中美教材习题的数学认知水平比较——以二次方程及函数为例，本文主要内容关键词为：中美论文,为例论文,习题论文,认知论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教材是体现课程标准的理念、目标和内容，直接指导课程实施的潜在实施课程[1]。近二十年来，教科书在数学教和学中的作用，已经在国际数学教育领域中受到越来越多的关注，然而，和数学教育研究的其他领域相比，聚焦教材的研究是不够的[2]。对数学教材的主要部分——习题的比较研究则更少。
为此，我们选取代数的核心专题之一“一元二次方程及二次函数”，中美教材共有的习题部分进行比较研究。美国教材我们选取影响较大的出版社PRENTICE HALL的数学教材《代数1》第10章“二次方程及函数”，包括：探索二次图形，二次函数，开平方法，因式分解法，配方法，公式法解二次方程，使用根的判别式，选择线性、二次的或指数模式等八节。和它对应的是我国上海教育出版社出版的《数学》，其中两章内容：第二十六章“二次函数”（九年级第一学期），包括二次函数的概念，二次函数的图像两节，第十七章“一元二次方程”（八年级第一学期），包括一元二次方程的概念，一元二次方程的解法（开平方法，因式分解法，配方法，公式法，根的判别式），一元二次方程的应用3节。本文以顾泠沅提出的数学认知水平分析框架为依据对该部分习题进行比较，以期对两国教材有更深认识。
一、数学认知水平分析框架
布卢姆等的《教育目标分类学》在认知领域有6大类别：知识、领会、运用、分析、综合、评价。他的分类理论由于缺乏可靠的实证，其在连续性和层次性方面存在漏洞。鉴于此，顾泠沅等先后两次(1990,2007)进行大样本测试，从大量外显行为所表征的教学目标中析取内隐主要因素，由此确定目标框架的层次并研究分类的连续性[3]。最后经过改造，数学认知水平分析框架分为4层次架构：
水平1：计算——操作性记忆水平。水平2：概念——概念性记忆水平。水平3：领会——说明性理解水平。水平4：分析——探究性理解水平。
其中，水平1、2为记忆水平，为较低认知水平。水平3、4为理解水平，属于较高认知水平[3]。第4水平（探究性理解水平）通常称作高认知水平。
二、数学认知水平分析框架在“二次方程及函数”中的具体化
结合二次方程及函数内容，我们把数学认知水平分析框架具体化。
水平1：计算——操作性记忆水平，按照课本要求的程序或方法进行基本计算或对问题中的元素进行常规操作。这里我们把与较简单例题形式相同的练习、作图等归为水平1。如，例题：用开平方法解方程：
，练习题为：开平方法解方程：
，和
，学生按照课本要求的方法进行基本计算即可，我们把此类练习归为水平1。又如，例题：画出函数
的图像，练习题是：画出函数
的图像，学生按照课本要求的程序操作即可。
水平2：概念——概念性记忆水平。考查学生对课本概念、规则、表达形式记忆的题目。如找出函数
的对称轴和顶点坐标，学生只需记住对称轴和顶点坐标公式代入即可。
水平3：领会——说明性理解水平。能理解概念、原理、法则和数学结构的内涵，从而能根据课本例题解决常规的问题；涉及转化问题的不同形式，并比较、分析常规问题的不同变式；合理选择数学方法，灵活运用所学知识；能够根据已呈现的关系读懂推理思路。这里我们把和例题形式不同的练习题归为这一类，如，例题：解方程-x(x-4)=2(x-4)，练习题是
，其形式发生变化，归为水平3练习；用适当的方法解方程（若干），学生需要合理选择已学的多种数学方法解题。对于较为复杂的例题，学生只有理解了原理等才能做同样的练习，所以我们把这类练习也归为该水平。
水平4：分析——探究性理解水平。能分析、创造性地解决没有接触过的非常规问题，把分析过程综合起来、通盘考虑，对于问题的解决过程或方案可以做出价值判断。这里，我们把与例题差别较大，学生没有接触过的问题归为非常规问题。也包括开放题，数学问题一般化或特殊化，数学推理、证明等。例如，解释二次函数中a、b、c变化是如何影响函数图像的等。
三、用数学认知水平分析框架比较题目
根据以上数学认知水平分析框架，我们对中美教材“二次方程及函数”中的练习题进行分类（见表1）。
表1 中美教材“二次方程及函数”练习题认知水平比较
注：水平1：计算——操作性记忆水平；水平2：概念——概念性记忆水平：水平3：领会——说明性理解水平；水平4：分析——探究性理解水平：表中括号前数字为该水平题目个数，以小题计算，大题中有若干小题以小题计算，多项选择题则不分。括号内为该数字占全部题目的百分比。
