数学习题的多样化设计与学生数学素养的提高，本文主要内容关键词为：数学论文,素养论文,习题论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）指出，“数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”.[1]为此，《课标》设计了涵盖“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”的总体目标，并将传统的“双基”发展成了“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.在相应的“课标解读”中指出，“基本思想和基本活动经验……是数学素养的重要标志”；强调“问题解决是为了更加重视学生问题意识的培养，以及解决问题综合能力的培养，强调学生在具体的情境中发现问题、提出问题，提高分析问题和解决问题的能力.发现问题和提出问题时学生数学问题意识的具体体现……是培养创新意识所需要的”.[2]那么，如何在教学中体现这些思想和要求呢？
众所周知，我国数学课堂中，解题教学占据主导地位.因此，通过习题的科学设计，使教师在解题教学中能扎实进行“四基”教学，体现“问题解决”的思想，在促进学生理解和巩固数学知识技能的同时，提高他们的数学思考能力，并逐渐领悟基本思想，积累基本活动经验，对于提高学生的数学素养，实现数学课程的整体目标是至关重要的.
我国数学教学中有习题编选的优良传统，如训练目的明确、重视双基、层次分明，但也存在一些问题：目标单一，主要为知识的巩固和强化；类型单一，多数是“结构良好型”；解法单一，只要根据已知条件求出确定的解；等等.如何改进习题的设计方式，使之适应数学教育发展的新要求，这是一个具有重要现实意义的课题.本文以一个小型实验为基础，对这一课题作初步探讨.
一、实验：一个案例
教科书在“一元一次方程”章中安排了一个计算移动通信电话话费的例题（如右图）.这个例题反映了生活实际与一元一次方程的关系：了解实际背景和理解问题本身是列方程的基础，反之，通过解方程可以解决现实问题.教学实践和理论研究都对这个例题给予较好的评价.作为延伸，我们设计了一道实践性习题：
调查生活中移动电话计费方式，并针对你家人手机的使用情况，为他们选择省钱的计费方式.
本题试图让学生通过调查获取数据，用所学数学知识分析各种计费方式，在此基础上帮助家人做出选择.现实生活中，移动电话的计费方式较多，完成上述任务的过程中，选择数学模型、提出新的问题等都是有可能的.因此，这个习题具有实践性、开放性.作为家庭作业，我们给学生10天时间.
完成作业的第一步需要明确操作步骤，即调查什么、计算、分析什么等.但与学生交流时发现，大多数学生缺乏自主设计解决问题流程的经验，因此面对这类题目，不知道如何入手，该做些什么.为此？我们做了改进，明确了操作步骤：
第1步，调查生活中的移动电话收费方式（包括不同公司的，如移动、联通的各种套餐）；
第2步，调查家人手机使用情况（如：主叫时数、接听时数、本地通话、长途、漫游、短信、上网流量等，可以去营业厅打印出最近三个月的详单，算出平均每月的用量）；
第3步，根据手机实际使用情况，通过计算、比较（最少计算出使用三种不同套餐应付费用），选出最优方案.
10天后，收到50份学生作业.分析后我们得到如下结果.
（一）学生的做法类型
1.模仿教科书例题，指定两种计费方式，然后计算选择（如表1）
学生A调查了“动感地带家庭计划”资费后，效仿教科书编制了一个题目，然后对这个题目进行解答.这种做法的作业有8份.
2.单项调查，无选择性地分析（如表2）
学生B调查了家庭10，11月份的账单，通过分析、计算，验证了妈妈对套餐的选择是明智的.但缺少的是对资费套餐全面调查基础上的自主选择环节.这种做法的作业1份.
3.全面调查，在对家人使用情况分析计算的基础上进行最佳方案的选择
这种做法的作业41份.包含三个方面：较为全面地调查收费方式、分析家人月话费单、计算比较之后选择最佳方案.虽然从步骤上看，大多数学生实施得较为完整，但是呈现的小论文或报告却差强人意，41份作业中令人惊喜的只有4份（如表3）.
