有关函数教学的若干思考，本文主要内容关键词为：函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
函数是中学数学的重要内容，同时也是学生普遍感到难学、教师普遍认为难教的内容.在平时的听课调研中，笔者发现有关函数的教学确实存在许多问题.本文以浙教版《义务教育教科书·数学》“函数”内容为基，结合案例，呈现“函数”教学的相关思考和建议，以飨读者. 一、“循序渐进”渗透函数思想 浙教版《义务教育教科书·数学》安排学生首次接触函数概念是在八年级上册第五章.尽管八年级学生已经形成一定的抽象思维能力，教师也使出浑身解数来设计教学，但学生对概念的理解仍然云里雾里，甚至许多学生到初中毕业都未能很好地理解. 据笔者研究分析发现，当前教师在“函数”教学中存在以下误区：引入函数概念时，重点着眼于函数的三种表示形式介绍，忽视函数概念的形成过程；函数概念只作一课时介绍，在函数概念学习前后，都很少提及函数概念；在学习特殊函数时，重点关注解析法表示的函数形式.正是这些教学误区，导致学生对函数概念的理解停留在表面，加上后续很少涉及函数概念，又使学生逐渐遗忘，因此，笔者认为，函数概念及其思想的教学应该“循序渐进”地渗透在有关函数内容学习的每一个过程中，潜移默化地建构函数思想. 现在，不妨让我们来整理几处函数概念学习前，教材中所体现的函数思想：在函数教学之前，七年级上册“4.1用字母表示数”是函数思想的萌芽，“4.3代数式的值”体现了“代数式的值随字母取值变化而变化”的函数思想.七年级下册“二元一次方程”一章中，未知数x，y所满足的二元一次方程，从变量的角度来看就是函数，用含x的代数式表示y既是代入消元法的知识准备，也是函数解析式的呈现方式.七年级下册“分式”一章中，探索分式有意义的条件相当于探索自变量的取值范围，探索分式值为零的条件相当于已知函数值求自变量x的值.从以上分析可知，函数思想不仅体现在函数概念教学之后，在函数概念教学之前，早已有所体现事实上，函数统领着代数式、方程、不等式，函数解析式中“=”的一侧通常就是以代数式的形式呈现，用未知数的观点看函数关系就是方程，不等式就是两个函数之间关系表示.因此，笔者认为，我们在函数教学的前和后，都应渗透函数联系与变化的本质. 案例1 七年级下册“探索分式有意义的条件” 在学生获得分式的概念以后： 教师：刚才我们已经知道，分式是特殊的代数式，当代数式中的字母确定时，我们可以求得代数式的值，现在，请你任取x的值，求出分式的值，完成下列表1：
评析：本教学片断延续代数式的学习路径，设计一个开放性的问题，学生在边取值边代入的过程中感受到：当字母x取特定的值时，分式的值也就随之而确定.课堂中，学生在取值的过程中“涂涂改改”，这就是学生思考的过程，在这个过程中，他感到分式中字母的取值说“任意”并非“随便”，它有别于以往碰到的整式.这样的教学与常见的“先告知学生分式有意义的条件再加练习训练”不同，它能潜移默化地渗透函数思想，帮助学生形成学习代数式的路径. 在函数概念教学前后贯穿函数思想的教学，需要我们用函数的观点来审视有关函数内容，特别地，在学习函数概念以后，我们不能出现“忘根”现象：一次函数、二次函数、反比例函数的概念教学完全脱离函数，直接通过“出示众多函数，寻找具有公共特点的函数（比如自变量都是二次）”来进行函数教学，三角函数教学只通过直角三角形介绍线段比规定，导致学生只认识特殊函数的解析式. 二、“精致过程”描画函数图象 描画函数图象的教学，许多教师对学生的教学目标定位于“知道什么函数对应什么图形并会画图”，学生能记住一次函数对应直线，二次函数对应抛物线，反比例函数对应双曲线，也能学会按列表、描点、连线的步骤画图，但不知道列表时如何取一些代表性的数据，更不理解“满足一次函数解析式的点都在直线上，直线上任意一个点的坐标都符合解析式.”这种只讲“如何画不讲为什么这样画”的教学，虽然学生也“经历”画图的过程，但这是“描摹”的过程，不是启发学生思考的过程，属于伪过程.描画函数图象的过程短暂或伪过程现象使得学生对图象的来龙去脉理解不到位. 案例2 八年级上册“一次函数的图象” 教师：上节课，我们学习一次函数，你们知道一次函数的图象是什么形状吗？ （学生摇头示意不知道） 教师：让我们一起来探索一次函数y=2x，y=2x+1的图象，请大家填表2：
