可转换债券的定价改进模型与实证分析，本文主要内容关键词为：实证论文,债券论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、可转换债券的定价改进模型与边界条件
先做出如下假设[1]：(1)证券市场是弱有效市场；(2)不存在无风险套利机会；(3)无交易费用或税收；(4)允许无限制卖空；(5)证券交易是连续的；(6)股票价格遵循几何Brown运动。
同时考虑股票价格和利率两个变量，可转换债券的价值为：
对于利率是常数的假定，普通的期权因为存续期比较短，通常是1年左右，这一假定不会有太大的问题，但是对于可转换债券，存续期比较长，一般是5年以上，有的甚至达到20到30年，在如此长的时间跨度上，假设利率为常数是有问题的，毕竟市场利率是随机的。鉴于此，我们可以假设利率在长期来说是相对变动的，而在短期内，利率是相对不变的。因此，本文在单因素定价模型的基础上，引入在时间上的分段利率，这样一来就避免了单因素模型中采用单一利率而带来的定价偏差。而分段利率值是采用利率模型在某一时间段上的均值代替，计算式子如下(假设在可转换债券存续期T内，可转换债券的存续期为N年，时间根据利率的变化分为[N]段)：
将利率
(t)取代基于股票价格因素的单因素定价模型的固定利率得到定价改进模型如下：
其中D(S，t)是股票红利，K(S，t)是债券的票面利率。
1.终值条件
在到期日，可转换债券持有者可以将可转换债券转换成股票，也可以兑付可转换债券获得本金和息票，则有：
2.转换条件
对于可转换债券持有者，如果在转换期可转换债券的市场价格低于转换价值，可转换债券持有者就会行使转换权。因此，在转换发生前在转换期可转换债券的市场价格不会低于转换价值，即：
3.边界条件
当股票价格非常高时，可转换债券持有者则将可转换债券转换成股票。而当股票价格非常低时，可转换债券的期权部分处于深度价外，其价值趋于零，此时的可转换债券价值为纯债券的价值。即：
如果可转换债券附有赎回条款，则带有这种条件的债券比不具有这种条件的债券价值要低。假定发行者可以V[,C]的价格赎回债券，为消除套利机会，有：
这一条件增加了可转换债券的价值。
二、可转换债券定价方法的比较
基于前面对可转换债券定价改进模型的介绍，本文用有限差分法[2]分别在相同的标的资产(股票)下，采用相同的参数，对单因素定价模型、双因素定价模型、定价改进模型三种定价模型进行模拟计算，从而进行比较。
对于股票价格过程：
dS=μSdt+σSdz(13)
实际上是满足对数Brown运动，即：
写成积分形式：
由于z遵循Wiener过程，
对每一个时间步△t，有：
根据上式我们可用Monte Carlo方法[2]模拟出股价的时间波动曲线。
假定某公司发行可转换债券，发行时可转换债券的面值是V[,B]=100，初始转股价V[,C]=10，可转换债券的有效期是T=3，发行6个月后进入转换期，无回售和赎回条款。当前股票价格为S[,0]=10，波动率σ=20％，股票价格漂移率μ=15％。
对于单因素模型，假设无风险利率r=0.25。
在定价改进模型中，本文利用同样的利率模型，但是在对可转换债券定价时，我们只采用利率的时间分段均值，即：
对于双因素定价模型，假设利率风险的市场价格l=0.07，S和r的相关系数ρ=-0.5。
根据以上参数和分析，采用有限差分法编程计算得出可转换债券的单因素定价模型、双因素定价模型以及定价改进模型的数值解。
我们用Monte Carlo模拟得出股票价格的波动曲线图(图1)和利率的波动曲线以及由利率的波动曲线得到的定价改进模型中用到的利率分段均值图(图2)。
根据股票价格和利率我们在有限差分网格中，找到对应的可转换债券的价格。分别得到在单因素定价模型、双因素定价模型以及定价改进模型下的可转换债券价格曲线图(图3)。
我们对三个模型进行了10次模拟，得平均出价差比较表(表1)如下：
由这些图表，我们分析得出如下结论：
(1)在本次模拟单因素定价模型采用的无风险利率下，定价改进模型的定价曲线基本位于单因素定价模型的定价曲线和双因素定价模型的定价曲线之间。分析三个定价模型我们得出产生差别的原因是：单因素定价模型是采用固定无风险利率，双因素定价模型采用的是利率模型，而本文的定价改进模型则是采用在利率模型下得出的利率的时间分段均值，正因为采用的利率不同，所以造成了三个模型上定价的差别。由于定价改进模型采用了利率的时间分段均值，这样在一定程度上也就改进了单因素模型采用固定无风险利率时而带来的定价偏差。