四、从习题认知水平比较表得出的结论
从表1中可以看到，在习题总量上，美国教材远远大于中国教材（我们也考察了美国其他出版社的数学教材，发现习题多是共性）。从认知水平看，在中美教材中，水平1：操作性记忆水平的题目所占比例相似，即两国的练习题中和例题形式一样或非常相似的题目比较多，约占三分之一。水平2：概念性记忆水平的题目，中国教材明显高于美国。把水平1、2题目合计，中国教材中记忆水平（较低认知水平）的练习占55.4％，美国教材中记忆水平的练习占40.3％，比中国低15.1％。在水平3：说明性理解水平的题目中，美国教材比中国教材多5.8％，相差不大，说明其常规题目等的比例也比较大。中美教材中水平4：探究性理解水平的题目比例相差较大，中国教材比美国低9.3％。水平3、4题目合计，美国教材理解水平（较高认知水平）的练习题比中国高15.1％。
五、进一步分析
从表中我们看到，中美教材在水平1（操作性记忆水平）和水平3（说明性理解水平）的题目上比例相差不大。而在水平2（概念性记忆水平）和水平4（探究性理解水平）的题目上则差别较大。差别在哪里，我们有必要对其作进一步分析。
1.水平2概念性记忆水平题目的比较
我们把中美第2水平的练习题目根据内容分类，观察其特征（见表2）。
表2 中美教材“二次方程及函数”概念性记忆水平各类练习题数量比较
注：中国教材中开口方向和求对称轴方程和顶点坐标题目是同一题，我们这里不作重复计算。
从表2中可以看到，中国教材对二次函数，一元二次方程，判别式，完全平方等重要概念安排了较多练习，对于对称轴方程和顶点坐标公式给予了充分重视，安排了更多练习。虽然从总量上看，中国教材练习题目比美国少很多，但该部分题目却比美国多，比例也更高，充分显示了中国对基本概念的重视。
而美国教材中，“写出正方形和圆的面积公式”，“写出图中棱柱的表面积公式”，“38100吨是多少磅”等和本章主要内容无关的练习就占22％。重要概念（二次函数，一元二次方程等）的练习则没有，对称轴方程和顶点坐标，求判别式值的练习也不够。而据图形找出顶点，它是否为最大或最小值，选择题：U型图表示的是（抛物线，完全平方），（判别式，对称轴）能够用来判别二次方程解的数目等题目则太简单。
2.对水平4（探究性理解水平）题目的比较
与概念性记忆水平题目结果不同的是，在水平4（探究性理解水平）的题目上中国教材数量少，比例低，与美国有差距。下面通过分类，我们具体看中美水平4题目各有什么特点。
(1)中国教材中探究性理解水平练习题
中国教材中二次方程及函数水平4的练习题少，我们归结为以下几种：
①探究题（1道题）。
几乎每章后都有“探究活动”，这是中国教材的特色。第十七章探究活动题目：解一个特殊的方程
。该题是解一元三次方程，非本章一般方法可解，教材引导学生逐步探究。第二十六章“二次函数”没有探究活动。
②提出猜想，构造模型题目（1道题）。
只分析出条件和结论间主要关系，形成数学模型。如已知某公司投入的广告费与销售量倍数的关系表，知是二次关系，求二者的函数解析式（不足之处是这个模型给定：二次关系式）。
③数学推理与证明题（4道题）。
因为本章特点，教材中没有严格的证明题，但也有需要依据逻辑推理作出判断的题目。例如，如果抛物线
的对称轴是x=1，那么它的顶点坐标是什么？如果抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，那么，它的开口方向是什么？
④和例题形式变化较大的非常规题(3道题）。
例如，26.2“特殊二次函数的图像”，其内容为考察抛物线
的图像，本节练习3：抛物线
，k为何值时开口向上？k为何值时开口向下？练习和内容相比有较大变化，归为水平4。
(2)美国教材中探究性理解水平练习题
①开放题(21道题）。
美国教材中每个练习都有开放题。例如，写出一个抛物线的方程，使它与x轴有两个交点，并有最大值；对于方程
，找出所有的k值，使方程分别有0,1,2个解；写一个问题，你能利用解二次方程找到矩形的面积，画图表并解题，等等。
②一般化，特殊化题目（11道题）。
美国教材中一般化的题目没有专门名词，常以写作题，批判性思考题等形式出现。如解方程
和求
的顶点，用h代替7进行推广，并解释
的顶点是多少；比较解方程mx+b=0和
方法；（已给出