教师：画一个平面直角坐标系，并在平面直角坐标系中画出y=2x的各个点，注意点（x，y）中横坐标x、纵坐标y分别是表中x、y对应的一对值. （学生描画点） 教师：观察这些点，它们都在同一条直线上吗？ （学生点头） 教师：换一个解析式试一试，请你模仿刚才的过程把y=2x+1描画在平面直角坐标系中. （学生重新做一遍，发现也是一条直线） 教师：一次函数y=kx+b（其中k、b为常数，k≠0）的图象是一条直线. 评析：以上教学片断中，教师让学生按照列表、描点、连线的步骤画一次函数的图象，也确实让学生体验画图的过程，但是为什么要先列表？表格中为什么取这些数据？数据为什么取5个？更没有追问“以满足一次函数解析式的有序数对为坐标的点都在图象上，图象上的点的坐标都符合解析式”，以让学生理解函数图象的完备性和存在性.事实上，浙教版《义务教育教科书·数学》在一次函数图象之前，只介绍过函数有解析法、列表法、图象法三种形式，本节课要在此基础上，让学生感受有些函数同时兼有这三种表现形式，因此本节课的教学顺序如图1，先引导学生写出符合一次函数解析式的有序数对，学生在写的过程中可能是随意而无序的，然后引导学生思考取哪些值、个数多少比较合适，让学生感受为了使得描点更加有序，建议列表、按照从小到大的顺序取代表值，这样在边描点的过程中就边感受这些点从小到大连线可能得到的图形，最后通过观察得出图象是一条直线.但此处在学生得到图象是直线以后，并不能止步，应继续追问：以符合解析式的其他有序数对为坐标的点是否都在直线上？虽然，我们不要求学生做出推理论证，但在这样的追问中学生能够感受到完备性，接着，反过来追问：直线上任意一点的坐标是否符合函数解析式？让学生感受存在性，由此得到一次函数的图象是直线.
在有了一次函数的图象是直线的探索以后，后续还将碰到探索反比例函数的图象是双曲线、二次函数的图象是抛物线，学生已经知道可以通过列表、描点、连线来描画图象，因此，可以重点让其思考列表应该取哪些代表值？可以引导学生借助解析式进行思考，在描点以后，让学生展示一些画法，修正其在画反比例函数图象时“图象与y轴相交，连线不光滑，端点断头”等常见错误，通过师生、生生之间的辨析，渐渐明晰图象的形状和画法. “精致过程”探索图象画法，主要指的是教师要引导学生思考如何画图，进而对画图过程中的每一步骤思考操作的理由，关注细节的生成，而不是把画图的步骤直接告诉学生. 三、“数形结合”理解图象性质 探索函数图象的性质是函数内容教学的重中之重.那么，如何探索得到函数图象的性质，大部分教师采取的方法是“先画图，再观察，后归纳”.
教学过程简述： （1）画出函数y=2x、y=2x+4的图象； （2）观察两条直线，你们发现它们有什么关系？由此你能得到什么结论？ （3）配备练习（略）. 评析：以上教学片断学生确实记住了这个结论，并且也会运用这个结论解决问题.但仅仅是知其然，不知其所以然.虽然学生经历了从画图中获得猜想的过程，但是教师跳过“验证和推理”直接从“猜想平行到归纳结论”，这个过程与“数学教学要培养学生严谨的思维能力”教学目标背道而驰.事实上，我们可以这样组织教学：在学生猜想两条直线的位置关系以后，不止于画图，而是进一步启发学生思考、合作探究.学生可能会换一组一次项系数相同的一次函数，进一步验证，然后运用演绎推理证明“k相同，两条直线互相平行”.事实上，如图2，易知点A、B的坐标分别是（-2，0）、（0，4），在直线y=2x上取纵坐标为4的点C，由点C向x轴作垂线，垂足为D，则△AOB≌△ODC（SAS），从而有AB//CO.然后再进一步引导学生证明一般形式的
具有平行关系.这个过程，既有实践活动（画图、观察），又有思维活动（猜想、验证、证明），体验“合情推理用来发现结论，演绎推理用来证明结论”.
