悖论与人类对无限的认识，本文主要内容关键词为：悖论论文,人类论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B813;B023
文献标识码：A
文章编号：0438-0460(2001)03-0063-07
“悖论”一词是英、德文Paradox的一种意译。一般认为，悖论是指由某些真实性得到公认的前提，可以合乎逻辑地得出虚假乃至矛盾结论的理论事实或状况。无限也称无穷，是人类思维“自由想象”的产物，它含有无条件的，无始无终无边无际、不可穷尽的意思。悖论和无限问题都是逻辑哲学、数学哲学和科学哲学研究的重要内容，而悖论与人类认识无限的关系也有人作过一些探讨。本文拟根据悖论研究的当代进展，对悖论与人类认识无限两者之间的辩证关系作出比较全面的分析，对其中一些问题提出自己的看法。
一、人类对无限认识的不足是许多悖论产生的重要原因
无限概念是人类从现实世界的无限性对象（如无限时空）中抽象出来的，人类对无限的认识经历了由较多的不足到较少的不足的过程。而历史上许多悖论的出现，与当时人们对无限的认识不足密切相关。下面举出古代、近代、现代的几个典型悖论加以说明。
1.古代的“芝诺悖论”主要来自于人们认识有限与无限关系时只看到对立的一面。
在古希腊时期，对于有限与无限的关系，人们已经看到它们对立的一面，一些哲学家则加以肯定并强调对其认识的重要性。例如，毕达哥拉斯学派在提出十对具有普遍意义的对立范畴时把有限与无限这一对放在首位。然而，对于有限与无限统一的一面，人们还没有认识清楚，一些哲学家则把它掩盖起来，把有限与无限的辩证统一关系变成绝对的对立关系。著名的芝诺悖论，特别是其中的两分法悖论和阿里斯悖论，是这方面的典型表现。例如，所谓二分法悖论就是这样的一种论证：“假定有一个物体从甲地向乙地运动，它在到达终点以前，必须先通过整段距离的一半；同样，要经过这一半的距离，又必须通过这一半的一半，以此类推，以至无穷，它永远不能走完自己的路程。因此，运动的物体永远达不到终点，运动是不可能的。”[1](P25)显然，这里完全曲解了有限与无限的辩证统一关系，否认了物体在有限的时间里可以跨越包含无限点集的有限空间距离的可能性；同时，这里也完全曲解了空间连续性与非连续性的辩证统一关系，否认了物体可以连续跨越非连续的无限个分割点。不过，我们也应该看到，在芝诺悖论里，已明确地把无限小的时间间隔和无限小的空间间隔当成独立存在的东西，即承认了实无限小，这对人类无限观的发展有着积极的作用。
2.近代的“贝克莱悖论”来自于人们没有认清无限小量的本质。
17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨在总结前人研究成果的基础上，分别独立地创立了微积分理论，并在许多领域里得到了广泛的应用。微积分主要来源于求非均匀变化的变化率和非均匀分布的总量问题。解决问题的关键是用函数表示两种量的关系后，在无限小的局部范围内把非均匀的看成是均匀的，使之形成两种无限小量之间的关系，然后实现转化，即求得变化率或分布总量。由此可见，无限小量（无穷小量）是微积分的核心概念，正确认识和表述无限小量概念的内涵是非常重要的。微积分创立者在说明微积分内容时，以微分为初始概念，用微分定义导数（变化率）和定积分（分布总量），而微分就是无限小量。然而在逻辑推导过程中，有时把无限小量当作零使用，有时又把无限小量当作非零使用。例如，在求自由落体运动的瞬时速度时，首先要假定无限小时间间隔不为零，以便求得平均速度
；然后再假定无限小时间间隔为零，才能最后求得瞬时速度(△t=0,v=gt)。从形式逻辑的角度看，这里显然存在逻辑矛盾。大主教贝克莱则攻击说，无限小量是逝去了的量的鬼魂。这就是所谓的“贝克莱悖论”，它导致了数学发展史上的第二次“数学危机”。贝克莱悖论的出现，表明人们看不到无限小量的本质，认识不到它是零与非零的矛盾统一体。
