论几何学空间下形数之矛盾运动——兼论计算机图学的发展，本文主要内容关键词为：几何学论文,矛盾论文,计算机论文,图学论文,空间论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一 概述
形与数是矛盾的两个方面，双方均以其矛盾的对方为自己存在的前提条件，共处于一统一体中，既相互对立，又相互依存。迄今为止，有关形与数的讨论已有许多。新的理论，旧的观点；成形的结论，不成形的说法皆有。本文拟就这个问题，谈谈对于形数矛盾运动规律的看法。
唯物辩证法认为：时间和空间是运动着的物质的存在形式。空间是物质的伸张性或广延性。时间是物质的持续性或顺序性、广延性和顺序性分别是物质的空间属性和时间属性。古人云：“四方上下曰宇，往古来今曰宙。”就是一种朴素、狭义的时空观。而今天，人们通过改造自然的实践活动，对时间和空间又有了新的认识。“空间”这个概念无论从内涵还是外延上都发生了变化。哲学上的空间是三维空间加时间所形成的四维空间。而逻辑空间则把空间看成一种关系，一种个体构成整体的关系。客观世界中，各个个体都有自己的世界、法则，有自己的空间。只是这些空间总是相互联系着的，它们不断地协调，共同构成了整体的空间，这整体的空间表示了一种逻辑因果关系。因此，可把这整体的空间叫作逻辑空间。逻辑空间就是我们的欧几里得几何、黎曼几何和拓朴。它们可被看作是抽象几何学面做出来的空间。这里，我们权且就把它称作“几何学空间”。
几何学空间是运动着的物质所具有的空间特性的反映，它是个体协调的模式，亦即一系列事件的关系。个体空间是具象的，而几何学空间则是抽象的，是事物之间关系的一种抽象反映。这种抽象反映，我们根本无法直接体验，它是我们所接受的逻辑关系。拓朴空间中的亲近、分离和封闭诸要素较生动地描述了这一点。
显然，空间是有层次的，大到宇宙学层次，小到身体活动层次，此即宏观和微观之统一。空间广漠无垠，时间无限延续，但空间中仍有“空间中之空间”。由于人类迄今对于客观世界的认识仅为其有限的一部分，故我们所谈论的空间只是一种相对封闭的几何学空间。况且，空间也并不总是绝对一成不变的。在相对论的理论下，时间可以变短，空间也可以变小、弯曲，或从一个空间变换到另一个空间。或许，整个宇宙空间本来就是包曲封闭的，若从其中的一点走开去，仍将能回到原来的出发地。虽然宇宙空间很大，以至于我们不可能完全认识它，但对各局部空间的认识却是一定可以达到的。
二 形数结合的初级形式
人类在改造自然界的过程中，逐渐掌握了由感性认识升华到理性认识，进而抽象出物质的运动形式及其数量关系的方法。但是仅仅用数量关系来描述物质的运动形式仍嫌不足，还需建立与之相对应的空间形式，这种空间形式就构成了几何学研究的对象，它是现实世界中物质运动形式的另一种抽象。故，这里所说的形和数就是物质运动的空间形式及其数量关系。于是，在几何学空间下，需要进一步建立空间形式的具象的几何模型，这就必然牵涉到空间的维数问题。是曰：一个方向构成的空间为一维空间，二个互相垂直的方向构成的空间为二维空间，三个互相垂直的方向，亦即两个二维空间的组合，称为三维空间。
随着现代科学技术的发展，与几何学空间所对应的变数早已超出三个。实践需要将三维空间的几何模型拓广到n维空间。 这里的维数只能用变数与几何学空间的一种对应关系来解释，原来所定义的不同方向相互垂直的概念已不能满足要求。试问，能够在三维空间中再加上一根使之与确定三维空间的三根轴均互相垂直的轴吗？但科学终究是科学，多维空间的几何模型早已高高地耸立在几何学空间的“大厦”中，其形也已映射在几何学空间的“墙面”上。
