中学数学课堂教学艺术随想，本文主要内容关键词为：课堂教学论文,随想论文,中学数学论文,艺术论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在当代社会，数学已成为现代文化的重要组成部分，通过学习数学，可体会数学的科学意义和文化内涵，理解、欣赏数学的美学价值，陶冶学生的情操，因而数学本身就是一门艺术。数学是一种双边活动，要充分发挥教师的主导作用，尊重学生的主体地位，调动学生学习的主动性和积极性。教学的艺术就是教师在教学活动中精心设计、组织与实施，促进学生积极参与教学活动的艺术；教学的艺术就是启发式的艺术，就是师生双方密切合作，师生之间、学生之间交流互动的艺术；教学有法——教学要符合认可规律，遵循教学原则，教无定法——每一种教学方法都有它的特点和适用范围，教学的艺术就是教师在教学活动中根据具体情况，合理并创造性地运用教学方法的艺术。
1 分析、处理教材的艺术
明确这节课干些什么，理清教材的基本脉络，并能动地加以处理，这是教师驾驭教材的艺术。否则，连教材都没有吃透，便毫无教学艺术可言。
案例1 形如asinα＋bcosα的三角函数的化简问题（俗称辅助角公式）
原教材（包括实验本）把它放在三角函数和差化积之后。对于这一教学内容，执教者处理起来十分灵活，有的把它提前到两角和、差的正、余弦公式之后，有的照教材处理。前者的想法是：辅助角公式其实就是和角公式的逆用，放在和角公式之后，可使辅助角公式与之浑然一体，衔接自然；后者的想法是：辅助角公式其实是三角函数式的化简，同时也可认为是一种和差化积，照教材处理理由也很充分。不论哪一种处理方法，这一课题的展开大体是：
1）从逆用和角公式切入，从特殊教学到一般教学， 从数学到字母层层递进；
2）公式导出后，应引导学生认识公式的结构； 左边是同角正余弦的代数和，右边是一个角的一个三角函数的形式（含系数的规律和辅助角的确定）；
3）关键是辅助角ψ的确定方法：或由ψ的两个三角函数值， 或由ψ的一个三角函数值和ψ所在的象限确定；
4）提出问题：为什么要把形如asinα＋bcosα 的三角函数化为一个角的一个三角函数的形式？这是为了进一步解决三角函数的图象和性质方面的问题，如求周期、最值、单调区间、化简三角函数式，以及图象的平移和对称问题；
5）在较复杂的情景下运用辅助角公式解决有关问题时， 要着力解决化同角、化弦的问题。
案例2 棱锥、圆锥的体积
锥体的体积这一节课主要应解决两大问题；弄清三个定理的有机联系和揭示隐含在教材中的数学基本方法。
我们不妨把教材中三个定理按顺序分别称为定理1、定理2、 定理3。为了解决底面积为S高为h的锥体体积问题（即定理3）， 首先要创设转化的前提：等底面积等高的两个锥体的体积相等（即定理1， 这是一个十分重要的等积变形，也是证明定理2的基础，可用祖暅原理证明），于是锥体的体积可转化为等底面积等高的三棱锥来求（最简单的棱锥）；为了求三棱锥的体积，由于与它等底面积等高的三棱柱的体积问题已经解决，因而只需探讨这样的三棱锥与三棱柱的体积之间的关系，这是一个难点，需要突破。可先通过实验，形成感性认识，再通过多媒体辅助，把三棱锥补成三棱柱，然后把补上去的部分分割为两个三棱锥，运用定理1证这三个三棱锥的体积相等，从而得到V[,三棱锥]＝1／3Sh（即定理2）；最后利用定理1，得V[,锥体]＝1／3Sh（定理3）。通过分析，使学生明确为什么要在讲锥体体积公式（定理3）之前， 要依次先讲定理1和定理2。
结合教学内容，揭示数学思想方法是本节课的另一重要任务，即抓住契机介绍数学基本方法；割补法，定理2 就是这方面一个十分典型的例题；灵活选取三棱锥的底面，也就是图形变式；基本的体积变换，初步掌握体积的比与有关的长度比、面积比的关系。
2 课题引入的艺术
引入应力求先声夺人，抓住听众，一个好的开头可为整节课的教学营造一个良好的氛围。
2.1 创设问题情景，激发学习兴趣
案例3 函数概念
从一个有趣的“绕圈子”问题谈起（投影显示）：在世界著名水都威尼斯，有个马尔克广场，广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂，教堂的前面是一方开阔地。这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏，先把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面。你猜怎么着？尽管这段距离只175米， 竟没有一名游客能幸运地做到这一点！他们全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了另一边。
