过来修改提法）.
二、关于例3的科学性分析
1.例3的科学性缺失
下面的分析表明，文[1]例3有知识性缺失，主要表现在两个小漏洞上.
这种说法由来已久了，至少在上海师范大学的《中学数学教学》（现改名为《上海中学数学》）1989年第2期“数学问题与解答”的类似题中可以找到
，但是，这样处理有两个小漏洞和两个不策略.
（4）不策略2：本题的直接解法表明，本例不作“三角变换”更简单.用它来说明“化繁为简、事半功倍”（文[1]p.35）是不策略的.
2.简要的结论
但是，为了避免叙述上的啰唆，也可以这样：
设a=tanα，b=tanβ，其中
这相当于把传统过程的第一、第二步合并为一步.
（3）事实表明，此例的直接解法不比三角解法麻烦，题目本身的结构也不算复杂（说“复杂”是没有认真看或没有看透），用它来提供了一个“正切代换”的新视角是不错的，但用它来说明“化繁为简、事半功倍”则典型性不强、说服力不足.
三、关于例4的科学性分析
1.例4的科学性缺失
下面的分析表明，文[1]例4有逻辑性漏洞，主要表现在变形的不等价上.
案例2 （文[1]例4）已知x，y，z∈R，满足x+y+z=xyz，①
讲解 文[1]所作的三角变换x=tanα，y=tanβ，z=tanγ没有先界定α，β，γ的范围，而是代入①得tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ，③
得α+β+γ=kπ（k∈Z），其中α，β，γ≠kπ+
（k∈Z）
下面对例4的分析就以此为依据.回顾文[1]在三角解法中的变形，如果没有误解的话，应该有三次出现分母（文[1]两次跳过去没有写出来），这是否会带来分母为0的问题呢？我们认为，确实存在分母为0的危险.
（1）第一次出现分母的变形是由③得④，如果没有误解的话，这中间应该有一个运算
要求tanαtanβ≠1（即tanγ有定义），这可以由④获得保证（事实上，由①可得xy≠1，yz≠1，zx≠1）.
所以，第一次出现的分母变形可以通过.
（2）第二次出现的分母的变形是由
2α+2β+2γ=2kπ（k∈Z）
得tan2α+tan2β+tan2γ=tan2αtan2βtan2γ，
如果没有误解的话，这中间有一个运算
所以，文[1]第二次出现分母的变形不能保持等价，④对于⑤是必要而不充分的.
（3）第三次出现分母的变形是把等式②变成
并认为是等价的（文[1]）在“分析”中说由②“易得”⑥.在“证明”中又说要证②“只需证”⑥.
很明然，等式⑥与等式②有区别，等式②是整式，对实数x，y，z是否取±1不加限制；等式⑥是分式，不容许分母为0，限制x，y，z不可取±1.那么，会不会在条件①的前提下，等式⑥与等式②等价呢？我们说不会，因为不等式①并不限制实数x，y，z取到±1.比如当x=1，y=-1，z=0时，满足条件①且使结论②成立，但等式⑥没有意义.
又当x=1，y=2，z=3时，等式⑥没有意义，但满足条件①且使结论②成立：
x+y+z=xyz=6
所以，文[1]用等式⑥代替等式②是不等价的，这种变形不等价既有知识性错误，更有逻辑性错误，主要是逻辑性错误.
第二、第三次所出现的分母变形，都是在x，y，z不得取±1的前提下成立，漏了x，y，z取到±1的情况，这两个问题的根源是相同的，即源于正切倍角公式
2.简要的结论
（1）本例正切代换x=tanα，y=tanβ，z=tanγ中的“α+β+γ=kπ（k∈Z），其中α，β，γ≠kπ+（k∈Z）”是必要而不充分的，两次所出现的分母变形都不能保持等价，主要表现为逻辑性漏洞.
（2）事实表明，本例并非文[1]（p.36）所说的“直接证明往往难以下手”（事实上，差异分析法特别适用于条件等式的证明），其恒等运算也只需要耐心和细致.而要填补漏洞，就会消解“正切代换”、“化繁为简、事半功倍”的说服力.
（3）本来，本例是最能体现正切代换优势的，但却存在变换不等价的问题，而进行补充讨论，缺陷虽然填平了而正切代换的“典型性”也削弱了.面对这样的情况，在写作中可以修改例题，让素材服从主题.如修改为
例1 已知x，y，z∈R，满足x+y+z=xyz.
目前，对于“求证式”存在两种理解，其一，“求证式”给出来的就是有意义的，只需证明其两边相等；其二，既要证明“求证式”有意义、又要证明其两边相等.为了避免“求证式是否存在”的争议，还可以改为
这样一来，“正切代换”的代表性、典型性、优越性就有了.
以上看法纯属个人意见，盼批评指正.