从希尔伯特规划到数学的地图，本文主要内容关键词为：希尔伯特论文,数学论文,地图论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N031 文献标识码：A 文章编号：1000－8934(2012)1－0096－07
1 引言
希尔伯特规划(Hilbert's Program)起源于对无穷数学之合理性的辩护①。在亚里士多德时代就已有“潜无穷”与“实无穷”之辩，到19世纪末，特别是康托的集合论形成之后，“无穷”成为数学中的一个核心概念。但是这样一个概念与当时被较广接受的信念——物理世界是有穷的——相冲突。尽管这一信念并非得到最终的证实，但是得到了同时代越来越多的物理学成果的支持②。既然冲突的一方得到了强有力的支持，那么对于另一方，只能要么是放弃，要么是通过合适的途径为之辩护。
辩护的一个候选是所谓的逻辑主义进路。概而言之，逻辑主义认为数学可以归约于逻辑，而逻辑处理“分析的真命题”。对“分析命题”，根据其本身的定义就可以判定其之真假，因此与物理事物无关，如此一来就化解了上面所言之冲突。
希尔伯特赞赏逻辑主义的进路③，但是“认为逻辑主义者，特别是罗素，未能达到他们的目标”[2]222，因为在逻辑主义者的归约工作中使用了像归约公理这样的预设，它们是分析的真的吗？这是可疑的。而且希尔伯特本人也不认为数学与物理事物是无关的④，因此希尔伯特与他的合作者提出及推动了他们自己的进路，即希尔伯特规划。
希尔伯特规划在严格意义上并不成功，然而它所基于的思想以及其指示的进路却不失其意义，因此，从希尔伯特规划提出以来，一直至今，在数学基础中有许多工作我们可以视为对希尔伯特规划的发展。本文对这些工作进行了梳理与介绍，并且在此基础上提出对希尔伯特规划的一个新视角。
2 希尔伯特规划及其受挫
希尔伯特规划首先把数学分为两部分⑤：“实际”数学与“理想”数学。要言之，“理想”数学相当于无穷数学，而“实际”数学则是科学实践中不可或缺的，相应于数学的“有穷”部分，它们可以看作为对实在世界⑥的反映，因此具有实在内容。而“理想”数学则由于无法在实在世界中找到对应，因此缺乏实在内容，但是正如引入虚数有助于我们解方程⑦那样，“理想”的无穷数学有助于我们得到“实际”数学的结果。进一步，一个自然的要求是，无穷数学中不能得到与有穷数学冲突的结果，希尔伯特为这一要求指出的技术进路是，用可靠的方法证明“理想”的无穷数学对“实际”的有穷数学是“保守的”，即无论用无穷数学得到的怎样的有穷数学结果，该结果在有穷数学内部就可得到。
希尔伯特为实现其目标而提出的进路的核心是形式化方法与有穷主义观点。更具体而言，大致是通过下面三个步骤来完成其目标：
(1)确定数学中无问题的“有穷”部分(系统)，它们由于在科学实践中是不可或缺的而无需辩护；
(2)用形式化方法把无穷数学重构为一个适当的公理系统；
(3)用可靠的方法证明(2)中得到的系统相对(1)中得到的系统是保守的，希尔伯特认为可靠的方法应该限于所谓的有穷方法。
希尔伯特本人实际上并未确切指出何者为数学的“有穷”部分，以及究竟什么样的方法才算有穷，这使得后来的学者依据自己对希尔伯特规划的理解作出相应的发展成为可能，我们在后面某些具体的讨论中则采用原始递归算术PRA作为“有穷”数学的形式系统⑧。
这一规划受到了哥德尔不完全性定理的巨大冲击。不完全性定理分为第一不完全性定理和第二不完全定理，它们分别冲击了上面所列的希尔伯特规划进路步骤的(2)和(3)。
第一不完全性定理可以表为“任何含有基本量的算术的形式系统S，如果S是一致的，那么存在S的语言的一个算术句子g，使得它本身以及它的否定都不可在S中证明”[4]91，它直接表明形式化方法不能穷尽所有的数学，因此步骤(2)不可能完成。
第二不完全性定理为“任何含有一定量的算术的形式系统S，如果S是一致的，那么S的一致性在S中不可证”[4]100，它对步骤(3)的冲击不那么明显，下面我们稍作解释。
首先是步骤(3)可以转化为如下看起来与第二不完全性定理更相关的表述：
(3′)用有穷方法证明(2)中得到的系统的一致性。