学生C的小论文共18页，分为三部分：“计费方式调查”13页，罗列了不同品牌不同套餐；“家人手机使用情况”1页，用表格罗列了三个月来家人使用电话的情况；“家人手机付费比较研究”4页，分别对家人使用的三种套餐计算三个月的平均使用量，然后再针对“亲情”捆绑套餐进行比较，最后给出最佳选择方案.全文步骤完整，有调查（包括对计费方式和家人月话费情况），有分析计算（父母和自己），有综合比较（从家庭整体支出），有结论（最佳方案）.可以说，这是一份比较精彩的小论文.
（二）“分析计算”中存在的问题
1.单线条的思考模式
由于这类题目需要调查分析，还需综合考虑各种因素，如套餐的着重点，附加项目产生的效果，月通话单据中接电话、拨出电话、短信等各自的比重等，所以解决方式不同于传统数学题目.解题过程中，既要综合考虑多种因素的作用，又要排除无用的信息，由繁到简.但大多数学生仍然局限于单线条的思考模式，无视现实（如自己调查到的话费计费方式），盲目将问题简单化，导致对最佳方案判断失误.
例如学生D（下页表4），虽然他做了全面调查，但分析计算时，仅比较了“警务通”和“基本资费”两种计费方式，致使调查失去意义，如妈妈每月大约通话380分钟，显然选用全球通88元套餐比“警务通”更省钱.
再如，多种影响方案选择的因素，如接听电话、拨出电话、短信的比重等，像学生C那样将这些因素都考虑进去的学生寥寥无几.
2.使用模糊的文字语言
学生分析时喜欢用文字语言，而不是数量计算.例如学生E调查之后说：“妈妈的通话比较多，但不是像做生意的人那么多，最合适的就是58元的套餐了，所以选择58元套餐.”如何才能称为“通话较多”？多到什么程度或少到什么程度就适合58元套餐了？再如学生F说：“我父母都用移动的68元商旅套餐，每月话费在110元左右，总要超出上限20～30元，所以我认为套餐并不比普通情况便宜.我认为40元短信套餐最实惠.”“认为”是如何来的？什么时候“套餐不比普通情况便宜”？这些都说明，大多数学生缺乏用精确、准确的数量分析解决实际问题的意识和习惯.
二、反思：提出问题
实验中发现，学生对此类题目表现出浓厚的兴趣，但完成有困难，教师也认为作业情况不理想.分析原因如下：一是学生缺乏解决实践型和开放型题目的经验，其中包括自主设计解决问题的流程、恰当选择和使用数学知识、语言等，都是学生欠缺的；二是学生缺乏发现问题、提出问题的意识和能力，整个实验中，没有学生提出新的研究问题，也没有学生向教师质疑任何问题；三是学生综合应用数学知识的能力较弱，因此他们面对此类题目时普遍感到无从下手.
前已指出，诸如发现问题、提出问题的能力、数学综合应用的能力等，正是课改追求的目标.然而多年的课改为什么没有使这方面的问题得到改观呢？笔者认为，虽然原因很复杂，但与我们平常让学生大量训练的数学习题类型有直接关系.学生接触的主要条件、结论和求解方式都是精确设定的“结构良好”问题，而很少接触开放性的“结构不良问题”，只给情境的概括描述，需要学生自己发现和提出问题、设计解决方案的题目就更少了.由此导致的结果是，学生的思维集中有余、发散不足.因此，在教材和教学中，必须革新习题设计的方式，实现习题设计的多样化，使之兼顾巩固知识、训练技能、领悟基本思想和积累活动经验等培养数学素养的整体需要.
下面，我们从分析国外数学教材与其他学科教材中的习题设计入手，提出具体的习题多样化方案.
三、借鉴：国外数学教材与其他学科教材的习题设计
国外中学数学教材会从同学科、同内容但不同习题设计理念的角度带给我们启发，而其他学科的教材则会从不同学科特质的角度带给我们习题设计的灵感.
