数学与文化（续）——在北大数学文化节上的报告，本文主要内容关键词为：数学论文,文化节论文,北大论文,报告论文,文化论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
8 微积分
微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。解析几何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学作了总结，使代数和几何融为一体，并引出变量的概念。变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础。恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”。
推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的思想，产生像牛顿、莱布尼兹、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法，指出方向的领袖。但也必须等待创立一个必不可少的工具—微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的。在17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这一领域是最丰富的，微积分为创立许多新的学科提供了源泉。
微积分是人类智力的伟大结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里。”有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子走到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了。
1642年1月8日，伽利略在宗教的迫害下，默默辞世。同年12月25日，一个孱弱的没有了父亲的早产儿诞生了，他就是牛顿。牛顿接过伽利略的事业继续前进。当初伽利略用数学化的语言描述自然界时，总是将运动限制在地球表面或附近。他的同时代人开卜勒得到了关于天体运动的三个数学定律。但是，科学的这两个分支似乎是独立的。找出它们之间的联系是对当时最伟大的科学家的挑战。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体的作用。这就是说，伽利略和牛顿建立的这些定律描述了从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包含的范围内。这是人类认识史上的一次空前飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。
在伽利略规划的指导下，借助微积分的工具在寻求自然规律方面所取得的成功远远超出了天文学的领域。人们把声音当作空气分子的运动而进行研究，获得了著名的数学定律。胡克研究了物体的振动。波意耳、马略特、伽利略、托里拆利和帕斯卡测出了液体、气体的压力和密度。范·海尔蒙特利用天平测量物质，迈出了近代化学中重要的一步。黑尔斯开始用定量的方法研究生理学。哈维利用定量的方法证明了流出心脏的血液在回到心脏前将在全身周流。定量研究也推广到了植物学。所有这些仅仅是一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动的开端。
到18世纪中叶，伽利略和牛顿研究自然的定量方法的无限优越性，已经完全确立了。著名哲学家康德说，自然科学的发展取决于其方法与内容和数学结合的程度，数学成为打开知识大门的金钥匙，成为科学的皇后。
1）理性精神是获取真理的最高源泉；
2）数学推理是一切思维中最纯粹、最深刻、最有效的手段；
3）每一个领域都应该探求相应的自然和数学规律。特别是哲学、宗教、政治经济、伦理和美学中的概念和结论都要重新定义，否则它们将与那个领域里的规律不相符合。
9 数学与绘画