描述物质运动的数是相当精确的，而同样也是描述物质运动的形却不那么精确。但它却在直观、形象两方面明显地优于数。形的表达和变换是几何学所要解决的问题。画法几何学、射影几何学可方便地将三维空间转换成二维空间，还可以从一个子空间变换到另一个子空间，从而达到图示、图解和确定不变量性质之目的。
从初等几何、初等代数到解析几何，我们学会了用代数的方法来研究几何问题。笛卡尔直角座标系开创了形数结合的研究领域，为由初等数学过渡到高等数学奠定了基础。随后，数学分析、微分几何、拓朴学、画法几何学、计算机图学等学科的相继建立，将形数结合的研究推向更高一级。
三 画法几何学——一种以形为主的形数结合方式
画法几何学是对空间形式的一种具象的研究。它给出了空间形式具体的几何模型，亦即给出了三个或低于三个变数函数关系的直观图样。它的有限空间被划分为若干个子空间，用以图示，图解平面及空间几何元素之间的关系或选择最佳方案。同时，还可利用空间几何元素之间的一些不变性质对子空间进行一系列变换以解决某些定位和度量问题。
多维画法几何给出了三个变数以上函数关系的直观图样，它利用多维空间的物体相对于直角座标系的定向法，采用升维想象，降维处理的手段，即在三维空间里用各种位置的矢量来模拟四维空间元素，并由此推广到多维空间，从而使所述空间物体的解析表达式与它们的图解表达能够相互结合起来。我们将线性形象——直线、平面和其它线性子空间用多维空间符号Π[n]来标记，并把维数为n-1的线性子空间定义为空间Π[n]的超平面。除此以外，Π[n]还包含非线性形象——曲线、二维曲面和三维曲面等，直到n-1维曲面。定义n-1维曲面为空间π[n] 的超曲面。
n维空间中的几何模型被定义为由n个互相垂直的座标轴组成，这个模型中的每一个座标轴均垂直于位于其余n-1 个座标轴确定的子空间的所有直线，如在四维空间直角座标系oxyzt中，轴ot 垂直于三维子空间xyz内的所有直线。
画法几何中的几何模型是一种以形为主，形数结合的表述。几何模型的建立依靠与其对应的数量关系，但几何模型一旦建立，其维数的转换及空间的变换则完全按照画法几何学本身的投影规律来进行。在上述过程中，形与数的联系隐含在转换与变换之中，即我们用图示方法解决的图解和定位问题，其形仍与一定的数量关系相对应。
四 计算机图学——一种全新的形数结合形式
现代基础理论的技术应用产生了计算机这种先进工具。它利用半导体元器件的两种不同的物理状态来间接模拟自然界的物质运动形式。而近代发展起来的计算机辅助设计（Computer Aided Design即CAD）和计算机辅助制造（Computer Aided Manufacturing即CAM ）促成了计算机和图学理论的结合，从而产生了计算机图学（Computer Graphics 即CG）这一专门学科。
计算机图学是一门运用计算机技术对图形进行数学处理并研究图学领域中各种理论和实践问题的学科。它不同于单纯用几何方法研究图形的各种几何学，也不同于用一般数学计算来研究各种图形的纯数学方法，而是用计算机便于处理的数学方法来研究各种图形及空间关系等，并把计算机处理的结果传送到自动绘图机以输出对应的图形。因此，计算机图学是数控技术和计算技术的综合应用，计算机图学把形和数很好地结合起来，作到了图学理论和绘图实践的完美的统一。这种形式下的形数结合，计算机是物质承担者，它部分地代替了人的脑力和体力，从而使形数结合变得更方便、更精确。
