HPM视角下探究性作业的设计与实践，本文主要内容关键词为：作业论文,视角论文,探究性论文,HPM论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学史与数学教育的关系（HPM）是数学教育研究的重要组成部分，而如何将数学史融入数学教学是HPM研究的重要方向之一.目前，HPM视角下的数学教学设计日益受到人们的关注，这方面的文献也逐渐增多.但是，已有的设计大多局限在数学课堂教学的前几个环节，将数学史融入作业环节的做法并不多见。
探究性作业是新课改提出的新课题。《上海市中小学数学课程标准》指出要拓展习题观念：“数学学习训练的习题，不能局限于巩固知识、操练技能的需要和对常规问题的解决，应有注重预感、试验、尝试等非形式推理的问题；有操作实践、项目设计等方面的数学问题；有条件不完备、解题策略多样或结论不确定的开放性问题，……还要有数学建模问题，有来自生产、生活实际或与其他学科相联系的数学课题等”。
数学教育研究表明，数学史的作用之一是为学生提供更多的探究机会。鉴于此，笔者根据课程标准的精神，从HPM的视角，在七年级第二学期“全等三角形的判定（2）—角边角”的新授课后实施了探究性作业的实践，让学生将所学新知与实际问题相结合，将知识的应用、拓展、方法的探究、动手操作等融于一体，取得了理想的效果。
七年级平面几何知识的学习是建立在“圆”、“线段与角的画法”、“三角形”、“图形的运动”等基础知识之上。本设计是在完成“全等三角形的判定——角边角”的教学之后，即在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等。
探究性作业设计：
（1）引入历史，呈现问题
法国军事家拿破仑的军队在行军途中为一河流所阻，如图1.“逢山开路，遇河架桥”，但架桥需要测河宽，怎么测？首领急得团团转.一名随军工程师运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。
（2）数学模型，搭建桥梁
随军工程师是这么做的：如图2，他在高丘（或悬崖、灯塔）上利用一种简单的工具进行测量。直竿AB垂直于地面，直竿AC与AB在A处用钉子固定，但直竿AC可以绕A转动。测量时，先将直竿AC对准河对岸岸边的位置，然后转动AC（保持AB与底面垂直），将点C转到C′的位置。若直杆AC′对准岸上的某一点F，那么DF=DE.从而测得河宽。（以下简称“原方案”）.
（3）应用新知，阐述原理
试说明DF=DE的理由。
（4）探索问题，各显神通
如果你是一名随军工程师，请设计一个方案。
探究性作业的实践流程是：①教师将“原方案”以讲故事的形式呈现给学生；②教师用两根直杆进行实物演示“原方案”；③请学生解释原方案的操作原理；④提出新问题：是否还有其他方案。
学生的解决方案大致可分为三类：①利用“角边角”原理；②利用圆、图形旋转、相似等其他数学方法；③物理方法。
1.利用“角边角”原理
学生给出了三种方案。
如图2，按照“原方案”，将随军工程师手中的两根直杆用圆规替换（旋转角不唯一）。
如图3所示，设AB为河宽，线段AC为人眼到地面的距离，人的目光C落在河对岸点B处，保持视线不变，人沿着射线BA方后退，退到视线刚好落到刚才人站立的那一点A，此时，线段DA=AB，AB即为河宽。
如图4所示，设A为河岸AE上的观察点，设AB为河宽，且AE⊥AB，取线段AE的中点C，过点E作AE的垂线ED，人在射线ED上移动到点F，使得B、D、F三点共线。此时，EF=AB，线段EF的长度即为河宽。
2.利用圆、图形运动等其他数学方法
学生给出了四种方案。
如图2，按照“原方案”的方法，将随军工程师手中的两根直杆用圆规替换。依据利用同圆的半径相等，河的宽度即是圆的半径。
