展现新科学的混沌现象，本文主要内容关键词为：混沌论文,现象论文,科学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
【内容摘要】本世纪初孕育、后期才兴起的混沌研究，是当今“新科学”思潮中的一个重要代表。混沌现象的提出是科学深入发展的必然；混沌研究的发展是现代科技成果的结晶；它为各学科的研究开阔了思路，提供了工具。
【关键词】确定性系统 倍周期 蝴蝶效应 普适性 自相似
一、引言
19世纪以来，自然科学取得空前进步，并为20世纪的科学革命奠定了雄厚的知识基础。这种世纪之交的辉煌成果就是量子力学与相对论的问世，它们对传统的牛顿理论造成巨大冲击，从而将科学推向了新的高度。处于同一时代天才的法国科学家彭加勒，擅长直觉思维，并有意从整体上去理解运动系统行为的复杂性，于本世纪初，他首先提出：简单的确定性系统能产生惊人的复杂性，甚至是不可预见的行为，也就是今天称之的混沌现象。由于确定性系统的将来与过去是现在的唯一的函数，所以整个系统行为是有序的可预见的。彭加勒的观点是超前的，是对传统科学理论的革命。在彭加勒之后，直至70年代，物理学、化学、生态学各领域中都发现了大量类似的复杂现象，混沌才引起众多科学家的真正重视。从此，一个崭新的研究题课被确立。尤其是80年代以后，混沌的研究有如星星之火渐成燎原之势。人们很快认识到：混沌已是当今新科学思潮的重要代表。不少科学家将它与相对论和量子力学相提并论，视之为20世纪科学上的三大革命。
混沌研究得以迅速发展，实应归功于电脑技术的日新月异。近15年来大容量、高速计算机，特别是电脑绘图技术的应用，是混沌学赖以复兴的重要基础。借助逼真的电脑模拟和电视技术，现在科学家已能通过电视屏幕观察到一个系统动态的演进与复杂的混沌效应。惊喜之后，人们开始将许多以往捉摸不定的现象，试图用混沌效应予以解释，所涉及的领域从生物、物理、化学、数学、天文到经济、医学等，甚至将其触角伸进了艺术与思维的范畴。
二、历史背景
⒈线性系统
18、19世纪中物理学家取得的成果，大半是以微分方程模仿自然现象，即采取公式形式给出一种函数关系。一旦设定一种条件（初值），就会得到严密而准确的答案。但不久人们发现，数学上容易处理的问题只限于线性方程之类。于19世纪初叶，由于拉普拉斯与傅里叶在线性微分方程方面的研究获得成就并得以推广之后，线性科学便成为一种科研传统。从此，线性在许多研究中不言而喻地被假定了，即使遇到非线性因素，也是尽量忽略不计，或从技术上作线性化处理。这种观念在传统的数学教科书中表现最为充分：非线性微分方程放在书中最后几章，可按选讲内容对待，即便讲授，也只介绍如何将之化为线性问题来解决。于是乎不知不觉，一座巨大的线性理论大厦被牢固的建立起来，而且至今仍是一个活跃的研究领域。
线性理论的功绩，突出表现于经济领域中广泛使用且最见效益的数学方法——求解线性规划问题的单纯方法。曾于50年代，纽约一大石油公司以数百万美元建起一所新的计算中心，当中心落成之后，该公司仅用两个星期就赚回了全部投资，其成功的秘诀就是利用该中心的新式大型电子计算机，为石油公司销运方案所设计的线性规划问题求出了最优解。
⒉非线性系统