1896年，挪威生理学家解开了这个谜团。他搜集了大量事例后分析说：这一切都是由于人自身的两条腿在作怪！长年累月的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离，而正是这一段很小的步差x，导致人们走出了一个半径为y的大圈子！设某人两脚踏线间相隔0.1米，平均步长为0.7米，当人在打圈子时，圆圈半径y与步差x为如下的关系：
y＝0.14／x（0＜x＜0.1）。
上述生动和趣味的学习材料是学习的最佳刺激，在这种情景下，复习初中函数定义，引导学生分析以上关系也是一个映射，将函数定义由变量说（传统定义）引向集合、映射说（近代定义）。学生在这种情景下，乐于学习，有利于信息的贮存和概念的理解。
2.2 从思维的最近发展区引入课题
如案例1中，和角公式就是辅助角公式的思维最近发展区， 对于一个数学公式，我们不仅要能够顺用，而且还要能逆用、变用和活用。从逆用和角公式（思维的最近发展区）出发，可将具有某种形式的三角函数式化简，然后逐层建构，引入辅助角公式。
如案例2中， 祖晅原理和柱体的体积公式就是锥体体积公式的思维最近发展区。根据祖晅原理可得等底面积等高的两个锥体的体积相等，从而任意锥体的体积可转化为与它等底面积等高的三棱锥的体积，而上述等积定理和三棱柱的体积公式又是求底面积为S，高为h的三棱锥的体积的思维最近发展区，再利用割补法便可得出锥体的体积公式。
案例4 三垂线定理
学生原有的认知结构中已有：直线与平面垂直的定义和判定定理。从思维的最近发展区出发，平面的垂线垂直于该平面内的所有直线，平面的斜线呢（激活原有认知结构）？它不具有上述性质。那么它能否垂直于平面内的某些直线呢？即平面内的哪些直线垂直于这条斜线呢（激发认知冲突）？分析问题：设l是平面α的斜线，O是斜足，P是l上异于O的一点，PA是α的垂线，A是垂足，于是直线AO是斜线l在平面α的射影。从思维的最近发展区即直线和平面垂直的判定和性质出发，如果平面α内的直线α垂直于斜线l，又α⊥PA，那么α⊥平面PAO，从而α⊥AO，即只要平面内的直线垂直于斜线在平面上的射影即可，问题得以解决，实现了学生思维的顺应。
依托思维的最近发展区直线和平面垂直的判定和性质，恒有α⊥平面PAO，从而在得到三垂线定理的同时，也得到了三垂线定理的逆定理。试验本上把三垂线定理及其逆定理整合为：平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是，平面内的这条直线和斜线在平面上的射影垂直。吸收了近年来三垂线定理教学研究的成果，揭示了三垂线定理及其逆定理的共同前提条件（要有平面的垂线）及本质（平面内的直线与平面的斜线和斜线在平面上的射影同时垂直），是教材编写的重要革新。
2.3 开门见山，提出问题
“问题是数学的心脏”，“问题解决”的教学已经为数学教学的重要模式之一，精心、巧妙地设置问题，引入时开门见山明确地提出问题，引导学生分析、解决问题，旨在促进学生主动探索，积极思维，充分发挥学生的主体作用，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。
2.4 从实际引入概念，从实际提出问题
新教材一般都是这样做的，如集合概念的引入，数列概念的引入（国王奖赏国际象棋的发明者）；又如前面案例4 中函数概念的引入，等等，这些饶有趣味的实例，既创设了生动的问题情景，又培养了学生用数学的意识。我们不仅要充分利用试验修订本上的这些材料，还要结合教材尽可能地、恰到好处地增编一些旨在培养学生用数学的意识的实际问题，同时激发学生的学习兴趣。
课题引入的方式方法还有许许多多，总的原则是从思维的最近发展区出发，创设问题情景，激发学习兴趣，调动学生解决问题的积极性。我们要认真构思，依内容定方法。
3 教学的艺术重在过程的设计
3.1 高度重视过程的教学，切实改变重结果轻过程的现象
那种生硬地提出概念、性质和法则，匆忙地讲完公式、定理后便急于讲解例题，舍不得花气力展示知识的发生、发展与形成过程的做法亟待废止。为更好地落实过程教学，应切实做到：
1）展示概念、公理的形成公式，性质、法则的发现过程，公式、 定理的推导过程，问题、结论的探索过程；
2）例题和习题的选取应注意巩固性、层次性、典型性和启发性。 在适时的情况下，在适当地带一点探究性、综合性和应用性，以培养学生的创新意识和应用意识。
3）在解题教学中，应有解题活动的准备过程， 解题方法的探究过程，思维的优化过程，解题经验的总结过程。这实际上是“问题解决”理论的重要组成部分。
案例5 两角和的余弦（除向量方法外的另一种方法， 旨在开阔思路）
推导这一公式有大量的思维活动要展开：首先由学生猜想cos （α＋β）＝？，在验证cos（α＋β）≠cosα＋cosβ后，提出cos（α＋β）究竟等于什么？