实践证明：任何一个图形都可以用数学方程表示、讨论或逼近、拟合；反之，数学问题也可以用图形来表述，这是形数结合的理论基础。根据这一理论，只要有了简单的图形，经过几何变换总可以形成复杂的图形。重复这一从简单到复杂的过程，就可以绘出更复杂的图形。但在生产实践中真正实现这一理论并不是一件容易的事，因为有些图形的数学表达式很复杂，用人工计算很困难。而有些图形或工程问题则很难用数学方式表达，这就直接影响了对复杂图形的研究与图示。恩格斯说：“社会一旦有技术上的需要就会比十所大学更能把科学推向前进。”人们在解决这一问题的过程中，分别从两个方面迅速取得了突破，即一方面寻求图形的计算机表述的理论，另一方面寻求输出图形的设备，尤其是获取图形硬拷贝的设备。
计算机的突出特点就是可以高速处理大量数据，利用这一特点，我们可以建立起某种能产生相应图形的数学模型。运用代数方法来研究几何问题，建立形与数的对应关系，从而把形与数统一起来的方法称为图形处理的数学方法（或称绘图数学）。图形处理时所用到的解析几何、矩阵、计算几何、图论等数学分支都是研究计算机绘图软件的基础。由此，便可在计算机内建立起图形的计算机表述。
上面所提到的“计算几何”是对图形几何外形信息的计算机表示、分析和综合。几何外形信息是指那些确定某些几何外形的信息。如平面曲线或空间曲面的型值点或特征多角形；船体数学放样中所用的样条曲线在各端点的n阶函数导数值就是样条曲线的信息。 按照这些信息作出数学模型，通过计算机进行计算求得足够多的信息就是所谓的计算机表示。然后再对它们进行分析和综合。这种性质的研究形成了计算几何，它是函数逼近论、微分几何、代数几何、计算数学、特别是数控等形成的边缘学科。
仅有图形的计算机表示还不能实现绘图自动化。众所周知，计算机输出的是离散、枯燥的数据，而不是我们所需要的直观、清晰的图形。要想将数据绘出图来，靠人工用曲线板去做，不仅占用大量人力与时间，成图质量也会因人因时而异。如果用计算机去光顺型线和作曲面拟合时，没有自动绘图设备是不行的。先进的高速高精度计算机和落后不精确的人工绘图的矛盾再次显现出来，配备现代化的绘图机成为实现这种全新的形数结合方式所必需解决的问题。正如恩格斯所指出的：“经济上的需要曾经是，而且愈来愈是自然界认识进展的主要动力。”
本世纪六十年代初，美国Gerber公司把研究出机械加工用的APT 计算机语言这一成果用于绘图工作，产生了世界上第一台计算机控制的自动绘图机。阴极射线管的发现，使计算机自动绘图发展到了一个新的阶段。由于屏幕是图形方式的，即显示屏上的每个象素都是可控的。这使得实时修改成为可能，从而实现了计算机的交互式绘图。与此同时，美国Calcomp公司制成了滚筒式自动绘图机， 研制了成套的绘图系统软件，从而建立了从输入到输出的一整套系统。为了使计算机能接受图形和图象资料，一种将图转变为数字形式的装置——图数转换器应运而生。至此，自动绘图已成现实。
我们在对计算机输入作为中间媒介的绘图程序后，计算机就会操纵绘图机自动绘出所需的图形。绘图笔在每一个瞬间的位置全由输入程序给出的座标值所确定，绘图笔的运动呈之字形，由X、Y方向运动的步长累加而成折线。由于步长值很小，所以这里就象数学分析中曲线、直线在微分三角形下统一起来一样，直线和曲线也近似地统一了起来。
计算机图学介于基础科学和应用科学之间并兼有理论研究和实际应用两个方面。因此，其发展紧密地和基础科学及应用技术相联系。自动绘图系统的发展已涉及到计算技术、数控技术、软件研究、自动控制、精密机械制造、精密测量及基础工业等各个领域。与此相关的最新研究成果都对计算机图学具有很大影响。这也说明了在客观世界中事物间均存在着普遍联系及相互作用。
五 CAD／CAM、CIMS及其发展