但现实社会中更多的复杂问题。起初，人们通常认为生命现象及社会科学是复杂的，而物理世界是简单的，或至少是属于确定性系统的。自从物理学著名的纳维叶（Claude—Navier）——斯托克斯（G·G·Stokes）方程问世以来，人们的观念改变了。在流体运动的研究中，法国工程师纳维叶于1821年与英国数学物理学家斯托克斯于1845年，在相互之间一无所知的情况下，由不同的假设，得到了同样的一组非线性偏微分方程。但在求解时，由于非线性因素的出现，问题变得极其复杂。人们不得不借用数值方法，而与之俱来的大量计算又是人工力所难及的。正值科学家对这些非线性问题束手无策之时，高速计算机出现了。诺伊曼（J.V.Neumann）首先注意到， 现有的数学方法不适于非线性问题的研究，而高速计算机将有助于攻克难关。诺伊曼认为，电脑的使用是极具启发性的，它可用于洞察一个非线性系统，并能为创建非线性的基础理论而提供线索，混沌探索者面对的正是非线性问题，长期以来，他们披荆斩棘，勇往直前，以其大量多方面的研究成果，使科学家们领悟到：非线性现象无处不在，世界本质是非线性的，而线性现象只是简单非线性的一种近似。凡属混沌现象均与非线性问题相关，或者说，混沌是非线性科学的一个重要分支。特别耐人寻味的是，混沌现象虽是极端复杂的，但它可以由一个极其简单的系统而产生。
三、混沌是什么？
“混沌”一词的使用，始见于1975年美国科学家李天岩与约克的论文。什么是混沌？简言之，“混沌”是一种动态过程，该过程呈现出某种杂乱无章、泾渭不分的现象，若用专业术语表达，即是简单的确定性系统产生的一种近似随机的行为。
混沌学的兴盛，应说追溯到生物学。生物、生态学领域中的问题是复杂的，若用线性方法来解决，只有靠增加变量来应付复杂性。科学家们试图采用新的方法——简单的非线性数学模型，来克服难题。那些卓有贡献的代表人物应属于澳洲出生的天才科学家罗伯特·梅（R.May）。梅在物理、数学方面功底深厚，且青春年华时已小有名气，他本可在上述领域施展雄才，轻取一席之地，但当时萌发于生物学领域内的混沌学所独有的洞察力使之着迷而叹服，他毅然放弃了自己的专长，在生物学领域中另起炉灶。由于他的天赋，加上他多学科的坚实根底，改行后于短短的4年中，他又成为生物、生态、医学领域中混沌理论的重要代表。
梅的著名成果涉及生态学及数学的有关内容为：
⒈生物、生态学是把某种生物、植物作为一个群体并联系其他生物、地理环境以及人类活动加以研究。每个物种都有使自身的规模一代代增长下去的本能。而专业研究要解决的问题，就是找到制约这种增长能力的环境因素和生物学因素。
⒉数学中著名的逻辑斯蒂方程式成功地将某个连续变化的系统表示成所谓的时间序列，即数学上的一个叠代公式。使用一个叠代公式，可以从初始点开始，观察因叠代而生的后续点的变化与发展，这恰恰反映了一个系统随时间变化的演化过程。通常称之为动力系统。
⒊数学上常借助一些技术性处理来简化问题，使其本质特征更为突出，如反映物种的数目改用密度来表示。由于密度是个无单位的纯量，且密度为[0,1]间的正数。在数学上可以证明开区（0，1）间中的数与整个实数是一一对应的，而[0,1]间的数，还兼有所占份额多少的含义，因此区间[0,1]深得数学、物理学家们的偏爱。
梅在1976年正是使用技术处理过的逻辑斯蒂方程研究某种昆虫的规模变化规律。为了能准确观察该物种一代一代的规模变化，梅选择了各代没有重叠的昆虫，即这些昆虫是同时孵化、同时成虫、同时变蛹、同时化蛾、同时产卵，也就是其繁殖与生长都具有季节性。因此，任何时刻所观察到的该物种的规模，就是同一代个体的总和。公式x[,n+1]=ax[,n](1-x[,n)=ax[,n]-ax[,n][2]中的x[,n]表示昆虫第n代的密度。显然，第n+1代的密度受制于其上一代即第n代的密度。另外，由于出现x[,n][2]项，该方程是非线性的。此方程是生态学中重要的数学模型——虫口模型。假如选择x[,0]为初始值，系统的运行随参数α的变化而呈现出不同的行为。
