高中生对切线的错误理解，本文主要内容关键词为：切线论文,错误论文,高中生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
切线概念有着悠久的历史.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第3卷中将圆的切线定义为“与圆相遇，但延长后不与圆相交”的直线[1].同卷中有关切线的各命题表明，欧几里得是从以下几个角度来看圆的切线的：
·切线与圆的公共点个数为1；
·切线不能穿过圆或圆位于切线的同一侧；
·切线与圆心至切点的连线垂直.
之后，阿波罗尼斯在《圆锥曲线》中将圆的切线定义推广到圆锥曲线的切线[2].类似于欧几里得，阿波罗尼斯从类似的3个角度来看圆锥曲线的切线.
阿基米德将螺线的切线看作是与螺线只有一个公共点，且落在螺线之外的直线.《论螺线》命题13：“若一直线与螺线相切，则它与螺线只接触于一点.”[3]这里的螺线是针对第一圈而言的.阿基米德采用反证法来证明他的命题，相当于说：如果一条直线与螺线（第一圈）接触于两点，则该直线与螺线相交.由此可见，和欧几里得、阿波罗尼斯类似，阿基米德仍从“公共点的个数”角度来看切线.因此，在公元前3世纪，圆和圆锥曲线的切线定义的局限性实际上已经暴露出来了，但古希腊数学家未能突破这一局限，而是采用了回避的态度.在此后的一千八百余年间，人们对切线问题的认识并没有超出古希腊人的水平.
直到17世纪，费马、笛卡儿、巴罗等微积分先驱者才给出求切线的一般方法.如果用极限思想来解释，他们的方法都相当于把切线看作割线的极限位置.德国数学家莱布尼茨将曲线的切线定义为“连接曲线上无限接近两点的直线”，或“曲线的内接无穷多边形的一条连续边”[4].法国数学家洛必达在其《无穷小分析》中亦将曲线的切线定义为曲线的内接“无穷多边形”一边的延长线[5].
可见，从几何直观阶段到分析阶段，切线概念经历了漫长的发展过程，切线概念的认识论障碍正源于公共点个数、切线和曲线的位置关系、切线与直径位置关系等对于人们思维的束缚.即使是在17世纪，古希腊的切线观念依然占据着人们的头脑，如意大利数学家托里拆利（E.Torricelli，1608—1647）在求曲线
的切线时，仍然依据切线与曲线只有1个接触点这个条件[6].
在初中，学生已经接触过圆的切线概念，圆的切线是学生学习一般切线概念的认知基础.“圆的切线”有以下几种定义：
·与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线；
·与圆心的距离等于半径长的直线称为圆的切线；
·过圆半径的外端，且垂直于半径的直线称为圆的切线.
在高中，学生接触了圆锥曲线的切线，但教材并不涉及圆锥曲线切线的定义.在引入导数概念时，教材给出了“割线的极限位置”这一新的分析定义.
数学教育研究表明，学生对数学概念所持有的表象与该概念的定义往往是分离的[7-8]，学生对数学概念的理解存在历史相似性[9-13].那么，学生所持有的切线表象与切线定义是否分离？高中生对切线概念有哪些错误理解？从圆的切线过渡到一般曲线的切线，高中生的理解是否表现出历史相似性？这里试图回答上述问题.
采用测试的方法，选取江苏、上海两地两所高中的部分高二学生以及安徽一所高中的部分高三学生作为样本，其中高二99人（江苏34人，上海65人），高三125人，江苏高二和安徽高三学生均已学过导数概念，上海高二学生未接触过导数概念.
研究工具为一份含有9题的测试卷.限于篇幅，这里仅对以下问题的测试结果进行统计和分析：“判断下列命题是否正确：过曲线C上一点A作曲线C的切线，最多只能作一条.”测试目的是了解高中生对直线与曲线公共点个数作为直线为切线的条件的理解，以此来回答各个研究问题.
二、测试结果与分析
1.肯定判断
表1给出被试的判断情况.
共有141人（占62.9%）作出了肯定的判断，判断的理由分成7类.
第1类：切线与曲线只有一个公共点.
第2类：曲线在一点处有唯一导数.
第3类：具体实例（图1）.
第4类：曲线位于切线的同一侧.给出这类理由的学生持有圆的切线表象.
第5类：过点A有且仅有一条直线与A和曲线中心连线垂直.给出这类理由的学生同样持有圆的切线表象.
