2005年高考数学试题评析及2006年复习建议，本文主要内容关键词为：数学试题论文,建议论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2005年山西、河南、河北、安徽四省高考数学共用教育部考试中心命制的全国卷Ⅰ，这份试题的显著特征是深化能力立意，注重知识交汇。在保持传统高考数学试题考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法的基础上，通过知识交汇点命制试题加大了考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力的力度。
一、保持稳定的同时，加大改革力度
题目保持稳定的重要标志是今年的高考题题目的形式完全没有改变，仍然是12个选择题共60分，4个填空题共16分，再加6个解答题74分，这与考前普遍的预期有一定的出入。另外今年的高考试题一如既往地贯彻了在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查的命题指导思想。
试题切入容易，深入难，做对得分更难。今年的试题难度比2004年的难度上了一个台阶，比较容易区分出好学生，有利于录取分数一向较高的高校选拔学生。另外整份试题重视考查潜能，考数学应用，考中学数学的常用数学思想方法也是改革力度大的铁证，比如第5题的不规则几何体求体积，第13题具有的竞赛题影子，第15题涉及的三角形“五心”的向量形式和性质，第20题种子发芽问题上的分布列和期望，第22题用数学归纳法证明不等式等，都使人耳自一新，都和《考试大纲》中的“能力立意”“将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养”的要求相吻合。
鉴于此，2006年的高考数学复习应该本着“深挖洞，广积粮”的思路进行复习，尤其是在把课本由薄变厚的第一轮复习中，加大难度是必要的、值得的和应该的。看看今年考完数学时考生痛苦的表情，你就明白今年的高考数学复习起点低了，深度不够，学生对难题不适应，不习惯，无从下手，估分90分以上的学生凤毛麟角。当然，采用“深挖洞，广积粮”的复习策略不是鼓励去钻牛角尖，我们应该在主干知识上搞好复习的深度和广度；在主要数学思想和方法上要注意层次性和长期性。边缘性的知识或粗枝末节的方法、技巧以及打擦边球的偏题、怪题要少碰。
另外，今年题型没有跟上《考试大纲》变化的步伐进行变化，显得不够开放和时尚。2006年肯定不会再这么保守了，在2006年的高考复习中要多对题型与分值的变化题进行适应，尤其是在做综合模拟的后半段，可参考2005年的北京市高考题的题型分布和分数设置，如果胆子再大一点、步子迈的再快一些的话，那就以走在改革开放最前沿的上海市高考题的题型为样板进行一定的操练，来提高学生“兵来将挡，水来土淹”的适应力。
二、不刻意追求知识覆盖面，在知识的交汇点处设计试题
今年的《考试大纲》指出“对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。”《考试大纲》是这样说的，试题也是如此做的！今年的高考题在代数的传统重点内容中着重考查函数、三角、不等式、数列等主要内容；在立体几何中主要考查线线、线面、面面位置关系以及表面积和体积；在解析几何中着重考查圆、圆锥曲线的基本量的运算，以及直线与圆、圆锥曲线的位置关系；在新教材新增加的内容中主要考查了向量、导数的工具作用，以及概率与统计的应用。虽然重点内容绝大部分都有所涉及，但知识点的覆盖没有面面俱到。比如映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性、反函数、互为反函数的图像间的关系、指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数、对数、对数的运算性质、对数函数、函数的应用举例等《考试大纲》要求的十二个知识点中，只考查了四个：第8题与第17题（Ⅱ）小题的图像及图像的切线属“函数”知识点；第9题的函数不等式涉及“对数函数”“指数函数”“函数单调性”知识点；第22题(1)小题求最值属“函数”与“函数的单调性”知识点。
