孙剑丽 嘉兴海盐实验中学）
【摘要】数学思想的渗透是复习课的一个重要目标，而教学目标的分解则是渗透数学思想的重要方法。一次函数中蕴含了非常丰富的数学思想，通过看图说话、按图索骥、借图发挥等目标分解方式，较好地渗透数形结合思想。
【关键词】数形结合方法；一次函数；目标分解
中图分类号：G652.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2020）04-190-02
一次函数是浙教版八年级上册第五章的内容，在初中数学的教学中，一次函数是学生第一次接触函数知识，它的学习方法、学习技巧等掌握程度将会影响后续函数的学习。它作为初中重要核心内容之一，也蕴含着非常丰富的数学思想。为了更好地帮助学生回顾核心知识、领悟其函数本质。笔者以一次函数与方程不等式为例，浅入深出、步步为营地分解目标并及时渗透数形结合思想。
一、看图说话，数形结合思想之巧用
例1: 请你画出一次函数y=2x-3的图象，并观察函数图象回答下列问题：
（1）x为何值时，y=0？ （2）x取何值时，y＞0？
师：你会用什么办法来解决？
生1：把y=0代入y=2x-3中得到，解得。
生2： y=0就是函数与x的交点，我从自己所画的图象可以读出。
师：非常好，这位同学从图形的角度马上读出了x的值，那么你能解决第2问吗？
生3：y＞0就是，解得。
生4：也可以从图象中读出来，位于x轴上方的这一部分就是y＞0，所以结果就是。
师：非常好，那你能为我们画出x轴上方的这一部分图象吗？并指出这部分函数图象所对应的自变量的取值范围吗？
生：板书中并讲解中
该生分析了y＞0是指y轴的正半轴，又准确画出y＞0所对应的这部分函数图象，最后得到这部分函数图象所对应的自变量的取值范围。
师：太棒了！这位同学抓住了“三段线”，分析的非常到位！那老师稍作变化，你还能解决吗？
随后教师立马给出变式当y＞-1，y≥-1时，x的取值范围是分别是多少？
再一次帮助学生借助“三段线”来理解图象内涵，及时渗透数形结合思想。
教师板书：理清一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。
【点评】本节复习课的教学重点是如何引导学生去看图、识图、用图来解决一次函数知识中的核心内容。为此本节课的教学设计采取目标分解法。首先从一条直线入手，设计了函数值大于0，小于0的问题，借变式已知自变量的取值范围求函数的取值范围。当然此类问题并不局限于一种方法，学生习惯于用不等式或方程去解决，也是转化思想和方程思想运用。但本节课还是注重引导他们从“形”的角度去解决，这恰是学生比较薄弱的，所以教学过程中借助“三段线”帮助学生理清了自变量范围和函数的取值范围之间关系，有助于学生从图形的角度理解其本质内涵，也及时渗透了数形结合思想。
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二、按图索骥，数形结合思想之妙用
例2: 已知：函数y1=2x-3，y2=-x+4的图象如图所示，当x取何值时，y1=y2？
师：在刚才的基础上老师又引入了第二条直线，你能求出x的值吗？
生1：从图形中观察知道要求y1=y2，也就是要求两条直线的交点。
师：那如何求出交点坐标？
生1：把两个函数联立起方程组，也就是转化为方程组来解决。
师：也就是方程思想的运用。那这种借助数来求出所需图形的方法就是“以数助形”。那若要求时，x的取值范围呢？
生2：那就联立起不等式解决，即求不等式的解。
生3：观察图象就可以知道。交点横坐标所在直线的右侧就是，刚才已经求了交点坐标，所以很方便就得出结果了。
师：非常好!像这类问题我们同样可以从“数”的角度或从“形”的角度来解决。
教师板书：帮助学生理清二元一次方程组与两个一次函数，以及不等式组与两个一次函数的关系。
为了帮助提升学生识图能力和分析问题的能力，老师就顺势而为，将题目稍作改编。变式练习：已知直线y1=-x+4，直线y2=2x-3。无论x取何值，y总取y1，y2的最小值，求y的最大值？
变式练习设计的目的：一是考察学生的分析理解能力，首先要理解问题中无论x取何值，y总取y1，y2的最小值这句话的意思，当时，；当时，。也就是转化为函数值的大小比较问题。其次是结合图象分析，突出数形结合的妙用，形的方法在这里占明显优势。
【点评】本环节引入求两条直线的交点、函数值的大小比较及函数数值的最值问题，这些设计主要目的为让学生理解“形”与“数”对应的关系，直线的交点与对应方程组的解之间的关系。解方程组求公共解有助于求出直线交点（这是以数助形），从图像位置比较判断函数值的大小（这是以形解数）。变式练习中无非就是变化题目，本质也就是比较函数值的大小，例题中题目学生既可从“数”也可从“形”来解决，而变式练习中明显感受到了借助图象便能巧妙的解决问题，在此让同学们深深感受到了“数形结合”的强大优势，在解决一些难题的时候，是首要考虑的思想方法。
三、借图发挥，数形结合思想之活用
1.已知直线y1=-x+4，直线y2=2x-3，直线y3=0.5x+2的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最大值，求y的最小值？
师：你能类比前面变式练习的方法来解决这题吗？
学生涂涂画画，思考中……
生：这题主要类比变式练习的方法，借助图象解决。按图象的交点来看，可以分成三块来解决，分别找到，，的交点的横坐标所得平行于y轴的直线为界，分三种情况进行分类讨论。依次找到在每个范围内的最大值，而得到一个新的图象，观察图象可知的交点就是y的最小值。
本节课用目标分解的方法一步步体现了数形结合思想在一次函数中的妙用。同时以数助形，以形解数的思想也得到了应用淋漓尽致的展示，引导学生学会用两条腿走路，不能满足从数解决问题，更应探究从“形”来解决问题，唯有两者紧密相联，相辅相协，才能真正理解与掌握函数知识的精髓。本节课的点睛之笔是将方程思想，转化思想，分类讨论困思想等穿插其中。
一堂高效的复习课就是要将碎片化的知识整理成线，以知识为明线，以思想方法为暗线，让不同程度的学生都能有新的收获，从而提升学生的核心素养。
论文作者:孙剑丽
论文发表刊物:《中小学教育》2020年4月1期
论文发表时间:2020/4/16
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