关注思路，还要思路自然——议圆周角定理的教与学，本文主要内容关键词为：圆周角论文,思路论文,定理论文,教与学论文,自然论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教育的一个核心价值是发展学生的思维品质，这一点似乎已经被所有的数学教师接受，并赋之教育实践.近来，我听了若干节初中数学定理教学课，感觉到教师在关注学生自主学习、关注学生思维上，下了很大工夫，也有很大成效.现在的定理教学，已经很少一上来就直接给出定理，然后证明，而是尽量引导学生发现定理，再证明之.有些遗憾的是，一些教学过程还不能很好地体现认知的合理的思维，自然的思维，自主的思维.
一、反思教学实践
我对一节圆周角定理的课堂教学印象很深，教学过程主要由三部分组成，一是猜想结论（即圆周角定理），二是证明结论，三是应用结论.引起我关注的是前两部分.
教学过程的第一部分是两项活动.
活动一：请你猜想
所对的圆心角有多少个？圆周角有多少个？请你在圆上多画出一些圆周角，并观察这些圆周角与圆心有几种位置关系？
活动二：请你把所对的圆心角也画出来，然后通过度量猜测一下，所对的圆心角和圆周角在度数上会有怎样的联系？
教师在这里着意做了两件事，一是引导学生做圆周角与圆心的位置关系的分类；二是让学生通过测量得到猜想——同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
做头一件事情的目的是为证明圆周角定理做铺垫，教师似乎预感到学生不能独立证明定理，那就先罗列出证明中用得着的圆周角与圆心的不同位置情况.然而，这一段教学是很别扭的，硬是搬出个“圆周角与圆心有几种位置关系”的问题来，为什么要讨论这个问题？为什么又要按照圆心在圆周角的边上、圆周角的内部、圆周角的外部来分类？
做后一件事情的目的是不想一下告诉学生圆周角定理，想让学生去发现结论，这种意识是好的，但是从操作来看，学生按照教师的要求测量，是被教师牵着鼻子走，就像孙悟空画了一个圈，你就服服帖帖地在圈里活动.学生的自主探究意识并没有反映出来.难道只有用测量的方法才能发现结论吗？只有在教师的规定下才能发现吗？
教学过程的第二部分就是按照已经分好的类，逐一证明在每一种情况下圆周角定理都是成立的.中规中矩，但缺乏思维的挑战，其原因就在于事先糊里糊涂地分好了类，教师这时又指明了按此分类证明的途径.
学习就像爬山，学生不希望总有仙人指路，希望自己具备一双视野开阔的慧眼，练就能深入思考的大脑，获得寻找山路的能力.
二、寻找自然的思路
圆周角定理中有两层意思，一层意思是“同弧所对的圆周角相等”，另一层意思是“一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”.圆周角定理教学的实质就是挖掘揭示这两层意思的思维过程.圆周角定理的探索与证明的思路来得越自然越好.
如何发现“同弧所对的圆周角相等”这一结论？
这可以从此前已知的结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”起步.如果换个角度分析该结论，就得到隐在它后面的另外涵义，即在图1（1）中，直角三角形ABC的斜边中点D是三条等长线段AD、BD、CD的公共端点，则∠ACB是以AB为直径的圆上的圆周角.
注意到，以AB为斜边的直角三角形有无数个，如图1（2）所示的
等就是其中的四个，也就是说，以AB为斜边的任意直角三角形的直角顶点都在以AB为直径的圆上.
再有，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是成立的，所以，将结论“以AB为斜边的任意直角三角形的直角顶点都在以AB为直径的圆上”倒过来说也是对的，简而言之，即“直径上的圆周角都是90°”.而直径上的圆周角所对的弧是半圆，所以有结论：半圆所对的圆周角相等.