而有穷方法一般理解为可在“有穷”系统中表达。如果我们把(1)中得到的系统记为R，把(2)中得到的系统记为I，那么(3)就想当于“在R中证明I相对于R的保守性”，而(3′)就相当于“在R中证明I的一致性”。
可以用技术的手段证明，如果(3)可行，那么我们可以在系统R＋Con(R)中证明I的一致性，这里Con(R)代表句子“R是一致的”，因此R＋Con(R)是R的平凡的扩展，而对R的限制也使我们能绕开第一不完全性定理对R的攻击。
由此可知，如果(3)可行，那么(3′)也可行⑨。
第二不完全性定理表明一阶算术PA不能证明它自身的一致性，除非它本身是不一致的。而一般认为希尔伯特的“有穷”系统至少要弱于PA⑩，这意味着在R中无法证明PA的一致性，因此更证明不了比PA大得多的系统I的一致性，这样(3′)不可行，进而(3)也不可能完成。
3 辩护
并非所有的学者都认可不完全性定理对希尔伯特规划的冲击。其中较有影响的是德特勒弗森(M.Detlefsen)的异议。下面简单介绍之。
德特勒弗森认为可以从工具主义(instrumentalism)意义上来理解希尔伯特规划对无穷数学的处理[6]。从希尔伯特的目标来说，无穷数学中只有能用来获得有穷数学结果的部分才在工具主义意义上有用(11)，那么在希尔伯特规划的步骤(2)中，就不需要对整个无穷数学进行公理化。又假如希尔伯特残余包含足够少的算术，那么就可能避开第一不完全性定理的攻击。
德特勒弗森的辩护对工具主义者有相当的吸引力，然而当代数学家中极少持工具主义观点，甚至希尔伯特本人是否真正将无穷数学视为工具也是有疑问的(12)。
尽管Rosser可证本身是个颇为深刻的概念(14)，但是与之对应的直观的可证概念并不自然，在几乎所有的证明实践中都不曾采用这种形式的可证，因此德特勒弗森的这个辩护也鲜有拥护者。
总而言之，原初形式的希尔伯特规划受到不完全性定理致命的冲击已作为事实而广为接受，而对之的挽救，一个角度是放宽原来的限制，此即推广的进路(15)，而另外一个更加忠实的进路则是作这样的探索：数学的哪些部分可以纳入到希尔伯特规划的框架中？这方面的研究即为希尔伯特规划的部分实现。
4 部分实现
自上个世纪七十年代以来，以弗里德曼(H.Friedman)与辛普森(S.G.Simpson)为首的学派在被称为反推数学(Reverse Mathematics)的研究方向上的一部分工作可以认为是对希尔伯特规划的部分实现(16)。
联系的一个关键是第一步中的公理系统谱系是基于有穷数学系统PRA得到的。PRA又被称为无量词的原始递归算术[2]229，在其中可以实现关于数的初等推理。弗里德曼与辛普森等人把PRA扩张为所谓的二阶算术系统
，然后再对作不同程度的限制得到所要用的公理系统谱系，因此在“反推数学”研究中用到的公理系统都是的子系统，而它们又都是PRA的扩张。
既然这些系统是PRA的扩张，那么从希尔伯特规划的视角自然可以问：它们相对PRA保守吗(17)？这是原来希尔伯特规划中步骤(3)的新版本。这个问题对本身是否定的，因为PA的一致性在中可证，那么由哥德尔不完全性定理可推出不对PRA保守(18)。
尽管本身不可以作为规划的部分实现，然而它的子系统中确实有可如此视之者，而且是有相当分量的。
这三个结果在相关的学科中都处于核心的地位。
有一点或许要进一步说明，部分实现似乎与德特勒弗森的工具主义辩护有点相像。但是这种相类只是表面上如此，两者的立意颇为不同。德特勒弗森试图通过限制到无穷数学中对于有穷数学有用的部分以绕开不完全定理，即使这一企图能够落实，也只是表明“希尔伯特残余”的有用。而部分实现则为无穷数学的一部分的合理性进行辩护，相较而言，应该更符合希尔伯特原初的思想。
部分实现在支持希尔伯特规划的同时，实际上完成了更细致的工作。通过对各数学命题在反推数学系统中的定位，给出了证明其之所需公理的强度的上界，增加了该命题的显明性，有助于我们对之的理解。
尽管部分实现能够容纳当前核心数学的一大部分，但是，一方面，毕竟还有相当一部分数学超越了
的界限；另一方面，核心数学本身就是个发展的概念。不难想象，随着人类社会的发展，我们将得到越来越多的数学成果，甚至开辟新的数学的疆域。从这个角度考量，只局限于部分实现不能令人满意。一个可能的思路是对所有的数学成果做类似于在部分实现中所行之定位工作，这一想法实际上合于反推数学的宗旨，只不过甚至不局限于在的子系统进行考量。