的图）
有对称轴吗？立方的图有对称轴吗？；你怎样利用判别式写出有两个解的方程等。
③提出猜想，构造模型（6道题）。
例如，一组学生测定了乒乓球掉落的时间和距离的数据，问哪种模式最适合这些数据？又如，调查完成你所在城市的年份和人口关系的数据，使用指数或二次方程模式使符合数据。
④数学推理与证明题（21道题）。
例如，一个矩形周长50，它的面积可能是136吗？若是，尺寸是多少？若ac＜0，方程将有时，总是，还是没有两个解？如果钟表慢了，你是加长还是缩短摆长使它变快，解释原因（已知摆长和时间的关系式）；下列哪个是方程
的图？（已知4个图形）；如果一桶油漆能涂
的圆，那么两桶油漆能涂的圆的半径是原来的两倍吗？等等，需要依据本章数学知识进行逻辑推理从而做出判断。
⑤与例题形式相比变化较大的非常规题（36道题）。
例如，例题是用因式分解法解方程，练习是：找到一个方程，使它的两个解是3、-2，形式变化较大；例题是用因式分解法解一元二次方程，练习是：用组合形式分解方程左边式子，然后求解：
。
⑥探究题（6道题）。
和中国教材相似，美国教材每章后有“活动实验室”。本章研究的是太空中的失重问题。
我们把中美教材中水平4探究性理解水平练习题列表作比较（见表3）。
表3 中美教材“二次方程及函数”探究性理解水平题目数量比较
从表3可以看到，中国教材在水平4上的题目与美国相比，不但数量相差很大，而且类型也较少。开放题，一般化、特殊化的练习题没有，探究题，构造模型的题目仅一道，数学推理与证明的4小题实际上是一道大题中的4小道。而美国教材中水平4的练习题类型较丰富，注重开放题，推理题，与例题相比变化较大的非常规题目比较多，也注意培养学生一般化（归纳）的能力。
六、结论和建议
从以上研究可以看到，在习题总量上，美国教材远远大于中国教材。从认知水平看，水平1：操作性记忆水平的题目中美教材所占比例相似，约为三分之一。水平2：概念性记忆水平的题目，中国教材明显高于美国。在水平3：说明性理解水平的题目中，美国教材与中国教材相差不大，说明其常规题目等的比例也比较大。水平4：探究性理解水平的题目，中国教材比美国低许多。
研究水平2：概念性记忆水平的题目，我们发现，中国教材对主要概念、公式等给予了充分重视，安排了更多练习。虽然从总量上看，中国教材练习题比美国少很多，但该部分题目却比美国多，比例也更高。充分显示了中国对基本概念的重视。而美国教材对主要概念安排练习少，有的甚至没有安排练习，无关练习题占比例较大。
比较差别较大的水平4探究性理解水平练习题，我们发现，美国教材中水平4的练习题类型较丰富，注重开放题、推理题、非常规题，也注意培养学生一般化（归纳）的能力。而中国教材不但在数量上很少，而且类型也较少。开放题，一般化、特殊化的练习题没有，探究题、构造模型题仅一道题，数学推理与证明题也不足。
顾泠沅领导的青浦实验小组分别于1990年和2007年，对青浦的8年级学生进行了大样本的数学认知水平测量。结果表明，17年来，学生在前3个数学认知水平上都有了长足的进步，但在第四水平上不仅没有提高，反而有所下降。蔡金法的研究所得到的数据[4]也表明，计算题的成绩，中国学生远远比美国学生高，对于简单的问题解决也是一样的。但在开放题中，美国学生反而比中国学生好一点。这和我们对教材的分析一致。
美国国家数学咨询委员会在2008年颁布的总结报告《成功需要基础》中，特别强调了高水平的数学能力对提高国家竞争力、国民素养及生活水平的重要性。最近十年来，新加坡数学教学中，培养学生的高层次数学能力在数学教育界是一个最受关注和努力的方向。新加坡于2005年公布的最新数学教学大纲指出，新加坡中小学数学课程的核心目标是发展学生解决数学问题的能力，其中的数学问题包括非常规的、开放性的和现实世界中的问题[5]。
比较是为了知己知彼，学他人长处，改进自己不足。由前面结论，我们认为，中国教材要增加练习题的数量，如练习、一章复习题等，给学生、教师提供更多可选择的习题。中国一向重视双基，注重概念的练习是必要的，在增加练习题总量基础上其比例应适当降低，把概念记忆水平题目的形式作适当变化。和例题形式完全相同的练习题比例可降低些，增加变式练习，即增加较高认知水平练习题。特别是要大量增加水平4探究性理解水平练习，多给学生提供一些非常规问题、情景题、开放题等，使学生创造性解决问题，培养学生提出猜想、构造模型，一般化，数学推理证明等高水平认知能力。