有了这个结论，便可以追问：只有半圆所对的圆周角相等吗？随便一条弧所对的圆周角是否相等呢？
针对新的问题，再看看有没有熟悉的特殊角例子，内接于圆的等边三角形就是熟悉的特殊例子，三个顶点将圆周三等分，如图2，∠A=60°，再作∠ABC的角平分线，它交圆上另一点A'，∠A'BC=30°，BA'是直径，于是∠BCA'=90°，得到∠A'=60°；∠A和∠A'都是
所对的圆周角，可见，所对的这两个圆周角相等，进而大胆猜想：60°弧所对的圆周角相等.
至此可以进一步猜想：同弧所对的圆周角相等.
这种思路是源于已有的知识积累，旧知识是新知识的摇篮.将已有知识与新概念相结合，能够发现新结论，新旧知识顺畅相连.
怎样发现“一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”？
思路1：如果就着刚刚得到的猜想继续思考，这个结论呼之即出，就图2而言，因为的度数是120°，这也是这段弧所对的圆心角的度数，这段弧所对的圆周角是60°.于是可得：120°的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.进而猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
思路2：如果经过测量若干个同弧所对的圆周角，猜想出“同弧所对的圆周角相等”，这个结论是说“一条弧所对的所有圆周角都相等”，这些圆周角不是两三个，也不是有限个，而是无穷多个.这时，一个问题便自然产生，无穷多个角都相等就意味着它们都等于一个确定的值，这个值是什么呢？
无疑，这个确定的值应当由这个图形中的确定量来决定.那么，在这个图形中有什么确定的量呢？显然，圆周角所对的弧有确定的度数，而且这段弧所对的圆心角是唯一的，一般来说，讨论两个角之间的度量关系要比讨论一个角和一段弧的度量关系更容易，于是，研究对象被聚焦到一条弧所对的圆周角和圆心角上.
可以经测量再度猜想，得出结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.也可以像下面的定理证明一样推导出结论.
怎么证明圆周角定理？
几乎在所有的教科书上，圆周角定理的证明都是将圆周角与圆心的位置关系分成三类，先证圆心角的顶点在圆周角一条边上的情况，证后，通过添加辅助线，将其他两种情况都转化为第一种情况来证.这个证明无可非议，但这种方法是怎么想出来的？如果在证明定理之前教师先让学生对圆周角与圆心的位置关系进行分类，实在是让人摸不着头脑.到证明定理的时候，教师“引导”学生利用刚刚得到的圆周角与圆心的位置关系分类，学生似乎恍然大悟.这种现象也许能解释为：教育者铺垫台阶，学习者“拾级而上”，符合学生的认知水平，课堂教学顺利了.其实在这样的教学中，学生亦步亦趋，哪里有真正的独立思考？到头来，学生在独立面对一个新的问题时仍感束手无策！这种尴尬实为教学之痛.
学生证明定理的过程应当是独立思维解决问题的过程，课堂教学就是要引导学生学会思考，能让证明思路来得自然.
对于圆周角定理的证明，无需上述的事先铺垫.从某个角度入手，顺理成章的思考一些问题即可解决.譬如，我们可以如下思考：
①定理是关于圆周角和圆心角度量关系的命题，那么就要将这两个角放到自己熟悉的图形中去，这个图形是能够显示它们之间的度量关系的.
②在一段弧上随便画一个圆周角，如图3（1），在这个图中，显现不出定理.不过，既然一段弧上有无穷多个圆周角，那么是否存在一个特殊位置，使圆周角与圆心角位于我们熟悉的图中.于是，运动点A，当AB与OB共线时，出现了图3（2），此时，能够从中读出圆周角与圆心角之间的度量关系，∠BOC是△OCA的外角，∠BOC=2∠BAC.定理在这种特殊情况下得证了.
③考虑一般情况，回到图3（1），因为有了在特殊情况下证明定理的经验，一个最简单的想法就是试图利用这个经验，再来审视这个“特殊”，它是特殊在了A、O、B共线上，于是连接AO，并延长交⊙O于B'点，如图3（3），这时出现了两个图3（2）中的三角形外角关系的图，由此可证明在图3（3）下的定理.
