摘要：工程问题是小学数学应用题学习重点，也是难点。工程问题的特殊性在于：(1)具体的工作量处于“缺席”状态；(2)将工作量当作“单位‘1’”，在分数的意义上考察部分与总体的关系；(3)工作效率之和也被当作每份数。 一些复杂工程问题涉及分数的概念，对学生来说理解难度更大。为了促进学生理解并解决工程问题，需要：(1)借助于单位“1”理解“倍-份”关系；(2)厘清工作量、工作效率与工作时间的对应关系。
关键词：工程问题；“倍-份”关系；“部-总”关系；单位“1”
1 引言
我们先来看一个具体的工程问题：
例1，一段公路，甲队单独修需要30天，乙队单独修需要15天。那么，两队合修需要多少天？
这里给出的已知条件是各队单独完成(以下简称“独做”)所需时间，未知数是两队合做所需时间。
已知条件与未知数有很多变式：合做所需时间也可出现在已知条件里；独做、合做的份额与时间顺序也有很多安排。
工程问题一直是小学数学问题解决中的经典问题，是重要内容之一，也是一大难点。
一般而言，在工程问题中，每天所完成的工作量(无论是独做还是合做)，可当作“每份量”，所需时间可当作“份数”，所完成的工作量则是“总量”。它可以用如下公式来表示：
工作效率(每份数)×工作时间(份数)=工作量(总量)
这样看来，其实质就是：
每份数×份数=总量
这正是乘法的基本涵义，是相同加数相加求总量。换言之，也就是“倍-份”关系。然而，在实际的教学中，它却是一大难点。那么，造成它难于理解的原因何在？
如果从“倍-份”关系出发，则可把握工程问题的实质。那么，是哪些因素妨碍了学生对“倍-份”关系的理解？或者说是哪些因素掩盖了工程问题中的“倍-份”关系？这又需要我们首先弄清楚工程问题中“倍-份”关系的特殊性。探明了特殊性，才可能有针对性地寻找理解的路径。
2 工程问题的特殊性
仍以上文所举的“例1”为例。在这一问题中，具体的工作量“缺席”，一般会将工作总量当作“整体1”(也就是单位“1”)。这样一来，甲队独做每天完成的整个工作量的1/30,乙队独做每天完成整个工作量的1/15。合作的工作效率则是两队独做效率的和，即(1/30+1/15)。然后，用总工作量“1”，除以合做的工作效率，则求出合做所需的时间(天数)，也就是1÷(1/30+1/15)=1÷1/10=10(天)。
从以上问题的解决过程来看，由于具体的总工作量“缺席”，解决问题的第一步是将其当作“整体1”。基于此，整个工程问题的解决借用分数的概念及其运算方法，把工作效率、工作时间与工作总量之间的“倍-份”关系放在分数里，或者说是在分数的意义上考虑“倍-份”关系。而且，效率之和也被当作每份数。由此看来，工程问题具有如下三个方面的特殊性。
2.1 具体的工作量处理“缺席”状态
在工程问题中，具体的工作总量，往往不直接给出。在文章开头所述的工作问题的例子中，各部分工程量和工作效率都没有具体的数值，用抽象的分数来表达，找不到“倍-份”关系中“每份数”、“份数”和“总数”分别对应的量，这也造成理解上的困难。
2.2 在分数意义上考察的“倍-份”关系
上文已提及，解决工程问题的第一步是将总工作量当作“整体1”(也称单位“1”)，然后用它除以工作时间面得出一个分数，这个分数即是工作效率。整个工程问题的解决借用的是分数的概念与运算方法。
加拿大阿尔伯塔大学Kieren教授将分数概念分为部分-整体（part-whole）、比率（ratio）、商（quotient）、测量（measure）和算子（operator）五类[1][2]。
工程问题中的分数表示的是“部分-整体”含义，也就是““部-总””关系。作为““部-总”关系理解时，分数a/b表示把一个整体平均分成b份，选出其中a份，体现了部分与整体之间的分割关系[3]。“倍-份”关系是在整数范围内的倍与份的关系，而“部-总”关系，则是在一个整体内的倍与份的关系。因而，“部-总”关系是特殊的“倍-份”关系。
学生们先在整数范围内认识“倍-份”关系，例如，“一个苹果5元，买2个苹果需要多少钱？”在这里苹果的单价就是“每份数”，苹果的个数就是“份数”，苹果总价是“总量”。在路程问题中，速度对应的是“每份数”，时间代表“份数”，路程就是“总量”。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆以上问题通常都是在整数范围内讨论“倍-份”关系，而工程问题中一般用分数和“单位“1””表征““部-总””关系，是在一个整体内用分数表示“部-总”关系或“倍-份”关系。
仍以文章开头的“例1”为例，这道题工程总量未知设为单位“1”，甲队单独修需要30天可以看作“份数”，把工程量分为30份，那么每份数（甲队工作效率）就是1/30。在这里，分数意义上的“倍-份”关系表达的是把一个整体分割成几份，取其中一份或者几份，而不是具体的数值，这是在理解上是一个难点(这个难点如何解决，详见下文第3部分)。