3.近代的“光度佯谬”和“引力佯谬”来自于人类对无限宇宙认识的不深刻。
“佯谬”一词是Paradox的另一种译法。经验科学中的悖论和佯谬所反映的，是由某些公认正确的背景知识下，合乎逻辑地导出某个与当时一般科学原理或经验事实不符的结论。经验科学中已发现了许多悖论和佯谬，如波粒二象悖论、光速悖论、可逆悖论、双生子悖论、EPR悖论、宇称守恒悖论、光度佯谬、引力佯谬等等。
17世纪，牛顿根据万有引力定律和欧氏几何原理，提出了“均匀无限宇宙模型”。这个模型告诉人们，无限的宇宙有无限多的星球均匀地分布在无限的三维平直绝对空间中，星球凭借相互间的万有引力在各自的轨道上进行着机械运动。1826年德国天文学家奥尔勃斯指出：如果星球是无限多而且均匀分布，那么宇宙空间里将处处光辉夺目，地球上也没有白天黑夜之分；然而实际情况并非如此。这就是所谓的“光度佯谬”。1894年德国的另一位天文学家西利格尔指出：如果星球无限多而且均匀分布，那么宇宙中任一有限区域的物质（质量有限）将被区域外的物质（质量总和为无限大）所吸引，有限区域内的物质无法依靠自身的引力收缩成星体；然而实际情况并不是这样。这就是所谓的“引力佯谬”。
4.现代的“康托尔悖论”来自于人们看不到潜无限和实无限的辩证统一。
在19世纪微积分理论基础得到完善以后，康托尔深入研究无限集合，用“一一对应”原则把无限集合加以比较和分类，用基数（序数）的大小反映无限集合的大小。在此基础上，他得到了一系列的重要结论：自然数集、偶数集和有理数集是基数最低的无限集，属于可数集；实数集、某闭区间的实数集和三维空间的点集，都是具有较高基数的无限集，属于不可数集；任一集合的幂集的基数大于这一集合的基数（一集合的幂集是指由该集合的所有子集作为元素所构成的集合）。然而，康托尔的无限集合理论还有不完善的地方，康托尔本人以及罗素等人在19世纪末和20世纪初先后发现的集合论悖论就是对存在问题的揭示。其中的康托尔悖论（最大
能性的同时，又承认有大全集存在即扩张的绝对完全，并且把它们机械地联结在一起，必然导致逻辑矛盾。这个悖论正好反映出人们对于潜无限和实无限的辩证统一关系还没有认识清楚。由于康托尔悖论、罗素悖论等集合论悖论的出现，导致了数学发展史上第三次“数学危机”，即关于数学基础问题的第三次大讨论、大辩论。
二、悖论的提出和研究有力地推进人类对无限的认识
涉及无限的悖论的提出，既表明人类对无限的认识尚不够完善，又必然推进人们加强对无限问题的研究，提升人类认识无限的水平。下面仅就前述几个悖论提出后，人们研究无限问题的进展情况作点简要的说明。
1.芝诺悖论的提出，加快了采用数学模型研究无限问题的进程。
芝诺悖论的提出，迫使数学家们在使用无限概念时采取更加谨慎的态度，同时促进哲学家们加强对无限问题的研究，并重视数学模型的使用。例如古希腊原子论派的代表德谟克利特，不仅认为万物的基始（本原）是原子，而且把几何图形看成是由某种数学原子组成的。据说，他由此推得锥体的体积计算公式：锥体的体积等于同底同高的柱体体积的三分之一。德谟克利特所说的数学原子，实际上是实无限小的数学模型。又如古希腊科学和哲学的集大成者亚里士多德，在使用数学模型研究无限方面又前进了一大步。他认为，无限在本质上是数和量的一种表现，使用数学模型研究无限是理所当然的。通过数学模型的使用，他得到一些重要结果：首先，就无限的基本形式来说，只有增加方向上的无限和分割方向上的无限两种；其次，就无限能否实现来说，可区分为“潜能上的无限”和“现实的无限”，但他认为现实的无限是不可能存在的。在这里，他明确区分了两种无限，即潜无限和实无限，对无限概念的澄清作出了贡献。
2.贝克莱悖论的研究促进了人类辩证无限观的形成。