案例1 解释
“Track One Media”中每张CD的售价都是12美元.如果购买n张CD需要花费c美元，那么以下哪个方程表示了它们之间的关系？
（A）12+c=n
（B）n+12=c
（C）12c=n
（D）c=12n
练习：假设“Track One Media”中的经理采用的是方程c=10.99n，这说明了什么？
这道练习题是例题的延伸，两者相结合，注重数学模型和实际意义的相互解释.
案例2 应用
解决实际问题：对于以下情境，哪一种数集最合理？
a.参加班级旅行的学生人数；
b.教室门的高度.
这是一道非常有意思的习题，在实际情境中理解数集，即通过识别不同类型数的实际意义，明确不同类型数的特点，如整数的离散性和实数的连续性.
案例3 联系
a.观察下面的模式.列表表示第n个图形和六边形h的关系.
b.猜想：第4个图形由多少个六边形组成.
c.你所列的表格表示一个函数吗？请说明理由.
在同一个题目中，数列、函数包含其中；在解答过程中，合情推理、演绎推理、综合运用.因此，有联系地、综合地理解知识是本习题的设计意图.
案例1、2的共同点是关注数学意义和实际意义间的相互转换.对于数学知识的理解，特别是概念，我国数学教材习题更多的是形式上的辨析，而对知识的多重意义、运用知识预测和验证等方面关注较少.案例3这种随学随联系的题目在我国数学教材习题中也较少.因此，从习题立意来说，我们应该更加多元化，不仅要完善知识理解的层次，而且还要注重从思维培养的角度设计习题.
案例4 概念图的设计
用下面的概念完成概念图：色素、卡尔文循环、叶绿素、叶绿体、异养生物、光反应、食物、ATP、ADP、光、水、二氧化碳.
这是生物教材中的一道“概念图设计题”，让学生运用题目中给出的核心概念设计概念图，以帮助学生了解概念间的关系.
案例5 综合素质
政府官员常常根据人民的健康、福利、环境和经济前景来研究使用燃料及其替代物的利与弊.假如你是一个发展中国家的领导者，你必须在以下的燃料中选择一种能源满足国家的需求：碳氢燃料、水或者核能.写一篇小论文，以上面所提的四个视角分析每种能源.你会选择哪种能源？为什么？
这是化学教材中的一道习题.由于学生可以就自身的知识对此问题畅所欲言，所以有利于培养学生的发散思维和创新能力；由于需要查阅资料，所以有利于培养学生获取信息和解决实际问题的能力.这类习题能够较好地培养学生的综合素质.
如何实现习题的多种意图？途径之一就是丰富习题的形式.案例4、5展示了两种很好的习题形式.而这些形式同样可以运用于数学习题的设计，例如“实数”章中可设计题目1，让学生明晰数的发展脉络，将数的知识结构化.
题目1：用下面的概念完成概念图：自然数、负整数、整数、分数、有理数、无理数、实数.
设计数学习题时，我们可以根据数学学科的特点，从立意和形式两个角度多样化.
四、分析：数学习题如何多样化
（一）习题立意多元化
1.多层次的概念理解
以往数学习题对于概念的理解主要体现在“辨析”上，包括正例和反例.除此之外，还有什么？通常，概念理解的环节有：陈述定义；用自己的语言解释；举例说明；辨析；用在何处（如哪个定理中），如何用；与之相联系的概念，差异何在.由此可见，除了辨析，运用和结构化应该是习题设计需要加强的方面.
运用概念时，需特别注意概念的多重意义.比如，案例2中的“数”，它的数学特征与实际意义；再如，对统计量，计算方法只是一个方面，还要理解其统计意义，像题目“计算以下数据（如一组工资数据）的平均数、中位数和众数.谁能更好地描述这组数据的集中趋势？”中的第2问，就可以起到这样的作用.
概念结构化，就是要让学生自己构建概念网络.此时，“设计概念图”型的习题就能发挥比较好的作用.编制习题时，需要根据学生学习的概念数量，从线到面再到体地设计概念图.比如由题目1设计的概念图是线性的，学习一元二次不等式后，就可以设计平面网络型的概念图（如图1），从而将散落在不同年级的、与二次关系有关的概念结构化.