(2)由表1可知，双因素定价模型和定价改进模型的可转换债券定价差别比较小，也就是说，定价改进后的模型接近于双因素定价模型，而定价改进模型的计算操作比双因素定价模型简单，因此，在同时都考虑利率影响下，可以说定价改进模型优于双因素定价。
三、可转换债券定价模型的实证分析
(一)模型参数的确定
下面我们以上海机场股份有限公司发行的机场可转换债券为例，来探讨可转换债券理论价值的确定。上海机场可转换债券的面值V[,B]=100，票面利率r[,B]=0.8％，初始转股价V[,C]=10，红利支付D=0。转换率N[,C]=10可转换债券的有效期是T=5，发行6个月后进入转换期。我们选取了从2000年3月16日到2001年12月31日共435条上海机场股票数据，计算得到上海机场股票价格波动率σ=21.16％。
单因素定价模型中无风险利率使用r=0.035。
在改进模型中，将可转换债券的存续期划分为5段，得到利率的分段均值为：
(二)机场转债定价模型的定价结果
我们选取了从2000年3月16日到2004年4月22日共981条上海机场股票数据，以及这一时间段对应的共981条机场转债数据，根据这些数据对定价模型做实证研究。
对于双因素定价模型用到的利率波动曲线和定价改进模型用到的利率分段均值曲线如图4所示。
根据前面给出的参数，我们分别在单因素定价模型、双因素定价模型以及定价改进模型下利用有限差分法对机场转债做出对应股票价格的可转换债券价格，如图6所示。图6上也显示了实际可转换债券的价格(A)。
(三)机场转债定价模型定价结果的分析
分析1：从图6上，我们可以看到，在前期可转换债券的实际价格比三个定价模型的定价低，而在中期，可转换债券的实际价格曲线和三个定价模型的定价曲线交织在一起，相差很小，在后期，可转换债券的实际价格比三个定价模型的定价高，特别是在时间步900之后，三个模型的定价出现了一个很大的回落，而可转换债券的实际价格一直往上走，因此此时实际价格和模型定价开始出现了一个很大的价差，由图7所示的三个模型定价和实际可转换债券价格的绝对误差可以看出，时间步900之后绝对误差由5左右猛地上升到30左右，之后误差还在上升。为了分析出现这个误差大跳跃的原因，我们可以先看图5所示的股票价格历史曲线图。我们发现股票价格在时间步906处(2003年12月25日)为13.06，而在下一个时间步907处(2003年12月26日)股票价格下跌到9.99。而对应时间步906处的实际可转换债券的价格为129.539，时间步907处的实际可转换债券的价格为130。由于三个模型的定价是基于股票价格的，所以在股票价格下跌的时候，模型得出的可转换债券的价格也会下跌，这就使得可转换债券的实际价格是模型定价出现了很大的一个误差跳跃。
分析2：由图7所示的三个模型定价和实际可转换债券价格的绝对误差，我们可以看出定价改进模型的定价误差曲线大都位于单因素和双因素定价模型的误差曲线之间。
分析3：考虑图6中时间步900以后出现的定价误差跳跃，我们以时间步500为分界线，分析时间步500前的模型定价和实际价格的误差，以及分析时间步501到时间步900的模型定价和实际价格的误差，通过10次的模型定价，我们得到时间步500前后模型误差比较表如下：
由表2中的统计数据，我们可以看出10次模型定价下来的平均情况是：
(1)在时间步500前时，定价改进模型的定价误差最小，单因素模型次之，误差最大的是双因素模型，单因素模型和双因素模型的定价误差差不多；
(2)在时间步501到时间步900时，单因素模型的定价误差最小，定价改进模型次之，误差最大仍是的是双因素模型，定价改进模型和双因素模型的定价误差差不多；
(3)总的来说，是单因素定价模型的定价误差最小，定价改进模型次之，较大的则是双因素模型。为什么在机场定价案例中，单因素定价模型的定价误差最小，定价改进模型次之，较大的则是双因素模型。我们可以从利率角度来分析原因。
双因素定价模型引入了利率模型是因为市场利率是随机的。双因素定价虽然考虑到了利率的变化，但是由于引入了利率模型导致引入了利率模型的误差。而对于定价改进模型，考虑到可以合理地假设利率在短期内的不变特性，同时也为了考虑利率长期相对变化特性，利用利率模型时间分段下的均值，这样一来也可减小利率模型的误差，恰恰克服了双因素模型这个缺点，因此定价上优于双因素定价模型。由于利率分段均值曲线是根据利率模型计算得到的，因此利率模型的选取会导致定价改进模型对可转换债券定价的误差。
对于机场定价案例中出现的单因素定价模型的定价误差最小现象，主要是单因素定价模型中固定的利率的选取比较恰当。