对于无限问题，包括与悖论有关的无限问题，辩证法大师黑格尔、马克思、恩格斯等都做过大量的研究，并留下许多精辟的论述，对人类辩证无限观的形成作出了杰出的贡献。黑格尔在批判知性无限后指出：“有限物和无限物的统一，并不是两者外表上在一起，也不是各不相属，与其规定背道而驰的联结，……恰恰相反，每一个在自己本身那里都是统一的，并且每一个都只是自身的扬弃。”[3](P145)对于数学中的无限小量，他认为：微分作为“无限小量”，在量上为零，而在质上不为零；微分是定量与非定量的统一，它和零既同一又有差异；微分或无限小量只有在比中才有意义，脱离比的极限必然会得出无限小量不是零就是非零的逻辑悖论。[4]
马克思在深入研究微积分的内容以及微分发展史后，对作为微分的无限小量的本质、对求导数运算的否定之否定过程作了深刻的说明。例如把微分看作是“被扬弃了的或消失了的差”，把求导数的过程看作是以“首先取差，然后再把它扬弃”为核心的否定之否定的过程。[5](P3,2)恩格斯不仅重视对微积分运算过程辩证性质的分析，而且重视对数学无限实现原型的分析。他曾指出：“数学的无限是从现实中借来的，……所以它不能从它自身，从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明。”“只要数学家退入他们的不可攻克的抽象堡垒，即所谓纯数学，这一切相似就都被忘却，无限就变成完全神秘的东西，而在分析中所用的方法就显得完全不可理解的，同一切经验和一切理智相矛盾的东西了。”[6](P608-609)
19世纪20年代，柯西建立了极限理论，并为微积分奠基，结束了关于无限小量问题的争论。极限理论坚持的是潜无限的观点，但它能够说明无限小量是零与非零的矛盾统一体，也能够说明微积分计算过程的辩证性质。20世纪60年代，鲁滨逊创立了非标准分析，使微积分理论也可以用实无限的观点加以表述。
3.光度佯谬和引力佯谬的提出推进了人类对无限宇宙的探索。
光度佯谬和引力佯谬的提出，深刻地揭露了以牛顿力学和欧氏几何为基础的均匀无限宇宙模型自身存在的逻辑矛盾。为了消除这种逻辑矛盾，爱因斯坦于1917年根据广义相对论原理提出了“有限无边宇宙模型”。在这个模型里，时间和空间是与物质的存在及运动联系在一起的，时空形态会因物质存在其中而发生弯曲，物质的质量密度越大，所处的时空弯曲程度就越高。就时空的广延性来说，它是一个闭合的连续区，一个体积有限而没有边界的弯曲封闭体。这个模型不仅克服了均匀无限宇宙模型存在的缺陷，而且为相对论宇宙学奠定了基础。在此基础上，比利时的勒梅特于1927年提出“膨胀宇宙模型”，于1932年提出“大爆炸宇宙模型”。以后又有许多模型出现，人类对无限宇宙的认识不断达到新的层次。
4.康托尔悖论的发现和研究进一步深化人类对潜无限和实无限的认识。
康托尔悖论以及其他的集合论悖论的发现，又引起了人们对于无限问题的讨论和争论。20世纪20年代，围绕实无限的概念和方法在数学中应用的合理性问题，在直觉主义者和希尔伯特之间展开了激烈的争论。直觉主义者布劳威尔等人认为，实无限的概念和方法在数学中的应用是不允许的，必须用潜无限的立场来改造整个数学，建立起直觉主义数学。希尔伯特则认为，可以把无限性对象作为“理想元素”加入数学中，然后证明这样做并不导致错误。所谓的“希尔伯特规划”就是希望能够用数学证明这种方法论的实无限论者立场的合理性。30年代以后，随着数学基础研究的深入，出现了形式主义和柏拉图主义的论战，争论的焦点则是关于实无限性对象的客观实在性问题。形式主义者认为，虽然可以在数学中应用无限性对象，但它们不具有任何真实性意义。柏拉图主义者则认为，不仅应该承认实无限的概念和方法在数学中应用的合理性，而且应当承认实无限对象的客观实在性，即承认它是不依赖于思维的独立存在。以上分析表明，这个时期人们对无限问题的讨论已经不再停留在数学无限的一般分析上，而是把无限的数学哲学分析与具体的数学研究有机地结合起来，从而进一步深化人们对于潜无限和实无限的认识，特别是关于实无限应用的合理性和实无限性对象的客观实在性的认识。