当参数α在0与3之间取值时，叠代过程中x[,n]的终结行为是稳定的，表明昆虫密度代代发展下去，但接近一个固定值。实验证明，当α＝2.9，x[,0]＝0.875时，随R的无限增大，叠代结果超近于这值0.655。一旦α超过3，不稳定便出现了。 其第一个信号就是x[,n]的极限行为在两上定值之间反复，发生周期性振荡。如当α＝3.2，x[,0]＝0.4时，昆虫经若干代后，这一代密度为0.7995，下一代为0.513，而再下一代密度又为0.7995，如此循环，周期间隔为2，即经过两次叠式，又回到原始值， 这种现象称为周期2。由此可知周期k现象就是经过k次叠代又回到原始值。当参数继续增大，继而出现了周期4，即昆虫密度变化以4代为周期。研究表明，当3＜α＜3.57时，物种密度变化都呈现这种周期性，只是随α的增大，周期α转变为周期4、周期8、周期16等等，这种转变通常是一种突变。由于每一次周期的变化是前一次周期的倍数，对此称之为倍周期现象。当α进一步增大至4，叠代结果变得没有规律，密度值杂 乱无章，似乎是随机出现，这就是混沌。尽管梅是以生物学为研究对象，提出倍周期将走向混沌。该结果所揭示的动力系统规律却很典型，故其研究成果在诸多领域中推而广之。许多学科，都在具有非线性项的系统中发现了混沌现象。
除了倍周期是混沌的特点之外，其基本特征还有：
⒈对初始条件的敏感依赖性
一个系统由两组最初非常靠近的条件开始，会在长期行为中导致完全不同的状态。这种对初始条件的敏感性被形象地称为“蝴蝶效应”：由于一只蝴蝶的双翅搧动一次，从理论上讲， 它会改变一种天气系统的初始条件，致使后期气候形势出现巨大差异。早在1903年，彭加勒就曾指出：“初始条件中的微小差异，可能会在终结现象上造成巨大的差异。在前期的一个微小误差，可能在后期形成一个巨大的差别。因此，预测变得不可能。”
混沌现象的这一特征，并不同于数学中概率论的随机过程。它不是由实验误差而产生的随机效应。数学中的随机过程是指下一次的结果无法准确预知，短期内无法预测，但长期的运行总体却呈确定的统计规律。而混沌表现的是一种似乎的随机过程，它并非取决于数据的随机性，而取决于系统本身内在的随机性。只要条件给定，下次结果便可予先确定，只是对长期行为不可预测。简言之，混沌具有一种内在的随机性。下面的例子可说明这种随机性。
考虑系统x[,n+1]=2x[,n]，所有的数用二进制小数表示，并在变换x[,n]乘以2 之后去掉整数部分，如，任定一个二进制数x[,n]＝1101101110， 则x[,n+1]＝.101101110，比较一下就会发现，此变换使得每叠代一次， 就把初值小数点右移一位，同时去掉整数部分。
当我们选取两个相邻的二进制小数：x[,0]＝.01011100111010…，y[,0]＝.0101100010…其十进制值分别为无理数
x[,0]=0(1/2)+1(1/2[2])+0(1/2[3])+1(1/2[4])+1(1/2[5])+...≈0.3672
y[,0]=0.384以上两个二进制数在前5位上是一致的，除此之外毫无相同之处。 将上述变换运用于x[,0]与y[,0]并把相应结果以十进制值绘制于坐标图中，可以见到在第五次叠代之后，各自结果相互偏离。变换x[,n+1]=2x[,n]，仅仅是使一个值增加一倍，但长期作用下去，就使两个分歧而紊乱的时间序列运作起来，表现出一种无序状态，而且无论重新选择两个多么靠近的二进制无理数，这种现象都会发生。上述变换中，没有使用计算机，可避免任何误差，由此可知系统显现的随机性是系统本身所具有的，这是内在的随机性。
⒉普适性与费根鲍姆常数