在整个绘画史上，绘画的体系大致分为两大类：观念体系与光学体系。观念体系就是按照某种观念或原则去画画。例如，埃及的绘画和浮雕作品大都遵从观念体系。人物的大小不是依照写实的原则，而是依据人物的政治地位或宗教地位来决定。法老经常是最重要的人物，他的尺寸最大，他的妻子比他小一些，仆人就小得可怜了。
光学透视体系则试图将图形本身在眼睛中的映像表达出来。它是从西方绘画艺术中发展起来的。早在希腊和罗马时期，光学体系已经有了发展。但是到了中世纪，基督教神秘主义的影响使艺术家们回到了观念体系。画家们所画的背景和主题倾向于表现宗教题材，目的在于引导宗教感情，而不是表现现实世界中的真人真事。从中世纪末到文艺复兴时期，绘画艺术发生了质的变化。其典型特征是，艺术家朝写实方向前进。在13世纪末，数学也进入了艺术领域。
到了13世纪的时候，通过翻译阿拉伯和希腊的著作，使亚里士多德的著作广泛为人们所知晓。西方的画家们开始意识到，中世纪的绘画是脱离现实和脱离生活的，这种倾向应当纠正。实际上，从中世纪转向文艺复兴，首先是人性的觉醒。在中世纪，艺术只是为了“训导人”成为一个好的信徒。到了文艺复兴时期，艺术则更多的是为了“丰富人”和“愉悦人”。
在中世纪严格的思想控制下，希腊、罗马艺术中美丽的维纳斯竞被看作是“异教的女妖”，而遭到毁弃。到了文艺复兴时期，向往古典文化的意大利人却觉得这个从海里升起来的女神是新时代的信使，她把美带到了人间。
文艺复兴时期的绘画与中世纪绘画的本质区别在于引入了第三维，也就是在绘画中处理了空间、距离、体积、质量和视觉印象。三维空间的画面只有通过光学透视体系的表达方法才能得到。这方面的成就是在14世纪初由杜乔（Duccio，1255—1319）和乔多（Giotto，1276—1336）取得的。在他们的作品中出现了几种方法，而这些方法成为一种数学体系发展过程中的一个重要阶段。
杜乔的作品中明显地出现了三维的表现方式。画面上的景物有一定的质量和体积，而且彼此相关，构成了一个整体，平面被缩小了，光线和阴影也用来暗示体积。“最后的晚餐”是杜乔的名作，在这幅画中，后景墙和后景天花板缩短了，以衬托出景深。房间的各个部分都安排得很恰当。在处理天花板的一些细节上，他花了很大工夫。中部的线条都集中在一个区域，这个区域称为没影区。其次，从天花板两端中每一部分引出的线都关于中心对称。这两束线相交于垂直线上的一点。这种方法叫作垂直投影法或轴向投影法，已被广泛地用于刻画景深。
技巧和观念上的进步则应归功于洛伦采蒂（AmbrogioLorenzetti，1323—1348）。他所选取的题材具有现实性。他的线条充满生机，画面健康活泼，富有人情味。在“圣母领报图”中，景物所占据的地面给人以明确的现实感，而且与后墙明显地分开了。地面既作为对物体大小的度量，又暗示出空间向后延伸，直到后墙，其次，从观察者角度看，楼板线条都向后收缩并交于一点。最后，房屋伸向远处时逐渐缩小了，以致最后消失在背景中。
在洛伦采蒂身上，我们看到了文艺复兴时期的艺术家在引入光学透视体系前所得到的最高水平。这个时期还是探索阶段，得到许多具体结果，但不系统，还没有成为绘画科学。
到15世纪，西方画家们终于认识到，必须从科学上对光学透视体系进行研究。绘画科学是由布鲁内莱斯基（Brunelleschi）创立的，他建立了一个透视体系。 第一个将透视画法系统化的是阿尔贝蒂（Albertileon Battista，1404—1472）。他的《绘画》一书于1435年出版。 在这本论著中他指出，做一个合格的画家首先要精通几何学。他认为，借助数学的帮助，自然界将变得更加迷人。
下一个重要的透视学家碰巧也是15世纪最重要的数学家之一，他是弗朗西斯卡（Piero della Francesca）。在《绘画透视论》一书中， 他极大地丰富了阿尔贝蒂的学说。在他后半生的20年内写了三篇论文，试图证明，利用透视学和立体几何原理，从数学中可以推出可见的现实世界。
对透视学作出最大贡献的是艺术家列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci，1452—1519.5.2）。 他是意大利文艺复兴时期著名的画家、雕塑家、建筑家和工程师。他认为视觉是人类最高级的感觉器官，它直接而准确地表达了感觉经验。他指出，人观察到的每一种自然现象都是知识的对象。他用艺术家的眼光去观察和接近自然，用科学家孜孜不倦的精神去探索和研究自然。他深邃的哲理和严密的逻辑使他在艺术和科学上都达到了顶峰。