关于潜无限和实无限的关系问题，我国的专家学者已提出了深刻的见解，认为“任何无限性对象都是潜无限与实无限的对立统一”（双相无限性原则）[2]；“实无穷与潜无穷的对立，不能简单地看成是在无穷问题上正确见解与错误见解的对立，而较为妥当的是应看成从不同的视野和角度对无军的本质所作的不同揭示与概括。”[7](P349)
三、人类对无限认识的深化加快了语义悖论的消解
人类对无限认识的深化，既促进了语形悖论和经验科学悖论的消解，也促进了语义悖论的消解。在促进语义悖论的消解方面，主要体现在已提出了许多消解语义悖论的“无限”方案，并且可以用现代无限观看待各种无限方案的作用。
1.语义悖论的消解出现了许多“无限”方案。
说谎者悖论是最古老、最典型的语义悖论，人们对它的研究已经有很长的历史。20世纪20年代，塔尔斯基通过对说谎者悖论的分析，明确指出：在构成悖论的语言中，不仅包含了这种语言的表达式，而且包含了这些表达式的名称，以及属于该语言自身的语义学概念。这种语言可称为“语义上封闭”的语言。为了克服语义悖论，必须把“语义上封闭”的语言改造成“语义上开放”的语言。具体地说，就是把语言分成如下无限层次：第一层是对象语言L[,0]，其中没有“真”、“假”等语义概念；第二层是元语言L[,1]，它含有关于L[,0]的语义学概念，比如谓词“在L[,0]上真”、“在L[,0]上假”等；第三层是元元语言L[,2]，它含有关于L[,1]的语义学概念，如“在L[,1]上真”、“在L[,1]上假”等；在这种划分层次的开放性语言中，语义悖论可以排除。例如，说谎者语句“本语句是假的”可以改造成“本语句在语言L[,0]中是假的”，由于该语言处于语言L[,1]中，所以不可能在语言L[,0]中为真，因此悖论得到排除。以上所说的是消解语义悖论的第一个“无限”方案。
英国著名哲学家莱尔则提出，可以把说谎者语句“这语句假”拆成如下形式：“这语（这语……[这语……｛这语……等等｝]）是假”[8]。由于这里没有达成任何确定的陈述，所以是无语义的，原语句“这语句假”当然也是无语义的，悖论消除了。这种方案可称为无限嵌套语句方案，是从语句含义的分析得来的。
在塔尔斯基语言层次论受到日常语言学派质疑面临困难时，前苏联学者鲍契瓦尔于20世纪30年代末提出了三值逻辑方案，主张对说谎者语句“本语句是假的”赋以真、假二值之外的第三值（名曰“悖谬的”或“不确的”），并建立了一个与卢卡西维茨三值系统有区别的新的三值逻辑系统。虽然运用鲍契瓦尔的三值逻辑语义学可以消解说谎者悖论及当时已知的其他语义悖论，但却没有办法阻止别的语义悖论的产生，人们重新构造出来的语句“本词句不是真的”、“本语句是假的或是悖谬的”等仍可导致新的悖论。这类新的悖论被称为“强化的说谎者悖论”。在探讨强化说谎者悖论的消解问题时，我国学者张铁声前年提出了另一种无限嵌套语句方案，对于强化说谎者语句“本语句不是真的”拆成如下形式：（（（……不是真的）不是真的）不是真的）。[9]然后对上述形式句子进行语义分析：若从整个嵌套来考察，可看到它是不完整的语句，无真假可言，即其真值为非真非假；若已知前一部分嵌套的真值，则可断定其整个嵌套语句的真值。他由此推知，强化说谎者语句“本语句不是真的”是一种多义句，不构成悖论，从而可以认为悖论已获得消解。
对于强化说谎者悖论，有人提出四值逻辑方案，但仍没有彻底解决问题，人们又构造了再强化说谎悖论，如此等等。为了彻底消解各种层次的强化说谎者悖论，印度学者布海威在20世纪90年代初提出了无限多值逻辑方案。他用概率度定义“X-可能真”，然后把“X-可能真”、“Y-可能真”、“Z-可能真”等赋给说谎者语句和各种层次的强化说谎者语句，说谎者悖论完全消解了。我国学者熊明辉前些年提出类似的方案，并作出较深入的分析说明。