如图5所示，按照“原方案”的方法，但直杆绕绕点C旋转的角度变成180°，利用平面图形旋转的特征，旋转前后线段的长度保持不变。
如图6所示，设AB为河宽，AD为河岸，且AD⊥AB，人在河岸AD上走，人在沿着射线AD方向走，当∠BDA=45°时，AD=AB，测出陆地上AD的距离，即为河宽。
如图7所示，设AB为河宽，在河岸点A竖一根直杆；EF为山高，点E为山顶，人竖直站在山顶E，DE为人眼到地面的高度
.两直杆相交于点D，一根直杆竖直放在高山上，另一直杆调整到与河对岸B点共线。此时，人
3.利用物理等方法
学生给出了两种方案。
如下页图8所示，设AB为河宽，AC为河岸，且AC ⊥AB.点D为陆地上一点，且D，A，B三点共线，设为直线a，将镜子b与直线a平行放置，人在直线河岸A的左侧（陆地）上走动，手里拿着手电筒（在晚上作业），照到镜子b上，人的位置调整到使得手电筒的反射光线正好经过河对岸的点B，那么人所站的位置D与点A的距离，即AD=AB.线段AD的长度即为河宽。
用石头向对岸扔去，再用同样的力气再扔一次到能测量的地方，量得距离（学生说明：局限性是这种方法去测的河流必须不能太宽）。
利用“角边角”原理，构造全等三角形，从而将河宽转化到方便测量的陆地上，灵活运用新授课所学，是此问题的主要训练目标。方案三就是法国数学史家坦纳里（P。Tannery，1843～1904）推测泰勒斯测河宽的方法，学生初步会用所学的数学语言进行表达和交流，并能利用“同圆的半径相等”、“图形旋转的性质”、“等腰三角形的性质”、“相似三角形”（这是九年级学习内容）及运用物理知识解决问题。表明学生的思维广阔性和灵活性，尽管有些方法还不太完美，还很稚嫩，但却闪烁着创造性思维的火花。
本设计的主题非常明确：全等三角形“角边角”定理的应用。从学生所使用的工具来看，学生创造性地将测量角度的工具做了改进，用圆规或镜子代替了泰勒斯的直竿，将空间问题转化到同一个平面内解决。从学生所设计的方案来看，学生不仅能运用所学知识，预见新知，还能看清解决河宽问题的实质就是要证明两条线段相等。学生顺利完成了数学建模过程，自然地将生活实际与物理知识相联系起来。
在学生完成本次作业之后，笔者做了一次书面调查，以了解HPM视角下探究性作业是否有一些独特的效果。调查问题是：通过此次作业，你的收获和体会是什么？
生1：图形在生活中无处不在，可以用在生活中。
生2：我们了解了全等三角形的判定方法并且也明白了生活中处处有数学，常可以用得到这些知识。因为数学史是发生过的，而且是生活中的数学，更加告诉我们要活用数学的知识。
生3：我感触很深。在老师利用历史事件所引发的题目中充分体现了几何图形的多变，多元性，这些知识是我们取之不竭、用之不尽的，并且在这些多元性思维的基础上，老师先前让我们学习几何要严谨，这点充分地体现了出来。我想，其实每个人都会在一生中发现许多问题，有许多疑惑，我想，自己独自研究、去发现，也许会有更加意想不到的地方，总而言之，还是要感谢老师教会了我这么多知识！
生4：我很喜欢数学，数学不仅是计算生活中的一些小问题，更是训练了我们的逻辑思维能力和一题多解的方法思考问题。
生5：认识了三角形对生活的用途，我原以为学三角形没用，现在一道数学史题让我重新认识了三角形的应用。
生6：应该还有其他的三角形全等的判定方法。
从学生的感悟中，可以发现HPM视角下探究性作业发挥了一般作业的功能——实现教学目标、巩固知识、形成技能、构建所有学生必需的共同基础，而且还具备了一般作业形式所不具有的独特作用。
同时，HPM视角下的探究性作业也展现了它的不可替代性。
1.改变学生的数学观