但是当我们试图落实这一思路之前，我们也必须面对、回答当年希尔伯特曾经面对的问题：如果超穷数学对象不存在，如果超穷数学的这些成果无法限制到可以与物理世界对应的有穷数学内，那么这些工作的意义何在？
对上面问题的一个回答是，数学成果的意义在数学内部考量即可，不必考虑其是否对应到物理世界的事实，甚至不需要考虑其是否有用于科学研究及工程实践。这个回答有其合理性，但是在哲学上不能令人满意。
另一个回答是，对有穷数学的理解甚至某些成果的获得离不开无穷数学(24)，因此我们需要无穷数学。尽管其优于前一个回答，它实质上绕开了对无穷数学对象的争论，或许可以视为一种宽泛的工具主义。它也同样面临着类似前面提到的部分实现所面对的问题：在实际中、甚至在未来也找不到与有穷数学联系的数学成果，对它们如何处理？
上面的尝试无法圆满的原因在于其都或隐或显地认同了这样的观点“真实存在的是物理事物，物理事物是有穷的”(25)，正是这种认同使之带上了“原罪”，从而在根本上限制了辩护的展开。因此，如果要遵循希尔伯特为整个无穷数学辩护的思想，并且避免落于工具主义，那么只能驳斥或者绕开上面所提的“强物理主义信条”，这需要我们重新考量数学实在论与反实在论之争。
5 重议数学实在论问题
因为国内已有相关的相对可靠的综述(26)，因此在这里可以先粗线条地回顾各个争论的派别与观点，然后在此基础上找寻我们的方案。
我们的目标是消除持强物理主义信条的数学反实在论的威胁，但是先从对数学实在论的回顾开始。当今的数学实在论有柏拉图思想的影子，然而与之已颇为不同。实在论(27)不否认时空中的物理事物的存在，甚至可能认为其还有某种“优先地位”。关键之处在于实在论认为除此之外，不在时空中的数学对象也是存在的。对之的责难是，除非认同存在“非物理的灵魂”这样的概念，实在论无法很好回答所谓的认知问题：如果我们的感觉器官是物理的，那么我们是如何认识非物理的数学对象的？
实在论或许可以部分回应这个认知问题——我们可以从可见物理事物中认知数学对象的性质，如同我们可以通过观察云室中的痕迹了解不可见粒子的运动路径。但是数学反实在论者不会满意这个回答，因为后者可以进一步论辩说，粒子对蒸汽的物理作用产生了痕迹，但是我们不能如此解释数学对象，我们也可以说物理事物有如此这般的模式，而不需要引入在本体论上可疑的数学对象。更为严重的是，即使数学反实在论者作出让步，认可这个部分回应，由此也难以导得对无穷数学的辩护，因为反实在论者可以这样论辩：物理世界是有穷的，我们承认可以从可见物理事物中认知数学对象的性质，但是那反映的只是有穷的数学对象的性质。
出路或许只可能在找出数学反实在论本身的问题后才能获得。
数学反实在论也有多个版本，[15]中梳理并且指出了诸版本的缺陷，并且建立其自身的反实在论，我们后文提到的均指这一版本和反实在论(28)。
数学反实在论在根本上基于科学实在论，认同“只有物理对象是真实存在的”。不难看出这是哲学的“科学情结”的体现，特别的，强物理主义信念中的“物理事物是有穷的”即来自当代的科学实践。这种与当前科学的呼应有其优越的方面，然而也应谨慎而行，特别是应该看到科学以及相应的对自然的观念自古以来并非恒定不变，可以想象当前基于科学而得的“世界图景”也可能被完全不同的新的“世界图景”所替代。这种观点并非只是臆想而毫无根据，我们不妨回顾人类历史上的宇宙观的变化。
柯林武德认为“在欧洲思想史上，宇宙论思想有三个建设性时期”[17]11，“希腊自然科学建立在自然界浸透或充满心灵这个原理之上”[17]4，而“文艺复兴的自然观……中心论点是，……自然界……既没有理智也没有生命”[17]6，到现代则又是不同的观点。柯氏所提的宇宙论三期中的宇宙之有穷、无穷的观点也相应发生着变化。
