让“老题”挂“彩”———堂渗透函数思想的复习课，本文主要内容关键词为：函数论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在日常教学中，我们发现这样一个现象：师生手头众多的高中数学复习资料书虽几经删改、修订，但总有一些“老题”被一直保留下来。究其原因是，这些老题无论是在培养学生的思维品质方面，还是其解法的丰富多彩，都有着较大的教学价值。近日，在我校高三年级的一次考试中，试卷中也出现了这样一道老题：已知抛物线
，点M(0,3),N(3,0)若抛物线C与线段MN有两个不同的交点，求实数m的取值范围。但测验后发现，学生的得分并不理想，为此，备课组进行了集体诊断与研讨，决定以该老题为载体，用“小专题”的形式，通过解决两类形异质同的问题，构建一堂渗透函数思想的复习课。现把教学过程实录如下，并作相应的点评。
一、展示错解，创设问题情境
图1
接着，师生共同探究发现，上述解法犯了以偏概全的错误，忽略了抛物线的顶点在线段上及在线段的下方，也能保证有两个交点的情形，为了帮助学生认识，教师借助于几何画板进行了直观演示。而且，学生从中发现错解应订正为：把抛物线
向右及向上平移，才能使抛物线与线段有两个交点，即m＞0，先考虑平移到两者相切的情形，可得m=3，继续平移，便得抛物线与线段必有两个交点，直到抛物线过点N(3,0)，解得
，故
。面对上述正解，学生都感叹：若不借助于几何画板的演示，则很难完成上述解法，另外，若改变参数m在解析式中的位置，一味依赖图形的直观求解，问题会变得更加复杂，通过这样的反思，学生对问题的解决达成下列认识：一条动态的抛物线很难分清与一条定线段的位置关系，问题解决应转换角度，另探它法。
二、立足方程，优化解法
师：大数学家华罗庚先生说过“形缺数时难入微”，那么，该问题要“入微”，你想到作怎样的转化？
：问题可转化为方程
，即
在x∈[0,3]上有两个不同的解。
师：很好！这样，问题就转化为一元二次方程根的分布问题，那么，又该如何求解呢？
经讨论，一个颇为自然的求解思路是先考察△＞0，再解关于根的两个不等式，但发现运算太繁！
师：那么，我们能否不求方程的两个根呢？
：只要结合韦达定理，运用设而不求的思想方法来解。
师：好！现在的关键是如何找到两根落在区间[0,3]内的等价条件。
师：很好！两数只有与0比较，才能找到其等价条件，这应该是整个问题解决的关键。
下面是完整的解法：设方程的两个根为
，则
三、转换视角，巧构函数
师：上述解法略显繁琐，华罗庚先生又说过“数缺形时少直观”，那么，我们能否再转换角度呢？
：记
，问题就等价于函数f(x)的图象在x∈[0,3]上与x轴有两个交点。
现画出函数的图象(如图2)，得
图2
师：该解法直接利用方程右边二次函数的图象求解，关键是找到图象满足的等价条件，那么，我们能否对方程恰当变形，重新构造函数来解。
：方程可化为
，这样，问题就变成函数
与y=(m+1)x的图象在区间 [0,3]上有两个交点。
师：此法与我们一开始讨论的解法类似，也是考察两个函数的图象的交点，那么，会不会出现具体操作较难把握呢？
：不会，这里定的是抛物线的一段，而动的是直线，利用直观判断就显得容易了。
师：分析得真到位！请给出具体解法。
：画出函数
的图象（如右上图3），先考察直线y=(m+1)x与其相切，
由方程
得
，
解得m=3或-5，显然m=3，此时切点为(2,8)，
再考察直线y=(m+1)x过点(3,13)，得
，
故
。
图3
师：还有没有再构造新函数来解的方法呢？
：考虑到x≠0，方程
通过分离参数可化为
(x∈(0,3))，这样，问题就转化为直线y=m+1与函数