1）明确我们研究的是什么问题？将两角和的余弦用单角α，β的三角函数（正、余弦）来表示，即研究三个角：α＋β，α，β的正、余弦之间的关系，而不急于将结论和盘托出；
2）为什么要用直角坐标系中的单位圆来研究？在试验本中， 我们经常在直角坐标系中研究角，而根据任意角的三角函数的定义，角的余弦和正弦就是角的终边与单位圆交点的坐标，也就是用坐标法来研究我们的问题，把上述三角函数之间的关系转化为点的坐标之间的关系问题来研究；
3）为什么要作－β角？这是难点，需要突破。 在作出α角与α＋β角后，α和α＋β的余弦和正弦已转化为点的坐标，尚缺少β的余弦和正弦。作出－β角后，不仅可得到β的余弦（－β角与单位圆交点的坐标），还可得到两个大小都为α＋β的圆心角以及所对的等长的两条弦，利用弦长公式，便可得到四个点的坐标即三个角α＋β，α，β的正、余弦之间的等量关系，从而找出解决问题的突破口。
4）如果直接以Ox轴为始边作β角交单位圆于点P[,4]，又如何呢？依照上述思路，由
，而这却是差角的余弦公式，同时也增加了思维的难度，表述起来也略嫌繁琐。
这一公式的推导是解题教学的一个范例。作为解题活动的准备过程至少要做两件事：一是任意角的三角函数的定义，二是两点间的距离公式；作为解题方法的探究过程要明确坐标法是解决本问题的核心方法；作为思维的优化过程要明确为什么要作－β角，作为解题经验的总结过程要学会寻找等量关系的方法（方程的思想）。
3.2 用皮亚杰等的“建构主义理论”， 弗莱登塔尔的“再创造教学”等理论指导教学过程
“认识建构论”科学地反映了人的认知规律，形成了新的数学观、学习观和教学观。其一般模式是：在激活原有的认可结构的基础上，提出新的认识客体。通过学生的自主活动、智力参与，或根据认知同一的原则，以“同化”的形式把客体纳入到已有的认知结构中，使原有的认知结构扩充延伸，形成新的认知结构；或激发认知冲突，引导学生解决矛盾，实现思维的“顺应”，将原有的认知结构进行调整重组，形成新的认知结构，其要点是：学生自主活动（在做数学中学数学），智力参与，个人体验。
“再创造数学”理论认为：数学教育是一个活动过程，在整个活动中，学生应处于一种积极创造的状态，教师的任务在于引导学生探索获得知识、技能和途径的方法，培养学生的创造力。
案例6 直线方程的两点式。
这是一个在教师引导下，充分发动学生自主建构，进行再创造活动的实例，同时教师也应在形式化过程、揭示四种（特殊）形式的直线方程的局限性方面起到点拨作用。
1）课题引入从思维的最近发展区出发，激活原有的认知结构， 提出新的认知客体。
复习直线的点斜式方程的前提条件、方程的形式、斜截式的导出方法，这两种形式的直线方程只能表示怎样的直线。提出问题：已知直线l经过两点
，你能求出直线l的方程吗？
2）学生自主活动，智力参与，构建上述直线的方程。
比较本问题的条件和直线的点斜式方程的条件，只需创造条件，求出直线l的斜率，就可根据点斜式可写出两点
。
3）构建“模式”，实现表述的“形式化”。
这样的形式具有对称的和谐美，便于识记，便于交流，至此，完成直线方程的两点式的建构（包括适用范围）——板书课题：直线方程的两点式。两点式中的“式”就是指的表述的“形式化”，点斜式也是如此。
4）顺势同化，构建直线的截距式方程。
正如直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例一样，直线的截距式方程也可作为直线的两点式方程的特例由学生建构得出，包括形式化过程和适用范围。
5）由浅入深，逐层推进，操作演练，解决两个方面的问题：
一是依条件求直线的方程，包括直接应用，能根据题目条件选择适当的形式求直线的方程和创造条件应用公式这两类问题；
二是逆向思维，由方程的形式一眼看出该直线的几何特征，如由具有一次函数形式的斜截式方程可确定直线的斜率和在y轴上的截距， 由点斜式可确定直线上一点和它的斜率，由两点式可确定直线上的两点，由截距式可确定直线的横截距和纵截距。由此可实现各种形式的方程的互相转化：明确转化方向，由方程求得所需要的几何条件，进而得出转化后的直线方程。
6）归纳概括，编码记忆，留下思维的空间。
小结不等同于一节课的简要复述，也可以新颖别致，有所升华。如本节课采用列表的方法进行编码（含四种形式的条件、方程、局限性），帮助识记，界定适用范围；同时对不能用这四种形式表示的直线即特殊位置的直线方程另外编码，进一步解决矛盾，为下节课直线方程的一般式预设了思维的最近发展区。
过程的精心设计是教学艺术的集中体现。
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