古希腊时期产生过三个宇宙体系(29)，其中亚里士多德即持有限世界的观点，认为宇宙是有限的分层次的同心圆球体，而地球居于其中心[18]35。亚里士多德的思想后来发展为托勒密的地心说，成为之后很长一段时期的主流学说。哥白尼革命打破了地心说，而在哥白尼之前已经有学者反对有限宇宙学说。“库萨的尼古拉……中世纪的最后一位伟大哲学家……首先摈弃了中世纪的宇宙观念，我们通常把断言宇宙无限性这一伟绩、或者说罪过归功或归咎于他”[19]2。当然“尼古拉只是简单地宣称不可能将界限加之于世界之上”[19]30，那位为哥白尼思想献身的布鲁诺则直接宣称“只有一个普遍空间，一个广袤的无限……我们就宣称这个世界是无限的”[19]30，牛顿为有限世界思想竖上了一个墓碑，当然不是终止性的——“如果(有限)，那么处于这空间外面的物质，将由于其重力作用而趋向所有处于其里面的物质，而结果都将落到整个空间的中央，并在那里形成一个巨大的球状物体。”[19]152。
现代科学又复活了有限世界思想，进而被反实在论接受为基本的信念，但是其不应忘却或忽略历史很可能会反复。无穷世界的思想并未被完全根除，也不仅仅存在于宗教学说或者幻想作品中，实际上在物理学界甚至也有学者对之持严肃的态度。“1957年，物理学家埃弗里特(H.Everett)提出一种可能性……，如果是对的话，那么就存在无穷多个宇宙”[20]305，而且此非孤例(30)，霍金的宇宙波函数理论也预设了“无穷多个自含宇宙”[20]307。
笔者对反实在论的反驳不意味着笔者认为实在论是正确的。实际上上面的论证对反实在论来说也不是“致命”的，因为只是指出其可能错，而无法在根本上证明其错。但是这正也是实在论与反实在论所共有的问题，它们也无法在根本上证明物理世界确实是有穷的或者确实是无穷的。在这种意义上，强的实在论和强的反实在论是同一个硬币的两面，他们都在坚持无法彻底证明的信念，认为他们坚持的信念是对世界的真实反映。如查尔默斯所言：“我怀疑，是否有任何严肃的当代哲学家坚持认为，我们最终可以与实在面对面并解读有关它的事实”[21]266，实在论和反实在论的强的信念的坚持或许最终只可能成为教条。
实在论与反实在论的这种问题或许出于它们从不同的角度基于我们日常关于何物存在的观念，这一观念可以“漫画式地”概括为：(1)事物纯粹地在那里；(2)事物持续存在不变，至少是某个足够长的时间；并且(3)而我们则对它们以如“拍照式”的认知。上面对科学史中有关部分的粗略考察至少说明(3)是成问题的。笔者也相信(1)与(2)也存在着这样或者那样的问题，然而对之的进一步探讨实为当代形而上学研究的核心部分，不是本文的主题，同时也是在本文中无法很好处理的，因此我们在这里不再深入(31)，只是建议承认我们应该以更谨慎的态度来谈论事物，从而采取相对温和的信念。笔者以为一种可取的立场是回向康德，概言之，承认世界是我们的世界，世界中的事物多多少少渗透了我们的概念，进而以客观性指示事物之实在与否。如此一来数学对象就成为我们世界的一部分，任何抽象数学的合法性也由此得到了保证。
6 结束语：数学的地图
如果笔者在上文所述的观点并非谬误，那么我们或许就已经绕开了希尔伯特的困境，不用再纠结于实在世界本身是有穷抑或无穷，数学是否反映世界这样的问题，同时也可重新赋予希尔伯特规划以新的意义。希尔伯特规划及其部分实现原初的立意是辩护，换个视角，这方面相应的工作则可以看做为对数学的地图的绘制——找到了一些地标，定位了一些数学命题的位置——明确一个数学命题的位置的意义或许不逊于给出其证明(32)。这种数学的地图的视野还将希尔伯特规划与数学基础中另外两个重要的计划——哥德尔规划(
Program)及弗里德曼规划(Friedman's Program)熔合起来(33)。从数学的地图的视角看来，哥德尔规划可以理解为寻找新地标，而弗里德曼规划则意图指出已找到的地标还不够。如笔者在前文中提到，同时也是笔者所相信，核心数学并非静态不变，而是会随着人类的数学实践活动逐渐扩张。在放下辩护负担之后，希尔伯特规划将得到新的生命力的注入；在绘制数学的地图的过程中，我们也将重温希尔伯特的梦想——我们必须知道，我们必将知道。
收稿日期：2011－05－24
注释：
①实际情况更加复杂，J.Avigad,E.H.Rick(2001)[1]3－4指出，从更广的历史背景来看，希尔伯特规划是对十九世纪数学中两大对立的思潮的调和，不过我们在学理上作这样的总结还是恰当的。
②粗略地说，原子物理表明物质似乎不是无穷可分的，而量子力学则断定能量是离散的。