由于现代机械制造业处于竞争日益激烈的市场环境中，为了提高劳动生产率和加工质量，缩短产品的设计和制造周期，要求对传统的机械制造方法进行改造。为此，出现了机械与电子计算机相结合的新兴技术。CAD／CAM技术就是其中之一。利用CAD／CAM等技术对生产过程进行设计、规划、管理和控制，提高其自动化水平，对生产系统的现代化产生了巨大的推动作用。
CAD可定义为利用计算机进行设计的创新、模拟、分析和优化。CAD支持设计过程的各个阶段，即从方案设计入手使设计对象模型化；依据提供的设计技术参数进行总体设计；通过对结构和性能的分析，确定技术参数；在此基础上，完成产品设计。
CAD 软件应用于机械设计过程具有四种基本功能：一是几何造型功能。即建立对设计对象的数学描述，可显示于屏幕上，也可存储在数据库中。二是工程分析功能。即对设计的结构进行分析计算和优化，如有限元、边界元软件包。三是自动绘图。即从数据库中生成工程图样，包括自动标注尺寸、比例缩放、局部放大等。四是设计审查和评价。即对设计的正确性和精确度进行校核和评价，为进一步改进设计提供依据。
CAM 可定义为使用计算机通过与生产资源直接或间接的接口对制造厂的各个制造过程进行规划、管理和控制。电子计算机的出现并在商业上开始销售后不久，美国Parson公司与麻省理工学院合作研制出了第一台数控机床。其后随着计算机技术的飞速发展，数控机床不断更新换代，功能不断增强。CAM的核心部分是计算机辅助编程， 它是解决复杂零件加工问题的关键。 早期的计算机辅助编程系统以五十年代末诞生的APT语言为代表，它采用专用语句书写源程序，即用语句形式描述加工零件的几何形状以及进刀和走刀方法；用批处理方式运行，经APT 处理程序翻译和运算后，输出刀具中心轨迹；然后再经过后置处理，把通用的刀位数据格式转换成特定机床所要求的专用控制指令格式。
在总结APT语言优缺点的基础上， 人们又研制出了采用图像仪辅助编制数控加工程序的系统CADAM和由图纸直接编程的技术。 后一种方法特别适用于不易用数学定义的平面零件，它是采用一种自动曲线跟踪和编程设备ALTAPE，将零件图放在这种设备的工作台上，编程时用一个装有电视摄像机和光学元件的跟踪头对图纸上的曲线连续跟踪，通过计算机将所得信息瞬时数字化并计算出走刀轨迹。
CAD和CAM在计算机内部并不是孤立存在的，而是有机联系的一个整体，称为CAD／CAM系统。它产生的由计算机控制的自动化信息流，对从产品的最初构思、设计直至最终的制造、装配、检验及管理都进行控制。它是以信息技术为特征的，在第三次技术革命浪潮冲击下CAD和CAM发展的必然产物。
由此我们可以看出，CAD／CAM是形数结合的更高级形式，前述的CG只是这种系统的一个组成部分，主要用于产生、 修改和输出图形。 在CAD／CAM系统中，图形已被赋予了更广泛的含义，它已不仅仅是被表达物体的形状和位置，而是含有大量机械加工所必须的信息，就象前已述及的那样。同时，我们也可以看出，绘图机上绘图笔的运动和数控机床上刀具的运动本质上是一回事，它们的运动轨迹均是对经由计算机处理的数据的一种表述，只是前者是在二维空间中表述，后者是在三维空间中表述罢了。