但是，在②的讨论中随手画的图3（1），点O是在圆周角∠BAC的内部，还有点O在圆周角∠BAC的外部情况，前者的证明还不能直接适用后者；不过，这时解决这个问题就容易了，连接AO，并延长交⊙O于B'点，如图3（4），又出现了两个图3（2）中的三角形外角关系的图，由此可证明在图3（4）下的定理.
经过①～③的思考，即可完整地证明圆周角定理.
这个过程似乎有些啰嗦，但它是一个朴素自然的思路，对于每一个学生，他在定理证明中应当获得的不仅是对定理正确性的认证，更重要的是培养好的思维习惯，学会解决问题.如果只会模仿，也就只会解决见过的同类型问题，还是不具备解决问题的思想方法和基本策略，没有解决新问题的能力.波利亚①在他的著作《怎样解题》中说：如果你不能解决所提出的问题，可先去解决一个更特殊的问题，或解决这个问题的一部分.在②中就是采用了“特殊化”的方法，这种方法是克服困难的最重要的杠杆之一.
三、让思维展开翅膀
一次，我听一节圆周角定理的课，教师让学生用几何画板去发现同弧所对的圆周角相等，具体做法是让学生自己选一段弧，作出这段弧上的若干个圆周角∠A，∠B，∠C，…，然后分别读出这些角的度数，当然教师期望读出的这些数是一样的.但是，学生甲读的是：“∠A=73°，∠B=73°，∠C=74°，∠D=73°”，教师马上说：“你错了”，学生甲说：“没错呀”，教师说：“你看看点C是在圆周上吗？”学生甲动了动鼠标，调整了一下点C的位置，当73°的数出现的时候，赶紧读出：“∠C=73°”.教师听后满意了.
课后，这位教师要听我对这堂课的意见.
我说：真希望你与学生甲互动中，能追问“是什么原因使∠C=74°？不在圆周上的角的度数与圆周角的度数大小有什么规律？”
这位教师说：“那可不行，那样就出现了圆内角和圆外角的概念，超出了《课标》要求，增加概念就增加了学生的负担”.
我问其他老师：“同意这位老师的意见吗？”
有几个教师点头同意.
面对这种现状，我确实感到遗憾.学生甲的出现给数学教育赋予了多么好的良机！如果让学生的“鼠标探索”进一步，将∠C明显地拽回到圆内，一个事实出来了：一条弧所对的圆内角大于圆周角；再将∠C拉到圆外，另一个事实有了：一条弧所对的圆外角小于圆周角.
虽然在探索和归纳上述结论时出现了圆内角、圆外角的概念，但是它绝不会给学生带来负担，相反，会给理解和掌握圆周角的性质带来帮助，有比较才有鉴别，一件事物的特征往往在与另外事物的比较中才显得更加清晰！
另外，我们把三个结论（同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆内角大于圆周角，同弧所对的圆外角小于圆周角）综合到一起，便得到结论：同弧所对的圆周角相等，且同弧所对的相等的角的顶点是共圆的.这个结论蕴含了四点共圆的判定定理.这个定理的得到如此自然，在不知不觉中浮现出来！
也许有的教师又说，判定四点共圆不是《课标》内容.没错，我们并没有刻意去学习四点共圆的判定定理，我们也不准备围绕它做大量的习题，但毋庸置疑的是，它是课堂上学习过程的自然导出.
如果教师无视课堂上学生活生生的操作活动和思维活动，刻意地捍卫教师课前设计的教学流程，那么课堂教学就死水一潭，表面上活跃的学生活动，也只不过是教师导演的木偶剧.如果《课标》安排了什么就教什么，《考纲》有什么就要求什么，其他内容一概“屏蔽”，那么《课标》、《考纲》上的内容学起来也费劲，学生在老师的严控下渐渐沉闷了，是不会有大出息的.
数学教育要让学生的思维展开翅膀，不要搞那么多禁区.只有不断地放飞，才能变得结实，才能飞得高，才能扩大视野，才能越飞越高兴.
注释：
①乔治·波利亚（1887-1985），美籍匈牙利数学家、数学教育家.