第6类：猜测、直觉或想当然.
第7类：无意义的理由.
表2给出了各类理由的分布情况.
2.否定判断
83人（占37.1%）人正确给出了否定判断，判断的理由分成6类.
第1类：过曲线上一点可作多条切线.图2是少数被试给出的正确反例.
第2类：点A可能为切点，也可能是切线与曲线的交点.只有部分高三被试给出这一正确的理由.
第3类：过曲线上一点可作无数条切线.表面上看，这一理由对于某些曲线（如正弦曲线在非极值点处）是正确的，但问题是，学生指的却是同一切点处有无数条切线.
第4类：曲线上一点处的导数可能有多个.
第5类：无意义的理由.
表3给出了各类理由的分布情况.
3.错误反例
给出否定判断的被试所举反例绝大多数是错误的，错误可以分成8类.
第1类：圆上任一点处有两条不同切线（图3）.
第2类：抛物线顶点处有两条不同切线（图4）.
第3类：过双曲线一支上某点，既可作该支的切线，也可作另一支的切线（图5）.事实上，双曲线某一支的切线不可能与另一支相切或相交.
第4类：曲线在端点处有无数条切线（图6）.
第5类：曲线在尖点处有无数条切线（图7）.
第6类：（光滑）曲线在极值点处有两条不同切线（图8）.
第7类：曲线y=
在原点处有两条切线.Vinner（1991）的研究也发现了这类错误（图9）.
第8类：其他.误将“过曲线上一点”理解为“过曲线外一点”（图10）.
70.7%的高二被试和56.8%的高三被试都做出了肯定的判断，他们无一例外都认为“直线与曲线有一个公共点”是“直线为曲线的切线”的必要条件，因此，当他们看到“过曲线上一点A作曲线的切线”时，都想当然地认为点A就是切点（如果该点处有切线的话），而想不到点A也可能是切线与曲线的交点.
尽管部分高二被试和所有高三被试已经学过导数概念及其几何意义，但他们中的大多数仍然通过直线与曲线的公共点个数来判别切线，与高二被试一样，持有“圆的切线”这一表象.对于这部分被试而言，切线概念的定义——割线的极限位置——该概念的表象确实是分离的.这与Vinner（1991）的研究完全一致.
研究表明，学生从圆的切线的直观定义过渡到一般曲线的分析定义时是存在认知障碍的.这种障碍重演了历史上的认识论障碍.从古希腊数学家对切线的认识到17世纪数学家对切线的新认识，历史跨越了近两千年.古人很难摆脱“直线与曲线公共点个数”、“直线与曲线位置关系”这样的藩篱；而今天的中学生，虽有极限这一古人所不具备的工具（对这个工具的理解同样也是数学教育研究的重要课题之一），但他们同样未能摆脱“公共点个数”的束缚.
29.3%的高二被试和43.2%的高三被试正确地作出了否定判断，但其中仅有极少数的被试给出了正确的理由.
8类错误反例说明，被试对于曲线在端点、顶点、极值点、不可导点、拐点等特殊点上切线的存在性或唯一性有明显的困惑.
这些错误反例大多由高三被试所给出，这表明，尽管学生学过导数概念及其几何意义，但他们并不能运用切线的分析定义来处理曲线在特殊点处的切线，这进一步证明，学生对于切线所持有的表象与切线的定义是分离的[14～18].
根据上述统计与分析，可以得出以下结论：
（1）高中生对曲线的切线存在诸多错误理解，主要有：
·“直线与曲线只有一个公共点”是“直线为曲线的切线”的必要条件.
·曲线在顶点、极值点、拐点处有两条不同的切线.
·曲线在端点或尖点处有无数条切线.
·双曲线的切线与双曲线可以有两个公共点.
（2）尽管学过“切线是割线的极限位置”这一近代分析定义，但绝大多数学生仍然持有“圆的切线”或“与曲线只有一个公共点的直线”的表象，与该定义完全分离.
（3）绝大多数高中生对切线的理解只达到古典几何阶段，他们只是根据公共点个数来判别切线，与古希腊数学家的理解具有相似性.绝大多数高中生在从圆和圆锥曲线的切线过渡到一般曲线的切线、从切线的静态的直观定义过渡到动态的分析定义时存在困难，表现出高度的历史相似性.