南阳市第一高中 河南 南阳 473061
摘 要：主要介绍范德蒙行列式的定义及其性质，研究范德蒙行列式的几种构造方法和其在多项式理论中的应用问题，最后对应用方法技巧作出概括和总结。
关键词：范德蒙行列式 多项式 线性变换
行列式的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的,它最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中。18世纪,法国著名的数学家范德蒙（Van de monde）将行列式的理论脱离线性方程组，作为专门的理论进行研究，并在此基础上确立了行列式的一些性质，使行列式逐步成为一门独立的数学研究课题。
范德蒙行列式是范德蒙在1772年提出的一种著名的行列式，具有重要的理论研究意义和广泛的应用价值。自上世纪50年代以来，数学工作者对范德蒙行列式的计算方法和一些应用进行了研究，但是对其构造方法和应用技巧的总结、归纳还比较欠缺，系统性和规范性也存在不足。
一、范德蒙行列式的定义及其性质
定义1：形如 的行列式，称为x1，
x2，…，xn的n阶范德蒙行列式，记作Vn（x1，x2，…，xn）。
定理1：n阶范德蒙行列式Vn（x1，x2，…，xn）=
= （xi-xj）（1）
定理2：范德蒙行列式（1）为零的充分必要条件是x1，x2，…，xn这n个数中至少有两个相等。
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二、范德蒙行列式的构造
1.利用行列变换法构造范德蒙行列式。
2.利用加边法构造范德蒙行列式。
三、范德蒙行列式在多项式理论中的应用
例：设f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，证明如果f（x）有n+1个不同的根，则f（x）为零多项式，即f（x）=0。
证明：由题设知f（x）有n+1个不同的根，不妨设为x1，…，xn+1，其中xi≠xj，i≠j，将其分别代入函数f（x）表达式，得n+1个方程如下：
a0+a1x1+a2a12+…+anx1n=0
a0+a1x2+a2a22+…+anx2n=0
a0+a1xn+1+a2an+12+…+anxn+1n=0
将a0，a1，a2，…an看作未知量得上述方程组的系数行列式为Dn+1= （xi-xj），由于xi≠xj（i≠j），因此Dn+1≠0，由克莱姆法则知，该方程组只有零解，也即a0=a1=a2=…=an=0，因此f（x）=0。
四、范德蒙行列式在线性变换理论中的应用
例：如果λ1，λ2，…λs是线性变换的两两不同的特征值ai∈Vλ （1，2，…s），则当时a1+a2+…+as=0时，必有a1=a2=…=as=０。
证明：注意到ai=λiai（1≤i≤s）（设是Vλ 的线性变换)，对等式a1+a2+…+as=0两边逐次作用，
得用矩阵表示为
式，由于λ1，λ2，…λs两两不同，从而B是可逆矩阵。
在上式两边右乘B-1得a1=a2=…=as=0。
五、结语
范德蒙行列式为问题的求解提供了十分有效的手段，对范德蒙行列式的应用不仅需要对范德蒙行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活地运用。只有打好数学基础，不断地分析和解决典型的题目，找出内在的规律，日积月累，对范德蒙行列式的应用才能得到进一步的掌握。
参考文献
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论文作者:周冠豪
论文发表刊物:《教育学》2016年3月总第96期
论文发表时间:2016/5/5
标签：行列式论文; 多项式论文; 蒙德论文; 线性论文; 理论论文; 性质论文; 方程组论文; 《教育学》2016年3月总第96期论文;