毫无疑问，达·芬奇是15至16世纪的一位艺术大师和科学巨匠。文艺复兴时期的传记作家瓦萨里曾这样赞美他：“上天有时候将美丽、优雅、才能赋予一人之身，他之所为无不超群绝寰，显示出他的天才来自上苍而非人间之力，达·芬奇正是如此。他的优雅与伟美无与伦比，他才智之高超使一切难题无不迎刃而解。”他通过广泛而深入地研究解剖学、透视学、几何学、物理学和化学，为从事绘画作好了充分的准备。他对待透视学的态度可以在他的艺术哲学中看出来。他用一句话概括了他的《艺术专论》的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家”。
达·芬奇坚持认为，绘画的目的是再现自然界，而绘画的价值就在于精确地再现。因此，绘画是一门科学，和其它科学一样，其基础是数学。他指出，“任何人类的探究活动也不能成为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明为自己开辟道路”。
达·芬奇创作了许多精美的透视学作品。这位真正富有科学思想和绝伦技术的天才，对每幅作品他都进行过大量的精密研究。他最优秀的杰作都是透视学的最好典范。“最后的晚餐”描绘出了真情实感，一眼看去，与真实生活一样。观众似乎觉得达·芬奇就在画中的房子里。墙、楼板和天花板上后退的光线不仅清晰地衬托出了景深，而且经仔细选择的光线集中在基督头上，从而使人们将注意力集中于基督。12个门徒分成3组，每组4人，对称地分布在基督的两边。基督本人被画成一个等边三角形，这样的描绘目的在于，表达基督的情感和思考，并且身体处于一种平衡状态。附图中给出了原画及它的数学结构图。
10 从艺术中诞生的科学
数学对绘画艺术作出了贡献，绘画艺术也给了数学以丰厚的回报。画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思想，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何。
在透视学的研究中产生的第一个思想是，人用手摸到的世界和用眼睛看到的世界并不是一回事。因而，相应地应该有两种几何，一种是触觉几何，一种是视觉几何。欧氏几何是触觉几何，它与我们的触觉一致，但与我们的视觉并不总一致。例如，欧几里得的平行线只有用手摸才存在，用眼睛看它并不存在。这样，欧氏几何就为视觉几何留下了广阔的研究领域。
现在讨论在透视学的研究中提出的第二个重要思想。画家们搞出来的聚焦透视体系，其基本思想是投影和截面取景原理。人眼被看作一个点，由此出发来观察景物。从景物上的每一点出发通过人眼的光线形成一个投影锥。根据这一体系，画面本身必须含有投射锥的一个截景。从数学上看，这截景就是一张平面与投影锥相截的一部分截面。
17世纪的数学家们开始寻找这些问题的答案。他们把所得到的方法和结果都看成欧氏几何的一部分。诚然，这些方法和结果大大丰富了欧几里得几何的内容，但其本身却是几何学的一个新的分支，到了19世纪，人们把几何学的这一分支叫作射影几何学。
射影几何集中表现了投影和截影的思想，论述了同一物体的相同射影或不同射影的截景所形成的几何图形的共同性质。这门“诞生于艺术的科学”，今天成了最美的数学分支之一。
11 新几何 新世界
众所周知，欧几里得几何以五条公设为基础，它们是
（1）连接任何两点可以作一直线段。
（2）一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线。
（3）以任意点为中心，通过任意给定的另一点可以作一圆。
（4）凡直角都相等。
（5）如果在同一平面内，任一直线与另两直线相交， 同一侧的两内角之和小于两直角，则这两直线无限延长必在这一侧相交。
（6 ）等价于“过一直线外的已知点只能作一条直线平行于已知直线”。
这些公设的真理性不证自明，没有一位“神智健全”的人胆敢对此表示怀疑，从如此坚实的基础出发，经过完美、严密的逻辑推理，产生出更多的定理，并为大家所接受。笛卡儿、牛顿的成功使这些定理的地位愈加巩固，在两千多年的应用中达到了光辉的顶点。人们毫不迟疑地得到这样的结论：欧氏几何是真理；真理就是欧氏几何。