混沌现象的无序状态，并不是通常意义的乱七八糟。那么一个有序的系统又是如何变为无序的呢？ 美国物理学家费根鲍姆（M.J.Feigenbaum）在这方面做出杰出贡献。由前面已知随参数的变化会发生倍周期现象，而周期倍增可导致混沌的产生。若记由周期1 突变为周期2时的参数值为分叉点，记为λ[,1]，周期2突变为周期4时的分叉点记为λ[,2]…依此类推，那么当倍周期分叉点为λ[,∞]时周期为2[∞]，实际上已无周期可言，此时叠代值无法把握，出现混沌。费根鲍姆发现，在倍周期的分叉过程中，随分叉次数的增加，相邻两个分叉点λ[,m]与λ[,m+1]的间距△m=λ[,m+1]+λ[,m]是按一定的规律缩小，同时，分叉后两个分叉间叠代值的差值（称分叉间的宽度）ε[,m]，也按一定比例缩小，当m→∞时，间距的比△m/△m+1与宽度的比ε[,m]/ε[,m+1]都有极限存在。费根鲍姆对这两个比值穷追不舍，首先测算出两个极限值
△m/△m+1→4.669201609=δ，ε[,m]/ε[,m+1]→2.502907875＝α数δ与α都是无理数，称为费根鲍姆常数，它表明一个系统在走向混沌时周期倍增的精确速度。进一步的研究表明，δ与α是个与变换具体特征无关的常数，被人们称为普适常数。在费之后，又有其他普适常数波发现，与之相应的性质统称普适性。混沌现象普适性的发现，使科学家们惊喜交集，真可谓“乱中有治”。混沌不等于乱七八糟，而是按一定的规律趋于混沌的。从此，混沌的研究由定性描述走向定量描述。
更多的研究还发现，周期运动可以突然变为混沌，而混沌状态也可以突然变为有序运动，若能揭开其中运动过程的规律，将会实现人们对混沌现象的控制。
⒊几何特性——层次自相似性
由虫口模型，从它的初始值开始，将后续叠代值依次标定在坐标图上，可以绘制出一条轨道，以展示系统的行为状态。一般动力系统的演化过程，也常以空间中某些变量的值来描绘。一条轨道可以表示某个参数值在一定初始条件下的变化状态，若将不同参数与初值条件下的轨道绘于同一空间中，就得到一束轨道线，整个图形谓为该系统的位相图，或称相空间。
如果系统是稳定的，那么无论参数与初始条件如何，系统最终都趋于一个稳定结果，这种最终稳定状态称为吸引子。动力学中的吸引子都反映的是有序运动。吸引子的基本特点是具稳定性，即使遇有小扰动而暂时偏离，终将自动回到吸引子。经典的吸引子理论无力描述混沌，但混沌研究可以借用吸引子的描述方式，只是得到的轨道图形极其复杂，称之为“奇怪吸引子”或“混沌吸引子”。
目前，世界公认最早发现的奇怪吸引子是日本吸引子，由日本学者上田皖亮（Y.Ueda）于1961年发现的。但由于种种原因，日本吸引子于1978年才第一次发表。所以几乎在90年代以前，人们认为最早、最典型的是洛仑兹吸引子。美国气象学家洛仑兹（E.Lorenz）于1963年用一组非线性常微分方程去模拟气候模型，并由此认识了混沌。
借助计算机求得方程数值解，对该系统的行为演化进行研究。当系统运动轨道绘制在三维相空间中，展现于眼前的是幅神秘莫测、复杂而优美的图形。轨道犹如蝴蝶的两只翅膀，永远处于一定区域内，不会逸出画面之外，但由任何部分的点所形成的图形不会重复出现。点的轨道永远不会彼此相交，却永远环行不已。画面中呈现的两个园盘，均由螺线构成，随时间t变化。轨道先就一园盘绕行几匝， 继而几乎垂直地跃至另一园盘，续绕几匝后再跳回始发园盘，并以这种方式继续下去，而离开每个园盘之前所绕的匝数是个随机数。更奇妙的是，每个园盘并非一个二维曲面，而是多层曲面。若取出其中一部分，在一定尺度上看是单层的，但将绘图的尺度变小，制图更加精细时，这部分又是多层曲面的。并且这种性质可以永远追溯下去。将此特性作一形象地描述：只要从图中择一适当的部分，放大后就能得到与原图全然相似的结构逐称为自相似性，由于该属不同层次上的比较，奇怪吸引子的这种性质被称作层次自相似性。
洛仑兹在当时所获的卓著成就，凭借的只是一台每秒运算17次的计算机器，计算的辛苦是可想而知的。80年代以来，新一代具有绘图功能的电脑问世，电脑屏幕上显现的神奇图象，深深吸引了各方众多科学工作者，促进了混沌的研究。