学生通过HPM视角下探究性作业看到了数学的价值，正如生2所说：“生活中处处有数学，常可以用得到这些知识。数学史因为是发生过的，而且是生活中的数学，更加告诉我们要活用数学的知识。”也发现原来古人早就在用这些知识和方法，而古人的智慧结晶像源远流长的河水。HPM视角下的探究性作业对提高学生的学科素养、形成科学精神的开辟了新的途径，是学生学习过程中不可或缺的重要环节，也是学生学习过程中最活跃的部分。
2.促进学生探究的欲望
HPM视角下的探究性作业激发了学生的探究欲望，生6说：“应该还有其他的三角形全等的判定方法。”学生不仅有火热的思考，丰富的作品，还有长久的热情。正如生3所说：“我想，其实每个人都会在一生中发现许多问题，有许多疑惑，我想，自己独自研究、去发现，也许会有更加意想不到的地方。”学生从数学联想到数学及自己日常生活问题，具有好奇心，并有探究的欲望。
3.促进学生的情感、态度、价值观的发展
传统作业的模式化题型、固定的解答过程、标准化答案，不利于展现学生群体中存在的个性差异，而融入数学史的作业设计给学生的个性发展提供了充分的空间，使学生有不同的数学发展。学生的开放性想法都有据可依，相互补充。所有的学生都有一个共同的感悟：数学是有趣、有用、有价值的！学生逐步体会到数学与日常生活的密切联系。他们在获得成功的体验，树立学好数学的信心的同时，也学会了感恩。不少学生都写道：“感谢老师教会了我这么多知识！”
本设计曾在不同层次的学校实施过，不同层次学校的实践效果并不一样。设计和实施流程上的差别也导致实践效果的较大差异。学生基础越好，作业实施越流畅，方案数量越多、质量越高。
本设计中的问题情景贴近学生生活经验，学生兴趣浓厚。如果作业设计中缺少步骤（2），学生很难寻找到解决的方法。与学生常见问题相比，此问题已知条件、解决问题的方法、途径都不明确，也就是“条件不完备、解题策略多样的开放性问题”，导致学生无从下手。七年级学生的几何学习经历大部分都是在平面几何。图2是一个空间模型的平面图，能否达成空间的转换成了学生作业实施的障碍。因此，步骤（2）的设计非常重要。它让学生回到真实情境，并向学生展现了一种解决问题的途径；启发学生自己去创造已知条件，调动已有知识储备，探究问题解决途径。实践流程②将平面图还原成空间模型，学生借助已有知识基础，顺利实现了空间的转换和数学建模的过程，奠定了探究的必备知识基础。由此可见，实践流程②是关键步骤。
在实施本设计的学校中，多数学校的学生能利用“角边角”原理设计出部分方案，只有少部分学校的学生同时设计三类方案。虽然河宽问题的解决方案远不止这些，但学生在教师的引导下，经历自主探究的过程，主动获取知识、应用知识、整合知识以解决问题，意义深远。
我们认为，HPM视角下探究性作业的设计应做到如下几点：①贴近学生的认知基础，主题明确，具有挑战性；②贴近学生生活经验，具有应用性、趣味性；③在学生的最近发展区内，是处在学生能力边缘的问题，通过努力可以解决，具有开放性。
HPM视角下探究性作业的实施过程中，学生的质疑、尝试、选择甚至失败等过程都是非常宝贵的资源，它使学生的学习方式发生了很大改变。在数学教学中，如果我们设计一个可供学生交流、分享、反思、总结的活动，必将催生更多的“思想之花”，促进学生有效学习、主动发展。HPM视角下的探究性作业的实施在培养学生的创新意识和创新能力方面发挥重要作用，也为数学课堂教学改革起到积极导向作用。学生的基础、能力水平、理解、作业呈现方式的差异以及教师的参与度、处理、操作方式的差异使得探究性作业的实践有所差异。因此我们设计、实践探究性作业时需谨慎。如何开展HPM视角下的探究性作业设计，这对教师的专业知识储备、专业素养提出了更高的要求。只有精选知识，精心设计，精心操作，才能收到好的效果。