③另外还有直觉主义进路，将数学视为对一类精神产物的规律的研究，因此也与外界事物无关，然而直觉主义本身就对无穷数学持怀疑甚至否定的态度，事实上直觉主义对无穷数学的攻击也是促成希尔伯特规划面世的一个因素，这方面的介绍请参看Zach,Richard(2001)[3]。
④“但是希尔伯特提出，有一个有穷主义数学，它的陈述可以被解释为关于有限具体事物的陈述，特别是，关于有限具体事物的数量属性与排列组合属性的陈述，因此是有实在内容的数学。”[2]224
⑤希尔伯特的思想有个发展的过程，详细请参看J.Avigad,E.H.Rick(2001)[1]17－22。
⑥这里指通常的意思，大致相当于所谓的物理世界。在将世界限制为物理世界时才产生希尔伯特规划所负担的辩护义务。
⑦除解方程外，虚数还有其他应用，比如在微积分学中，虚数的引入使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理，进而由此发展出复变函数与复分析这样的数学分支，而它们后来在电学与电气工程学中得到了极大的应用。
⑧这是接受最广的一种解释，详细请参看Tait(1981)[8]，叶峰(2008)[2]228－230。
⑨反之亦然[5]824，但是就说明第二不完全性定理冲击(3)而言，我们了解到“若有(3)，则(3′)也成立”就可以了。
⑩比如被广为接受的“原始递归算术”解释。
(11)Detlefsen称之为希尔伯特残余(Hilbertian residue)。
(12)比如希尔伯特曾称康托尔提出的超穷数理论是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”。
(14)它本身最早被用于得到第一不完全性定论的一个简化版本。
(15)后来希尔伯特的学生G.Gentzen使用超穷的方法证明了PA的一致性，此后用越来越强的方法证明一般系统的一致性以及对给定的系统研究需要多强的方法才能证明其一致性的探索成为数理逻辑中一个重要的研究方向。
(16)见冯琦的书评[9]以及Simposn的论文[10]。Simposn的书[11]对这方面的工作做了系统的总结，我们这里的介绍参考了[10]、[11]。
(17)更严格的，这种保守性还需要在PRA中可证。
(18)自然这不是反推数学对之“切片”的原因，事实上，恰恰是的丰富性(有理由相信日常或者当前核心数学的大部分为所容纳，当然这个“核心数学”是发展的概念)使得研究者采用它；而“切片”是出于反推数学的宗旨：为日常数学命题找到能证明它的恰当的公理系统，从这个角度我们也可看出反推数学与希尔伯特规划的目的是不同的，我们只是在结果上把它的一部分成果看作为规划的部分实现。
(19)而且是严格序，即前一个系统是后一个系统的真子系统。
(23)强完全性，等价于紧致性——每个有穷可满足的公式集都可满足。
(24)新加坡国立大学的杨跃及其合作者给出了一个精致的论证[13]。
(25)不妨称之为强物理主义信条。
(26)可参看[14]、[15]、[16]；其中[14]是未完成稿，部分内容构成[15]。
(27)后面都指“当今”和“数学的”，后文几处省略“当今的”、“数学”以求表述上的简洁。
(28)不妨称之为叶版反实在论，其也持强物理主义信念。
(29)亚里士多德体系、伊壁鸠鲁体系和斯多葛体系，详细可参看[18]PP.32－39。
(30)[20]是个科普作品，但是并非科幻小说，作者的态度也是严肃的。书中鲤鱼的比方[20]3－5甚至有康德的意味。
(31)就如接下来的文字中所提到，笔者以为或许可以接受一种康德化的世界观，在这样的世界中，物我两依，而数学对象则是这样的世界的一部分，有其客观性。
(32)这时我们不仅仅证明一个命题，而是指出在什么样的公理下可以接受这个命题，而在什么样的公理下又否。这将大大加深我们对之的理解。
(33)简言之，哥德尔规划的目标是为在像通常的算术系统、集合论系统中不可证明的数学命题寻找新公理；而弗里德曼规划则是寻找强的公理系统中不可证明的数学命题。[22]是对哥德尔规划相关工作的最新总结，其中2.5.2节也比较详细地介绍了弗里德曼规划。