以上所列举的“无限”方案，表明人们对于无限有了比较清楚的认识，并且能够联系实际加以应用，即给无限以某种现实原型。
2.可以用现代无限观看待“无限”方案的作用。
对于无限多值逻辑方案能否彻底消解说谎者悖论（指消解说谎者悖论并消解各种层次的强化说谎者悖论），逻辑学界曾有不同的看法。例如，有的学者认为，强化说谎者悖论是对三值逻辑方案的反驳，再强化说谎者悖论是对四值逻辑方案的反驳，任何多值逻辑方案都会受到相应层次的强化说谎者悖论的反驳，因此，任何多值逻辑方案甚至无限多值逻辑方案都无法彻底消解说谎者悖论。
如何正确看待无限多值逻辑方案的作用呢？本人认为，应该使用现代无限观加以分析。就强化的说谎者悖论来说，它的强度可以不断增强，以至形成如下无限系列：
强化说谎者悖论，再强化说谎者悖论，再再强化说谎者悖论，……，再再强化说谎者悖论，……
如果从潜无限的角度看，它是一个永远处于生成状态的过程，一个不断构造的过程；而如果从实无限的角度看，它是可以构造完成的，是一个可以认识的整体。对强化说谎者悖论无限系列的不同看法，必然导致对无限多值逻辑方案作用的不同评价。从潜无限的角度看，说谎者悖论可以无限制地强化下去，对它的消解永元止境，无法最后完成。正如加拿大学者赫茨贝格所说的，“几乎在任何一种多值逻辑或者甚至‘无穷多值’语言中，采用对角线方法，都可以产生类似一些著名语义悖论的悖论。”“不是药到病除，而是药比病更坏。”[10](P305)从实无限的角度看，尽管说谎者悖论可以无限制地强化下去，但消解它的能力也可以无限制地增强下去，并最终把它彻底消除。正如我国学者熊明辉所指出的，无限多值逻辑系统中的“无穷多的值，等待着强化说谎者悖论的任何强化，使任何所谓的‘强化的说谎者悖论’的矛盾消失在更多的一值之中，强化说谎者悖论消解了！说谎者悖论消解了！”[11]
由于潜无限和实无限是从不同视野和角度对无限本质所作的揭示和概括，所以基于潜无限和实无限对无限多值逻辑方案作用的判断都是有道理的，不能肯定其中一个而否定另一个。
四、结语
在人类思维和科学发展史上，悖论是一个非常古老而又常新的问题。人们对它的研究曾经出现过三次高潮，它们分别出现在古希腊、中世纪和20世纪初以来。悖论研究的范围也在不断地扩大，早期主要在哲学、数学和逻辑学领域，现代已发展到自然科学和社会科学的许多领域。涉及无限的悖论在古代、近代和现代都大量出现过，人们通过对这类悖论的研究，有效地提高了对抽象无限对象和现实无限世界的认识。
从人类研究涉及无限之悖论的情况看，悖论与人类对无限的认识之间存在着辩证的关系：许多悖论的出现与当时人们对无限的认识不足密切相关；涉及无限之悖论的提出和研究，不断地提升人类认识无限的水平；人类对无限认识的深化，既促使语形悖论和经验科学悖论的消解，也加快语义悖论的消解。仅就数学发展史上出现过的三次“数学危机”来看，都与涉及无限的悖论有关。第一次是由于无理数（无限不循环小数）的发现与当时流行的“只有通约量”的信念冲突，形成了“毕达哥拉斯悖论”；第二次是牛顿和莱布尼茨在创立微积分理论时，由于没有认清无限小量的本质而形成贝克莱悖论；第三次是康托尔创立无限集合论时，由于没有认清潜无限与实无限的辩证关系而形成集合论悖论。在数学界、哲学界和逻辑学界的共同努力下，这些数学悖论得到了消除，人们对无限的认识也得到了提高。
当然，悖论还会不断出现，对无限的认识也还没有穷尽，我们应该通过对历史的回顾和总结，来提高对各种悖论包括涉及无穷之悖论的认识。悖论和佯谬是科学问题的重要来源，是引导人们向未知领域包括无限领域探索的向导，具有重要的方法论意义。科学工作者应该自觉地应用悖论方法，通过不断地发现和提出新的悖论，即通过发现和揭露原有理论体系中的逻辑矛盾以及原理、概念的缺陷，来促进科学的发展，来加深对无限世界的理解。
收稿日期：2001-04-10