1993年4月28日美国各大计算机、通讯、 软件公司的执行总裁云集硅谷，以早餐会形式为克林顿政府扩建国家信息基础设施出谋划策，勾划21世纪的信息技术发展蓝图。基本设想是建成数据高速公路，通过光纤、卫星、微波、程控、无线移动等多种手段将全美的政府、企业、教育机构以至各家各户的计算机系统联结起来，以每秒30亿位的速度传输文字、声音、图形和图像，使所有计算机用户都能像使用电话一样迅速、方便地传递和处理信息，最大限度地实现信息共享。这场信息技术的革命与CAD／CAM技术的关系非常密切，因为各种产品的询价、标书、合同、技术说明、使用手册、备件目录等都属于技术文档的范畴，企业内部需要传阅，企业之间，企业与用户之间更要频繁接触。因此，信息技术的发展使得CAD／CAM技术的应用已经从一个设计室、一个工厂的小范围迅速走向社会化和国际化，融入了现代化电子信息工程的无比广阔的天地中。多媒体以及超文本技术都是将数据、录音、录象、图形、图像、文字等不同形式的载体进行统一存储、管理和调用，使得计算机的应用环境更加方便，更加贴近人们的自然习惯。新的CAD／CAM软件的开发，需要一个适应集成、开放、标准化和并行工程的支持环境，遵循STEP ， SGML等国际标准，依托面向对象工程数据库和网络通讯、电子数据交换EDI技术， 使用超媒体界面等。 于是， CIMS（Computer IntegratedManufacturing System）即计算机集成制造系统应运而生。
CIMS的最终目标是建成一个具有高度集成、总体优化、充分柔性和最佳效益的计算机集成制造系统。CIMS的集成，首先体现在信息的集成上，要求企业内信息流畅通，数据共享，以此实现准确、高效的决策和计划管理，提高企业对市场需求的快速响应和应变能力。
CIMS总体体系结构包括：组织体系结构、功能体系结构、数据体系结构、网络体系结构。这是一项复杂的人机工程，包括了人的集成和各种自动化设备的集成。CAD／CAM仍是CIMS的重要组成部分，但它已被赋予了更广泛的内容。在CIMS内各种加工和管理信息，都是以数据流的形式在网络间传输，图形、图像当然也不例外，它们可以数据的形式存储在计算机内或磁盘、光盘等载体上。除了用于特别目的外，作为从设计到加工之间所需的图形的硬拷贝——图纸，现在已无多少实际意义。采用交互式绘图或参数化绘图，人们只需在屏幕上修改设计，然后由数控机床流水作业自动完成全部制造过程。在CIMS内，上述过程还可实现远距离操作。因此，CIMS是当今形数结合的最高形式。
六 结语
综上所述，形与数这对矛盾运动的发展规律与一切矛盾运动规律一样，矛盾的双方终将走向自己的反面。归纳起来就是形数“合—分—合”的矛盾运动规律。
在形与数结合的初级形式中，它们的结合是一种直观上的结合。后来随着生产实践的发展，提出了独立研究形、数各自内部规律和细节的要求。而生产实践的进一步发展又提出了形、数结合的要求。于是出现了直角座标系，为形和数相互联系和相互转化奠定了严格的科学基础。现代自然科学的发展，使得生产实践得以在更深的层次和更大的规模上展开，因此，对于形、数在更高一个层次上的独立研究又会成为必要。则形与数在结合之后又会呈现出分离的趋势。但这种分离只是形式上的，自笛卡尔直角座标系问世以来，直到今天的计算机图学、计算机辅助设计及制造、计算机集成制造系统，形、数就从未严格分离过。若是认为初期对于形、数的研究是以“形”为主，则今天我们对于形、数的研究就是以“数”为主，形与数总是相辅相成的。这样一种“合—分—合”过程的无限循环就是形数矛盾运动总的发展规律。而诸如解析画法几何、计算几何、多维几何、计算机图学等门学科则是这对矛盾运动的横向发展。
纵观今日有关形、数的各门学科，形与数结合的势头有增无减。但是我们应该看到形、数的分离已寓于结合之中，形数的相对独立性亦愈宜明显，我们正在走入数字化、信息化的新时代，一切信息都将以数据为载体，图形当然也不例外。随着人们对形数发展的进一步认识，需对过去的形数观加以扬弃，剔除其不合理的成份。我们相信，随着形数矛盾的运动发展，表示新的数量关系的空间形式定会建立，形与数将会以更高级的形式，再次呈现出结合的趋势。