在知识的交汇点处设计试题是今年高考题的一大亮点：第7题三角函数与函数的渗透；第8题的二次函数、二次方程和二次不等式的相濡以沫；第10题的线性规划与平面几何的牵手；第12题的立体几何与排列、组合的不期而遇；第19题的数列与不等式的狭路相逢；第15题的向量与平面几何的对接；第17题三角函数与导数的联袂；第18题立体几何与向量的姻缘；第11题解析几何与向量的交汇；第22题的函数、导数、不等式和数列的群英荟萃，都是知识交汇的经典之作，都使人感觉到题目的来头很大，油然而生“度尽劫波兄弟在，相逢一笑泯恩仇”的豪气。
针对今年高考题的这些特点，不难得出2006年的高考复习策略：不论是第一、第二还是第三轮复习，狠抓高中数学的主干知识已没有再商量的余地了。扎扎实实以熟练主干知识为龙头，立足于通性、通法的训练，归宿于数学思想和方法的强化，从而坚守住提高能力这块阵地，就可以以不变应万变，就可以在别人兵荒马乱、上窜下跳的时候，我们显得很从容、冷静和踏实。
重视各主干知识的形成，必然要先理清主干知识的脉络，分析各主干知识的内涵、外延和交汇。这就要求我们在2006年的高考复习中应充分重视数学主干知识的支撑作用，以主干知识为支柱，构建知识网络，比如在函数的复习中一定要链接导数；数列的复习中嫁接极限与数学归纳法；三角函数的复习中要重新审视和定位函数；在向量的复习中要载入平面几何、立体几何、解析几何、复数、三角函数和数列；不等式的复习中倾注函数、数列、向量和解析几何；排列、组合与概率和概率与统计二合一为一章进行复习等等。如此这般渐渐模糊知识模块和章节的界限，最后达到天人合一。当然，重视知识的交汇不仅仅是在复习内容时体现，还要贯穿于我们的日常习题教学中。可以采用两方面的措施使知识交汇兑现出来：一是使在各主干知识的交汇点处命制练习题和检测题成为一种常态；二是对于知识交汇点处的题目要大书特书，尤其是要引导学生分析题目涉及的知识是如何交汇的；在题目中哪一部分知识是主体、是平台、是载体，哪一部分知识是工具；这种题的突破口在哪里，思路如何探寻；有什么共性的数学思想和方法，题目的能力层级如何；以前见过、做过、讲过的这种题有多少；共同点在哪里，区别在哪里；你的感受、反思和领悟是什么。
三、深化能力立意，突出数学思想和方法的考查
2005年的《考试大纲》中明确了“能力立意”是指“以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。”今年的高考题遵循了上述原则和规范，整份试题对能力的考查以思维能力为核心，以运算能力为媒介而全面考查考生的各种能力，强调思维的敏捷性、条理性、严谨性、综合性、创新性和实践性。
对思维能力的考查贯穿于全卷，重点体现对理性思维的考查，强调思维的科学性、抽象性。比如第2,4,5,15题是对思维能力中的直觉猜想能力的考查；第3,5,12,16和18题是对思维能力中的空间想象能力的考查，主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言三种语言的互相转化，以及对图形的识别、理解和加工，与运算能力、逻辑思维能力相结合；第8题是对思维能力中的符号表示能力的考查；第10,13,20题是对思维能力中的模式构建能力的考查；第22题是对思维能力中的归纳抽象、演绎证明能力的考查；第1,3,6,7,9,11,12,13,14,17,18,19,20,21和22题是对思维能力中的运算求解能力的考查。
除了对思维能力的考查外，试题对运算能力的考查也给我们留下了深刻的印象，这也许是这份试题偏难的一个诱因。上面已列出三分之二的试题需要计算，但这是建立在对高中数学的各种思维能力都了如指掌的前提下的，普通考生不一定能达到这样的理想要求，因此运算量大是可想而知的。试题对运算能力的考查主要是通过考查算理和逻辑推理来进行的，以代数运算为主，同时也考查估算、简算，比如第5,13题就可通过估算获解。另外题目有很大的难度，也软性考查了考生的个性品质，要求考生要克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。
