例谈影响数学观的高中数学概念教学，本文主要内容关键词为：高中数学论文,概念论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
目前无论是研究者还是一线教师，已经基本达成了共识，就是要在数学教育中努力提高学生的数学素养。李大潜院士说，我们读数学，提高数学素养是主要目的[1]。但是数学素养是什么，如何提高学生的数学素养却还是一个起步不久的话题。从数学的人文性来看，数学素养应该表现在全面理解数学、领会数学的本质、形成数学的思维方式、运用数学解决问题等方面。也就是说，数学素养应该表现在观念和行为方式两个方面，而观念是起决定作用的方面。因而，数学观是形成数学素养的前提和重要的组成部分。学生具有的数学观，决定其能否有意识形成自身的数学素养。
关于数学观的研究，至少有两个问题需要解决。数学观能不能自发形成？怎样在数学教学过程中促进学生数学观的形成？本文就这两个问题进行一些探讨，并结合一些概念的教学提出一些教学建议。
一、学生的数学观必须经过教师的培养才能形成
每个人在长期的数学活动中都会形成对数学的基本看法，也就是说对数学具有一定的认识，那是不是数学观就可以自发形成呢？有研究者认为，数学观可以在学生对数学的学习过程中形成，因而不需要有意识地进行培养。笔者对某师范大学的数学专业的三年级学生和某中学的部分数学教师进行了访谈。内容只有一个，就是请他们回答“什么是数学？”这一问题。结果无论是在师范大学未毕业的学生，还是中学教师，对此问题都不能明确回答，或“无言以对”。也就是说，上述人员在数学活动中，并未形成明确的数学观，我们从这一结果可以推知高中学生也难以自发形成数学观。
我们认为，学生在学习过程中形成的是对数学的感性认识，其实还未上升到观念的层次，认识不能等同观念。现代汉语词典在词条“观念”下，有两个解释，一个是思想意识，另一个是客观事物在人脑里留下的概括形象[2]。依据这一解释，观念应该是对认识对象的理性认识。由于高中生的年龄特征和所学的数学知识有限，要自发地从学习活动的感性认识飞跃到理性认识，形成数学观有一定的难度。解决学生的数学观的问题，就依赖教师的培养，依赖教师引导学生对数学这一对象本身进行思考，这样才可以使学生在充分认识数学的基础上形成数学观。
二、对几个概念教学中促进学生数学观形成的思考
数学观的形成依赖对数学的理解，对数学的理解途径是多方面的，概念是数学的核心，概念的教学是数学教学的核心，概念也是数学的基础，而一些重要概念又成为基础的基础，对学生理解数学、掌握数学具有至关重要的意义。正如章建跃博士认为的，（概念）教学设计的首要问题是“理解数学”[3]。这里仅以几个概念的教学为例，说明在概念教学中如何使学生理解数学，从而促进他们数学观的形成。
1.集合概念的教学应使学生体验数学的生命的特点
集合概念是数学发展中具有奠基性的重要概念，是数学由近代过渡到现代的重要标志之一。为使学生了解这一点，对于这一概念的教学也要突出其重要性，在教学中要善于运用素材。围绕数学观问题，可以选用的素材很多。如集合概念的产生和发展过程、“原始概念”对数学研究的意义及引发的问题、公理化思想、用集合的对应方法来揭示有穷和无穷的区别等，特别是“原始概念”的价值和给数学研究带来的问题，更应该在教学中介绍。从价值方面说，集合的概念是很多概念的基础；从问题来说，由于集合本身是原始概念，所以才导致悖论的产生。
如果在介绍集合的时候不介绍集合的价值，不介绍康托的思想，不介绍“悖论”，不探讨集合概念为什么难以定义，不渗透公理化思想，不介绍无穷问题的探索史，只是将集合作为符号来介绍，那就本末倒置了。实际上可以用集合来表示的中学数学中的问题，大多数都可以用其他方法来代替。如集合｛x|2＜x＜3｝完全可以用学生熟悉的不等式来代替，｛1,2,3,…｝完全可以用语言“全体正整数”来代替，因而停留在符号的介绍，或完全为介绍而介绍，从教学效益来说，就完全不必要了。因为，学生通过教师的介绍，并不了解集合的真正价值，不了解“集合”这一概念的本质特点，对“集合是现代数学的基础”就很难理解。
在介绍集合概念时，如果教师充分利用上述素材，便可以向学生展示数学在波澜壮阔的发展过程中，生命力的顽强，学生在学习的过程中，用生命体验生命，不被吸引，都将不可能了。