但是，从欧氏几何诞生起就有少数人对它忐忑不安，其中包括欧几里得本人。他们主要怀疑的是第五公设。因为只有第五公设涉及到无限，这是人们经验之外的东西。第五公设的研究在19世纪导致对数学发展极其重要的一些结果。19世纪上半叶，数学史上有两个很重要的转折，一个是1829年左右发现的双曲几何，一个是1843年发现的非交换代数。非欧几何的发现是人类思想史上的一个重大事件。著名数学家凯塞说。欧几里得的第五公设，“也许是科学史上最重要的一句话”。
非欧几何的发现过程，可以在有关的数学史的著作中查到，“数学的思想、方法和应用”一书中也有详细介绍，这里不再论述。
由于平行公设的不同而带来了欧氏几何与非欧几何的一些本质不同。都有哪些不同呢，我们稍作介绍。
例如，在罗巴切夫斯基的几何中三角形的内角和总小于180°， 半径无限大的圆周的极限不是直线，而是一种曲线，叫作极限圆。通过不在一条非欧直线上的三点，并不总能作一个非欧圆，而能做的或者是非欧圆，或者是极限圆，或者是等距线（即与一条非欧直线等距离的点组成的线）。不存在面积任意大的非欧三角形。两个非欧三角形相似就全同。毕达哥拉斯定理不成立，等等。
在黎曼的几何中，三角形的内角和总大于180°。两个三角形， 面积较大者具有较大的内角和，一条直线的所有垂线相交于一点，两条直线围成一个封闭区域。
黎曼几何具有真实的意义吗？在这里答案是肯定的。如果将公理中的直线解释为球面上的大圆，黎曼几何的公理恰恰适用于球面上。球面上没有平行线，因为任何两个大圆都相交。事实上，它们不是相交一次，而是相交两次。另一个定理也容易推导出来：一条直线的所有垂线相交于一点。
我们指出，黎曼几何的每一条定理都能在球面上得到令人满意的解释和意义。换言之，自然界的几何或实用的几何，在一般经验意义上来说，就是黎曼几何。几千年来，这种几何一直就在我们的脚下。但是，连最伟大的数学家也没有想过通过检验球的几何性质来攻击平行线公理。我们生活在非欧平面上，却把它当成一个怪物，真是咄咄怪事！
非欧几何诞生的重要性与哥白尼的日心说，牛顿的引力定律，达尔文的进化论一样，对科学、哲学、宗教都产生了革命性的影响。遗憾的是，在一般思想史中没有受到应有的重视。它的重要影响是什么呢？
1）非欧几何的创立使人们开始认识到， 数学空间与物理空间之间有着本质的区别。 但最初人们认为这两者是相同的。 这种区别对理解1880年以来的数学和科学的发展至关重要。
2）非欧几何的创立扫荡了整个真理王国。在古代社会， 像宗教一样，数学在西方思想中居于神圣不可侵犯的地位。数学殿堂中汇集了所有真理，欧几里得是殿堂中最高的神父。但是通过鲍耶、罗巴切夫斯基、黎曼等人的工作，这种信仰彻底被摧毁了。非欧几何诞生之前，每个时代都坚信存在着绝对真理，数学就是一个典范。现在希望破灭了！欧氏几何统治的终结就是所有绝对真理的终结。
3）真理性的丧失，解决了关于数学自身本质这一古老问题。 数学是像高山、大海一样独立于人而存在，还是完全人的创造物呢？答案是，数学确实是人的思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西。
4）非欧几何的创立使数学丧失了真理性， 但却使数学获得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理体系，只要这种研究具有一定的意义。
非欧几何在思想史上具有无可比拟的重要性。它使逻辑思维发展到了顶峰。为数学提供了一个不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理性的智慧拚弃感觉经验的范例。
最后，需要指出，数学与人类文明的联系是多方面、多层次的。我们的报告只涉及其中的一部分。数学与哲学、文学、建筑、音乐也都有深刻的联系，这里不再叙述。计算机诞生后，数学与其它文化的联系更加深入和广泛。可以毫无愧言地说，信息时代就是数学时代，联合国科教文组织在1992年发表了《里约热内卢宣言》，将2000年定为数学年，并指出，“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙”。同学们，不管你们将来从事自然科学还是社会科学，请记住这句话。并用你们的胆力，智慧和勤奋把人类文明推向新的高峰。