2.全方位的思维空间
数学教育的基本目标之一就是提高学生的数学思维能力.逻辑思维能力的培养是我们的强项，其他思维能力的培养，如发散思维和批判思维，相对较弱.有一个例子：当教师讲到二加二等于四时，美国学生甲说“我不相信它”，乙请教师证明它，丙问为什么二加二不等于五，而中国学生则是记住了“二加二等于四”这一公式.而在众多数学发现中，质疑是第一步.要提升学生的创造力，就要完善思维能力的培养.
因此，在培养数学思维能力方面，“全面化”是习题设计的关键，即数学习题必须为学生提供全方位的思维空间，让学生在“做”的过程中全面地发展数学思维能力.例如：如果要培养发散思维，就需要开放性的习题；如果要培养学生的批判思维，就需要蕴含质疑和不同观点的习题；如果要培养学生的反思能力，就需要“回头看”的习题；等等.
3.多角度的联系性
数学具有多重联系性：学科内部的，如几何与代数；学科间的，如数学与物理；社会生活的，如概率与天气预报；等等.目前，数学习题体现联系性的方式多为“应用题”，特别是后两种联系.由于这两种联系多涉及高等数学知识，可选素材范围较窄，所以应用题的方式局限性较大.事实上，通过阅读与写作等方式也可以让学生深刻体会学科间的联系.例如，发现虚数之初，数学家们并不认为虚数有什么用，卡尔达诺曾说：“这不过是在玩技巧，尽管可以使数学变得更加严谨，却没有什么实用价值.”但是进入20世纪后，量子力学却必须使用虚数.所以，如果我们将这样一些素材设计成题目，那么学生就能从中感受到数学的前瞻性和重要性，甚至看到数学研究的一些元素：质疑、寻找证据、直观与抽象、类比与推广等.
（二）习题形式多样化
1.开放题
事实上，开放题已经选入数学习题.这种类型的习题改变了问题情境、知识要素、思维过程等比较单一和封闭的模式，创设了多样化的、非线性的情境，能使学生形成由不同思维要素组成的、开放性的、非线性的思维系统，对于培养学生的创新思维能力很有帮助.例如：实验中涉及实际调查的题目，过程与结论都是开放的；同样的，类似于“画一个三角形，给定六个要素中的三个，用余弦定理计算出其他三个要素”的题目也是开放题.如今需加强的是，开放题应该常态化，应该成为数学习题中相对固定的元素，从小题目到大题目，从短作业到长作业等.
2.研究题
研究题，就是要或多或少地包含一些数学研究的元素.它们能够创造一定的情境，使学生像数学家一样地思考.因此，设计此类题目的关键不只是计算、证明或建立数学模型，而在于通过解决问题让学生逐步感受和学会数学式地思考.例如，如何入手，如何推理论证，如何上升到更高的水平发现和提出新问题，等等.
3.阅读题与写作题
阅读题与写作题可以涵盖很多主题，如情境性、实践性、综合性和情感性等.而且，不同层次学生解决问题的方式和文字陈述的形式会各不相同，有利于体现学生的差异.
数学阅读与写作在数学学习和研究中很重要，因为我们需要不断地通过阅读来学习、获得灵感、了解发展动态，并且需要运用数学语言简明清晰地表达和交流自己的数学想法.设计这类习题时需要注意：让学生数学阅读时，不仅要从中获得数学知识，而且还要逐渐掌握数学阅读的方法；要求学生写作时，重点在于使用数学语言（包括图表、符号等）表达对数学知识的理解和应用.
虽然我们对题目形式进行了划分，但它们并不是毫无交集的.有些题目虽然采用阅读题的形式，但“研究”味浓厚，并且弹性很大，不同层次的学生延展的广度与深度的差别就会很大.因此，在数学习题设计时，需要根据知识特点和训练目的选用某种习题形式，也可以几种习题形式相结合，从而通过完善的习题训练系统，全面提高学生的数学素养.