2.函数概念的教学应体现数学概念的发展过程
数学的发展过程是不断开拓研究问题和研究内容的过程，函数的研究是数学由古典数学发展为近代数学的一个重要的标志。函数由最初的变量定义过渡到对应定义，经历了漫长的发展过程，凝聚了无数数学家的心血[4]。函数概念在初中和高中各给出了一个定义，这在中学数学中是少见的。教师如果能够在这一特点上做文章，让学生认真分析各定义的价值和意义，这本身就是引导学生认识数学发展特点的极好素材。教师还可以引导学生思考函数是否还有其他定义，从而介绍数学发展史上的一些函数定义，如莱布尼兹给出的定义、欧拉给出的定义、布尔巴基学派给出的定义等，这些函数发展史上的定义的介绍，并不要求学生掌握每一个定义，而是使学生体会一些重要概念的成长过程，从而领会数学的特点，并感觉到自己在数学的成长过程中是可以有所作为的。美国数学家、数学史家M·克莱因在20世纪50年代对当时美国教材中函数的定义进行了批评，指出“从伽利略到狄利克雷，数学家一直绞尽脑汁去理解函数的概念，但现在却由定义域、值域和序偶（第一个数相同时第二个数也必须相同）来玩弄把戏”[5]。其实目前我国的数学教学也存在将一些数学发展史上的重要概念的教学简单化的情况，这是不可取的。
函数概念的另一思考起点是初中和高中的函数概念的关系，初中函数概念是产生于17世纪的，而高中的函数概念是产生于20世纪的。这两个时间恰好是数学发展史上的两个飞跃阶段，即由古典数学过渡到近代数学和由近代数学过渡到现代数学。第一阶段标志着数学由原来研究常量的问题向研究变量、运动问题的发展。第二阶段标志着数学由研究宏观变化问题扩充到研究微观的问题。第一个函数定义，给出了一种宏观的变量之间的关系，第二个函数定义从元素这一微观的角度来刻画变量的变化关系。由此学生不仅可以体会为什么在介绍了函数的“对应定义”后，在研究函数的性质时还要借助“变量定义”，而且能够体会两个定义是不可互相取代的这一特点。
数学教学应该将立足点定位于学生通过数学的学习，获得数学的熏陶，养成数学的思维方式，也就是说，数学教育应该重思想、重认识的提高。函数模型不仅可以用来研究数学中的问题，更重要的是一种思想，一种运动变化的思想，一种辩证的思想，对这种思想的领会，是形成数学素养的关键。
3.斜率概念教学应体现数学与实际的关系
经常听到教师在课堂教学中说“数学来源于实际”，但学生却很难从中获取信息，似乎在说“白天天是亮的”一样。教师要使学生理解这一点，应该说明数学问题是如何在实际中产生的，又是如何从实际问题中抽象出来的，这样学生对数学的理解也就不至于停留于表面而是比较深入地理解。
在斜率的教学中，有一个很重要的问题就是“斜率为什么用倾斜角的正切值来定义，为什么不是用正弦或余弦来定义”，这就需要学生对正弦、余弦的特点进行分析。其实由于正弦函数在区间[0,π]中的值有重复的情况，因而不利于研究倾斜角的问题，而余弦则由于当倾斜角为0时反而取得最大值，这与人的思维方式不相符，所以选择正切是比较合理的。这样的教学可以使学生体验到数学概念虽然是人为规定的，但要考虑其与实际是否相符的问题，从而可以使学生增强对数学的亲近感。
康托认为，数学在自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于，必须是无矛盾的，并且和先前由确切定义引进的概念相协调……数学的本质就在于它的自由[6]。康托的观点表明了数学“自由”的重要性，这种“自由”可以使数学获得更广泛的运用性，同时也使数学概念的产生具有一定程度上的虚构性。斜率概念完全是一个人为构造的数学对象。斜率概念由于其基础性而与实际问题具有密切的联系，学生可以从概念的抽象过程中，发现数学“自由”的必要性和可能性，从而理解数学概念的特点。
“作为一门科学的数学，就要求我们在数学教学中重视揭示数学与客观现实的密切联系。”[7]倾斜角是实际问题，而斜率却是数学问题，由倾斜角到斜率的转化思想体现了数学问题与实际问题的联系。另外，这一转化思想也是笛卡儿的思想，即将几何的直观优势与代数的精确优势进行互补的思想，也就是由倾斜角（几何问题）到斜率（代数问题）的转化思想。
尽管数学在一定程度上意味着与真实的脱离，但是种种数学对象的建构归根结底地说又都是思维对于实在的反映[6]。数学家哈代认为，发现数学（规律）模型的能力是数学素养的内涵之首[8]。在斜率概念的教学中，体现发现的规律、用数学的方法表现规律、形成数学概念的过程便可以使学生体验数学与实际的关系。