2.3 工作效率之和被当作每份量
在整数范围的“倍-份”关系中，“每份数”都是一个具体的量，例如“一个苹果5元，买2个苹果需要多少钱？”，在这里“每份数”就是苹果的单价，“倍-份”关系清晰明了易于理解。但是当工程问题中出现两个或以上工程队一起合作完成一项工程时，就会涉及工作效率之和的问题，这时就需要将“工作效率和”理解为“每份数”，合作天数是“份数”，合作完成的工程量为“总量”。
在文章开头的例子中，要想求两队合修的时间，需要知道两队合修的工程量与两队的工作效率和。合修的工程量就是工程总量，即“倍-份”关系的“总数”，两队合作的工作效率和就是“倍-份”关系中的“每份数”，合修时间就是“份数”。所以从“倍-份”角度解这道题就是套用公式“份数=总数÷每份数”，合修时间=工程总量÷工作效率和。
3 理解路径
3.1 借助于单位“1”理解“倍-份”关系
也就是在“1个整体”中理解“倍-份”关系。为了更好地理解分数意义上的“倍-份”关系，需要理解单位“1”的含义。工程总量未知时，通常设工程总量为“单位“1””，把整个工程当作一个整体或一个单位来处理。单位“1”指代的是总数，是整个问题的标准量，不是指具体的数值1[4]。先把整个工程看作“1个整体”，需要多少天完成，就把整个工程分成多少份(如30份)。工作效率就是每份数，这里的工作效率是相对于1整个工程来讲的，具有相对意义。如果30天(或30小时)完成整个工程，那么每天(或每小时)完成的就是“1整个”工程的1/30。尽管整个工程零件件数、公路的长度不知道，但工作效率与工程量的“倍-份”关系却是恒定的。
在文章开头的“例1”中，设工程总量为单位“1”，甲队30天完成相当于把工程分成30份，每份数1/30就是甲队的工作效率，同理可以求出乙队的工作效率。这时问题转化为已知工程总量和两队单独的工作效率求两队合修时间，把工作效率和看作新的“每份数”，求份数即可。这样，问题就迎刃而解了。
3.2 厘清工作量、工作效率与工作时间的对应关系
复杂工程问题需要学生理解对应的“倍-份”关系。基本公式为总量=每份数×份数，但是可能涉及到甲单独、乙单独和两队合作多种安排，相应的也会出现多种“倍-份”关系。
例2，一批零件，师傅和徒弟共同做需要10天完成。如果师傅单独做需要15天完成，那么徒弟单独做需要多少天完成？
首先设工程总量为单位“1”，解决这个问题需要找到师傅与徒弟合作的工作效率和工程量、师傅单独的工作效率与工作量、以及徒弟单独的工作效率和工作量。先看合做的“倍-份”关系，两人合作需要10天，把工作总量分成10份，每份1/10就是两人的工作效率之和。师傅单独做完整批零件需要15天，相当于把工作总量分成15份，每份数1/15就是师傅单独的工作效率。合作工作效率与师傅单独工作效率之差1/30就是徒弟单独的工作效率，所以徒弟单独做“倍-份”关系中已知总数（工作量）和每份数（单独工作效率），运用公式求出对应的份数（单独做需要的时间）即可。
理解并解决工程问题，可以将整数范围内的“倍-份”关系迁移到分数意义上的“部-总”关系，也就是类比于整数范围内的“倍-份”关系，促进学生理解分数意义上的“部-总”关系。具体来说，需要注意如下几点：（1）首先把工作总量当作单位“1”，以“1”除以工作时间则得到工作效率，尽管工作总量与工作效率的具体数值一直不知道，但工作时与工作效率的“倍-份”关系却是恒定的；（2）找到对应的“倍-份”关系，把相应的工作量、工作效率、工作时间对应起来，区分开哪些是单做哪些是合做的，涉及“合做”的，也要把工作效率之和看作是“每份数”。
参考文献
[1]Kieren T E.The rational number construct:Its elements and mechanisms.In T E Kieren（Ed.），Recent research on number learning.Columbus：ERIC/SMEAC，1980:125-150
[2]李健,&郑莹.(2018).分数概念的演变及其教学启示.内江师范学院学报,33(12),35-40.
[3]辛自强,&张睆.(2012).儿童的分数概念理解的结构及其测量.心理研究,05(1),13-20.
[4]蒋艳萍.(2016).小学数学中关于单位“1”的解析.新课程·小学(3).
作者简介：徐媛媛（1992.11-），女，单位：上海师范大学，主要研究方向：教育心理学。
论文作者:徐媛媛 卢盛华
论文发表刊物:《知识-力量》2019年11月51期
论文发表时间:2019/11/12
标签：工作效率论文; 关系论文; 工程论文; 份数论文; 工作量论文; 总量论文; 分数论文; 《知识-力量》2019年11月51期论文;