在初中阶段，函数的性质主要研究函数解析式系数变化与图象位置关系、单调性、最值、图象的对称性等，对于每一条性质，我们都可以从“数”和“形”两个方面来认识.“数”可以理解为解析式的视角，“形”可以理解为图象的视角，“数形结合”研究函数性质，就是充分运用解析式和图象来解决问题，这也是研究函数问题的基本思路. 四、“模型思想”贯穿函数应用 函数模型在数学和现实生活中都有广泛的应用，教材在这方面提供了若干生动并具有实际意义的素材，全国各地历年的中考试题也作了很好的引导.从实际情况来看，学生最擅长于运用解析式解决问题，而不是运用函数模型思想来思考问题，这或许反映我们对学生函数模型思想的教学渗透力度还不够.这里呈现笔者执教的一则体现函数模型思想的教学案例. 案例4 八年级上册“一次函数应用（第2课时）” 教师：我们不妨先来探索一次函数y=10x+30在表格中变化的规律.表3是根据一次函数y=10x+30得到的一列数据，通过计算，看看一次函数的数据变化有什么规律？
教师：这个变化有什么规律呢？ 学生1：自变量每增加1个单位，相应的函数值就增加10个单位.
评析：怎样让学生经历一次函数模型的建立过程？本教学片断首先让学生通过表格中数据的计算发现一次函数的变化特点，然后由教师进行严谨分析（这里考虑到学生目前的学习水平，没有让学生进行说理），最后从列表法总结出一次函数的规律是“当自变量每增加一个单位时，函数值的变化量是固定的值”，既让学生理解一次函数的“数值、文字表达（每分钟、每秒等）”特征，又经历一次函数模型特征的认识过程. 五、“系统一致”处理各函数间的关系 函数内容的基本学习套路是：函数定义→函数图象→函数性质→函数应用，那么当我们学习一种特殊函数后，怎样再来学习第二种特殊函数？听课调研中，较多的情况是特殊函数一种一种介绍，每学一种函数都是“另起炉灶”，学生只知道各函数的解析式之间有区别，所做的题目也不一样，根本不知道该如何学习函数.如果教师在学完“一次函数”以后，能够帮助学生梳理学习路径，这样，当他在继续学习新的特殊函数时，就可以运用以前学习函数的经验来进行学习，把学习新函数的过程变成对一类函数的研究过程，这样就能构建逻辑连贯、前后一致的教学. 案例5 九年级下册“三角函数”的导入教学 问题1：如图4，斜坡的倾斜角为30°，当器材P沿斜坡OB向上搬运5米时，点P离地面的距离PH是多少米？当向上搬运x米呢？
问题2：在器材P向上搬运的过程中，点P离地面的距离PH、点P离起点O的距离OP等量中，有哪些量发生了变化？有哪些量不发生变化呢？ 评析：教师创设一个“器材沿斜坡运动”的问题情境，使得学生发现“当∠AOB=30°时，
”，激起学生回忆“函数指的是对每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与它对应”，巧妙地把三角函数放在函数的概念体系中进行教学.接着，通过“变量、不变量”的找寻，很自然地发现
的值不变（如图5，运用相似知识说明比值与点P在角边上的位置无关），而是随着角度的变化而变化（如图6，角度变成60°，比值随着改变，如图7，点P在以点O为圆心，OP为半径的圆上，比值
中分母OP不变，当角度增大时，分子PH越来越大了，比值就越来越大），因此得到
是角度的函数，从而很自然地引出三角函数的概念.这样一个循序渐进的过程，让学生体会锐角三角函数产生的必要性，理解锐角三角函数是一个以角为自变量的函数，使学生逐步理解锐角三角函数的意义和符号表示，有效地突破难点.
“理解数学是教好数学的前提”，数学教师应深入解读文本，并结合学生的实际设计教学，唯有如此，才能为学生的终身发展奠基.
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