4.极限概念的教学应引导学生体会“无穷”的魅力
极限是人们对无限探索的重要成果，史宁中教授认为，理解极限运算是困难的，其根本原因是涉及了无穷的概念[9]。无论是东方还是西方，对无穷的探索都经历了漫长的过程。从早期中国的多条名辩和与之遥相呼应的芝诺悖论，及中国古代的名家惠施曾提出的“至大无外谓之大一；至小无内谓之小一”（这里“大一”、“小一”有无穷大与无限小之意）[10]，到中国的刘徽和古希腊的阿基米得将极限思想运用于求球的体积和圆的面积等活动，再到牛顿和莱布尼兹将极限思想算法化，使极限成为一种解决问题的有效方法，从而创立微积分，再到人们给出极限的严格定义，这一漫长岁月，经历了无数数学家的探索和完善的过程。
教师将极限概念的发展过程作为素材添加到教学之中，学生不仅体会到数学概念的无穷魅力，而且潜移默化地对这一来之不易的概念产生“珍惜”之情。如果教师再引导学生发现这一概念运用的价值，如可以在一定程度上解决无限的“计算”问题（如可以将求和问题从有限项推广到无限项），将运算从“静态”发展到“动态”。再如数学史上每一次危机都与无穷有关，这些素材可以使学生体验“无穷”的无穷魅力，体验希尔伯特所说，“无穷！还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智慧；更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清”[11]。
其实，用有限的生命体验“无穷”，本身对学生就极具挑战性，中学生的年龄特征决定了他们喜欢迎接挑战，明明直角三角形的斜边比直角边长，但为什么上面的点却可以是一样多的呢？明明正整数是正偶数的两倍，但为什么个数也是一样多的呢？甚至正整数可以和有理数一样多，这就更不可思议了……这一系列的问题，都可能引发学生对“无穷”的无限遐想，激发他们对数学的兴趣。目前，高中教材只用一个“趋于”就将这些全部掩盖，这实在有点遗憾。
三、数学观问题应该成为高中数学教学的核心问题
上述对几个概念教学的思考是希望引起数学教学中对数学观问题的重视，引起教师对自身数学观的自觉意识，使数学观的问题成为数学教学的核心问题。
1.数学观是数学学习情感的基础
目前，我们国家应该是世界上学习数学人数最多的国家，但是，却不得不承认，我们离数学强国还有很长的距离，原因之一可能是学生虽然经历了多年数学学习，但对数学的情感却依然薄弱。于是，培养学生的数学学习情感便成为一个关注的话题。然而，讨论了这么久，也不乏一些具体的操作规程，但情感问题还是没有从根本上解决。我们认为，学生对数学缺乏情感，关键是对数学不了解。有研究者将数学素养看作数学情感态度价值观、数学知识、数学能力的综合[12]。从数学文化的角度来看，数学主要的是一种精神力量、思维方式，而这种精神力量和思维方式来源于对数学的情感，因为只有情感才能促进学生有意识地将自己“数学化”，只有“数学化”才可能使数学成为精神力量和思维方式。而情感则来源于对数学的理解，也就是正确的数学观。因而数学观是数学学习情感的基础。
这里的情感应该不是一种表面的兴趣，也不是一种随大流的举动，而应该是一种“知之深，爱之切”的热爱。
2.教师数学观是学生数学观形成的依据
数学观的形成是一个潜移默化的过程。我们认为，课堂教学中学生的收获主要有两个途径。一个是显性的途径，一个是隐性的途径。显性途径传达的是显性数学，而隐性途径传达的是隐性数学。显性数学主要是以数学知识的形式出现的，而隐性数学的内涵就十分丰富，包括数学的思想、方法、精神等。隐性数学的传递依赖教师的数学观，也是形成学生数学观的依据。有学者用冰山模型将知识分解为显性知识（冰山之顶）和隐性知识（冰山之底）[13]，可见隐性知识的重要，因而我们可以认为数学教学应该是通过显性知识的学习达到提高隐性知识（数学素养）之目的。
学生数学素养的提高主要依赖教师的数学素养，只有教师具有较高的数学素养，才能在其教学中溢出其修养，学生在潜移默化的过程中达到获取隐性的数学修养的目的。因而，我们认为，数学教育的状况如何，主要取决于教师对数学的理解和认识程度，也就是教师的数学观状况。学生数学观的状况也主要取决于教师数学观的状况。