的图象在x∈(0,3]上有两个交点。画出函数在x∈(0,3]上的图象（如图4），当直线 y=m+1过最低点(2,4)，得m=3，当直线过点
，得，
图4
由图象直观知。
师：此法与前一个方法可谓是异曲同工，但一比较，你能发现其优点吗？
：通过参数分离，构造的直线y=m+1变得简单，这样，直观读出两个交点就更加容易了。
师：很好！真是思维越深刻，解法越简洁！
四、变更问题，类比深化
师：现把方程在x∈[0,3]上有两个解变成不等式
在x∈[0,3]上恒成立，求m的取值范围。下面，我们类比上述解决方程根的分布的方法来解决该问题。
：类比方法1，问题可转化为函数
的图象落在x轴上方。当
，即-5＜m＜3时，显然成立；当△=0，即m=-5或3时，容易验证当m=3时，抛物线顶点横坐标为2不满足，故m=-5；当△=
师：至此，我们类比地解决了上述不等式恒成立问题，现请大家总结两类问题求解的本质。
生：两类问题的本质均是函数问题，即通过对函数的图象及性质的考察来解决相应的问题。
生：求解的关键是对方程或不等式作适当的变形，再构造恰当的函数，这里，若参数能分离，通过先分离参数，再构造函数，问题解决会变得相对简单些。
师：一针见血，很好！
五、点评
(1)从新课程标准的视角来看，“错误”是一种来源于学生的学习活动本身的教学材料，我们应该善待“错误”这一宝贵资源，主动对其进行开发、利用，变“废”为“宝”。本案例中，教师正是利用学生的错误来创设问题情境，让学生在找错、纠错中揭示问题的本质，产生寻找“优解”的渴望。然后，在学生这种强烈的内心需求的驱动下，能不断转换认识问题的视角，多角度入手来解决问题，从而真正认清问题的本质。“纠错”可以说是高三复习中的“重头戏”，但怎么开展，却大有讲究，那种“就错论错”式的讲评往往收效甚微，只有通过精心的设计和巧妙的安排，真正触动学生灵魂深处的东西，才能给学生留下深刻的印象，才能从根本上防止类似错误的发生。
(2)弗莱登塔尔说：反思是数学思维活动的核心和动力。从某种意义上说，解题过程是一个不断进行自我反思的过程，但如何进行有效的反思，有没有具体的可操作的模式呢？回答是肯定的。本案例正是通过师生、生生不断“对话”的方式，以反思为动力，在寻找各种解法的过程中，去领悟和把握问题的本质。更重要的是，通过这样的解题活动，能让学生从中学到所需要的东西，引领他们在自己的解题实践中去尝试、去探索。
(3)在新课程背景下，数学教学要合理使用教材和资料，有效选择例题和习题，高三复习也不例外。不能因为教学对象是高三学生，而在选题上片面注重“高、大、全”，追求“新、奇、难”，对那些既是基础又富有内涵的典型题目不屑一顾，从而忽视了对学生进行基础知识和基础技能的强化。本节课教者所选的题目可以说是一个“老题”，实在是太平常和普通了。但通过教师的周密布置和精心安排，再加上问题多方位的入手视角，却为学生提供了丰富的思维空间和展示平台。选择这样的例题展开教学，充分体现了高三数学复习“面向全体、降低重心”的原则，因此本节题的例题配置定位准确，符合学生实际，的确能收到良好的效果，值得我们借鉴和学习。
(4)高三复习中开展的例题教学，一个很重要的任务是：能把过去学过的知识综合起来，能“串成串”，既要加强知识间的联系，更要抓住问题的本质和凸现蕴含其中的思想方法。具体到一堂课的复习，就是要有一个相对集中的专题，并围绕这个专题进行复习。本堂课从一道“老题”出发展开教学，构思和创意非常好，构思和创意是教学设计的灵魂，好的教学设计又是保证好的教学质量和效益的重要前提之一。复习时，如果我们把学生做的题目比作“鱼”，那么题目和知识内容反映出来的数学思想方法就是“渔”，是数学本质。我们要抓住“渔”，而不仅仅是“鱼”。本节课恰恰抓住了“渔”，就是解决两类形异质同问题中的函数思想。