分析4：上面的分析3指出了固定的无风险利率的选取比较恰当使得单因素定价模型定价误差较小，那么我们改变这个无风险利率。由于我们只考虑单因素定价模型，且固定的无风险利率的改变只会影响到单因素定价模型，采用分析3中同样的方法，对单因素定价模型取不同的无风险利率得到误差比较表3。
我们根据表3中的平均绝对误差做出图8。
(1)时间步500前：在无风险利率达到0.1前，单因素定价模型误差逐步下降，在0.1处，单因素定价模型的定价误差是三个模型中最小的。之后，单因素定价模型误差逐步增大；
(2)时间步500～900：随着无风险利率的变大，单因素定价模型误差逐步增大；然后超过定价改进模型和双因素模型。
由此可知，无风险利率的选取对单因素定价模型是很重要的，合适的值将会减小定价误差。
(四)关于机场转债定价改进模型的特性的实证分析
前面我们分别对单因素定价模型、双因素定价模型以及定价改进模型做了实证分析。实证分析说明了定价改进模型相对于双因素模型更优，这主要是定价改进模型采用了利率时间分段均值，本节我们要提出的问题就是，为什么在定价改进模型中对利率模型分5段分别取均值代替单因素模型中的利率。为了补充解释这个问题，本节就定价改进模型的这个特性做实证分析。
我们分别考虑利率模型在时间上分10段、分5段、分1段(即总时间段的平均值)这三种比较有代表性的分段情况。采用与本章前面几节相同的数值方法，与机场转债实际价格做误差比较，每次采用相同的利率模型的模拟结果，模拟10次，得到不同时间分段下定价改进模型误差比较见表4。
观察表4中对10次模拟误差比较得出的平均值，可以看到三种分段情况下，三种分段情况下模型的平均绝对误差相比都在0.05以内，而三种分段情况下模型的相对误差相比都在0.0002以内，可以认为定价改进模型在三种分段情况下是差不多的。但是三种分段情况中平均误差最小的是分5段时的情况。从这我们可以得出这样的结论，即：对利率模型的时间分段的多少对定价改进模型的定价误差是有影响的，因此有必要选取合适的分段数。
分段数越多，也就越逼近双因素定价模型，而分段数为1的时候，则只有一个固定利率，即变成了单因素定价模型。之所以在第三部分比较三个定价模型的时候，在定价改进模型中对利率模型在时间上分5段，是基于考虑机场转债的有效期是5年的情况，而每年的利率基本上可认为是相对不变，也即是我们假设了在1年这样长的时间内利率是固定的，对于5年的有效期就分为5个时段。当然，我们只考虑了三种分段情况，没有考虑其他的分段情况，也就不能说明是不是分5段一定是最优的，但是，可以肯定的说，分5段是比较优的。我们也可以选择在5段附近，比如6段或者4段。当然在选取分段的时候，最好是考虑可转换债券的有效期的长度，就如上面所分析的，将1年时间作为1个分段。
四、结论
本文建立了可转换债券的定价改进模型，采用数据模拟的方法和历史数据分别比较了单因素定价模型和定价改进模型之间的定价差别，得出了以下结论：
1.在本文给出的模拟参数下，定价改进模型的可转换债券定价和单因素定价模型、双因素定价模型的定价没有太大的偏差。若单因素定价模型中采用的固定利率值改变将会减小或增大与定价改进模型之间的定价差别。
2.定价改进模型接近于双因素定价模型。从是否考虑利率因素影响的角度来说，定价改进模型是优于单因素定价模型的。
3.双因素定价模型和定价改进模型的可转换债券定价差别比较小，而定价改进模型的计算操作比双因素定价模型简单，因此，在同时都考虑利率影响下，可以说定价改进模型优于双因素定价模型。
4.实证分析中，对单因素定价模型给定的无风险利率下，单因素定价模型的定价误差最小，定价改进模型次之，较大的则是双因素定价模型。原因是单因素定价模型采用的固定无风险利率比较恰当，而双因素定价模型采用的是利率模型，引入了模型误差，定价改进模型采用利率模型下的时间分段均值有效的减小了模型误差。
5.在实证分析中，分别用定价改进模型和双因素定价模型计算了10次，分别和实际可转换债券价格比较，定价改进模型的平均定价误差小于双因素定价模型的定价误差。
6.在利率比较恰当的时候，单因素定价模型的定价误差是最小的，否则，单因素定价模型的定价误差则比定价改进模型和双因素定价模型都要大。因此，无风险利率的选取是否恰当对于单因素定价模型来说是非常关键。
7.定价改进模型中对利率模型的分段次数影响到模型的定价误差，在选取分段的时候，最好是考虑可转换债券的有效期的长度，对每年的利率基本上可认为是相对不变，将1年时间作为1个分段。
标签：实证分析论文; 无风险利率论文; 股票论文; 债券论文; 债券面值论文; 误差分析论文; 利率论文; 数据分析论文;