混沌现象的这种奇妙景象，在拓扑学中找到了呼应，它是由于系统内在的非线性因素经拓扑变换而形成的。这种变换效应，可用通俗的例子——面包师揉面团的操作过程来说明：将面团拉长、扞平、折叠、不断重复。在揉面开始时，若将一滴蓝色剂加于其上，则在揉面过程中，液滴会同时被拉长、压扁、折叠，只需重复数次面团便显出蓝白相间的层次，原来相邻的色剂微粒越离越远，而原不相邻的微粒可能越凑越近。实际上，不过20次的重复操作，以肉眼观看，色剂与面团已完全浑然一体了。以上伸缩、折叠变换，即拓扑学中著名的斯梅尔马蹄形映射：一种拉长后弯曲成马蹄形，落在原域的映射。以此例来比拟动态系统相空间的状态变化过程，则便于想象混沌轨道的复杂性是如何生成的了。一般言之，伸缩可使相邻状态不断分离，使相空间轨道发散，而折叠是一种很强的非线作用，它足以搅动轨道，致生许多奇异特征。当各种永不重复的伸缩、折叠变换并行且永不间断时，就形成了且分且聚，盘旋缠绕又不彼此相交的轨道——混沌的几何图形。
进一步的研究成果表明混沌吸引子不象普通吸引子一样具有整数维数。以传统的整数维的方法无从描绘奇怪吸引子的特征，无法反映其复杂程度及所占空间的规模。只有拓扑学对分数维数的定义与研究，给予奇怪吸引子以较好的表述。简单地讲，直线是一维的，平面是二维的，而介于直线与平面之间有些复杂而奇怪的图形须用1与2之间的维数来描述。以此方法，气象学家由数百万年间深海岩心中的氧同位素数据，测算出气象吸引子的维数大约为3.1。
⒋广阔的应用性
在借助电脑绘图研究混沌演化过程的同时，也提出了一种观察客观、分析实验的方法，它广泛地应用于产生数据的各科学领域，成为一种描述世界的有力工具。
除了物理、生物学方面的成果外，在天气预报中，人们用混沌理论来评价气象预报的可预报性。在天体力学中某些行星的古怪运行规律只能由混沌来讨论。而混沌应用发展最快的领域还属医学。如人类心脏的突发性疾病：在有规律的跳动后，突然变得无规律；传染病的蔓延都属于混沌学研究的范畴。去年一些神经生理学家在对老鼠脑神经切片的实验中，通过加以精确的电刺激，搅动原系统行为，诱导出了混沌，也主动控制了混沌，为人类从心脏病到癫痫病提出了全新的诊断与治疗方法。更值得一提的是，混沌螺线的奇妙与优稚也深深吸引了艺术家们。如美国音乐家戴比（D.S.Dabby），成功的运用混沌思想， 开辟出一种产生无限变异的新音乐的方法，并于1993年首次演出了她的全新作品。其中由著名音乐家巴赫（Bach）的“C 大调钢琴序曲”而创作的变奏曲获得普遍好评。
四、总结
混沌现象的提出，是科学深入发展的必然，混沌研究的发展，是现代科技成果的结晶，也为各学科领域的研究开阔了思路、提供了工具，显示了其旺盛的生命力。但是混沌学的黄金时代还未到来，它必须等待进一步的条件成熟、其重要性被充分认识、其理论研究有新的突破。
混沌学是真正的交叉科学，它把各种一向认为互不相干的学科中的工作人员联系起来。这是混沌学的显著特点，也正是发展该科学的难点。混沌的概念也许被认为是简单易懂的，但很快进而成为一种尖端而高深的技术理论，它要求研究混沌的科学家至少在数学、物理以及计算机诸方面均有相当的造诣。混沌的理论研究还相当艰难，需要很长时间。困难不只来自研究对象的复杂性，还由于研究本身会涉及到其它各学科的基础理论研究。特别是有些学科领域如数学，相应的基础理论工作也才刚刚起步，远未成熟。再者困难还出自科学工作者的学科习惯及其个人的科学素养，或许要靠几代人的努力，混沌学才会走向成熟，非线性科学理论才有所发展。
值得庆幸的是，毕竟今天的世界是大为进步了，对于混沌这门新学科，科学界已给以极大的热情与支持，使之能有充分成长发展的空间混沌正在悄悄地走近每一科学学科。混沌正在改变整个科学建筑的结构。混沌正在促使整个现代知识成为新科学。