对数学思想和方法的考查主要涉及数形结合的思想方法，如第2,3,4,6,10,12,15,16题等；转化与化归的思想方法，比如第4,5,7,8,9,11,13,17,21,22题等；分类讨论的思想方法，比如第8,10,19题等；函数与方程的思想方法，如第8题；换元法；如第7题；数学归纳法，如第22题。这些思想方法是教材中的重点内容所反复应用和锤炼的，也是学生耳熟能详的，关键是在考场上能否直接抓住问题本质，应用恰当的思想方法，以简捷、明快的思维发现解决问题的途径。
2006年高考复习建议：在复习过程中应十分重视基本数学思想方法在解题中的渗透和运用。尤其要重视配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法和数形结合法等常用的数学技能和方法；分析法、综合法、归纳法、演绎法和反证法等常用的逻辑推理方法；函数与方程、变换与转化、分类与归纳、数形的结合与分离、定常与变化的对立与统一等重要的数学思想和方法。以夯实主干知识为原点，以熟练数学思想方法为支点，以提升能力为驻点，不遗余力地培养学生较高的思维层次中的探索能力、直觉思维能力、合情推理能力、创造能力。
四、注重创新意识和创新思维，强化实践能力的考查
试题中的第13,15,17和22题都是考查创新意识的新题，其中第13题极具竞赛题的意味（如果没有题后括号中的提示的话），属题目形式和解法创新；第15题是把向量植入三角形的“五心”中，属知识载体创新；第17题中三角函数图像的切线问题，是典型的新的知识交汇点创新题；第22题既是函数不等式又是数列不等式，它的证明思路是少见的，属解法创新。另外今年的应用题放在倒数第三个题的位置，使得在把关题的领地上的这道概率与统计应用题颇显神秘和有档次。
2006年高考复习建议：时时关注创新题，尤其是每天讲的例题、做的练习题和检测题，不用或尽量少用那些用了几十年的老掉牙的陈题。这就要求教师应该不断地学习和再充电，比如可以多订阅报纸杂志，从杂志中涉猎新题。有了新题还得用好新题，通过新题重点向学生归纳解题的思维方法，激发学生的思维风暴；关注题型的单向发展，重视横纵联系；拓展新题的思想方法，加强多元交汇。
另外，还要注意强化数学建模，提高实践能力，发展个性特长。重点抓好运用高中数学知识解决生活中的实际问题的能力的培养与训练，注重数学知识和技能应用的有效性、灵活性和综合性。以提高数学阅读能力为起点，以建立数学模型为核心，寻找或自行编制一些贴近生活的应用问题，特别是概率与统计应用题。当然形式可丰富多彩，比如通过研究性学习、探究性学习让学生既充当导演，又充当演员，从而培养学生探究、猜测、归纳、感悟、动手、创造和应用数学的能力。
五、几点遗憾，几点感悟
与2004年题目相比，今年的高考题的难度陡增。看看第5,8,15题，做做第19题、21题第（Ⅱ）小题以及22题第（Ⅱ）小题，不看不知道，一做吓一跳，这些题不是一般程度上的难，而是非常难。笔者个人认为今年的高考题是历届（山西）高考题中最难的，这使高考数学复习的标准和尺度变得扑朔迷离。其实，在高考的“四科”（语文、数学、外语和综合）中，笔者也毫不含糊地认为数学最应担当起把关科的角色，从而选拨出“真正好”的学生。问题是整份试题的相对难度和绝对难度在不同的年份之间应该相对稳定，按理说，分省自主命题的题目难度应该不难控制。也许是夹在两年难题中的2004年的题太简单了，致使我们产生了今年和2003年的题偏难的错觉，但愿如此！
此外，这套题还有一个特点：两多一少。“两多”是三角函数题多、立体几何题多；“一少”是数列题少。三角函数是新教材的软肋，不仅仅是因为新教材删除了旧教材中一半以上的三角公式，课时比例大大降低，而且很多知识点的要求层次也降低了，所以广大高三师生都不约而同地认为三角一章是最轻松的一章，是唯一可以稍事休息和小憩的场所。然而今年的高考题却在三角一章中直接出了三小一大合26分题，与公认的函数（27分）老大哥平起平坐了！立体几何也有四小一大计31分题，直接叫板函数的统治地位；而传统重点内容、在学生心目中最规矩的数列只出了一个12分的大题，与2004年的18分比，骤减了三分之一。
看来，2006年的高考复习还得均衡发展，教材中的每一个章节内容都可能成为高考的热点和重点，来的都是客，一个也不能少，哪个也不能轻视，不能人为地划定三六九等，要一视同仁，稳扎稳打。