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在学习过程中，学生往往会出现许多错误，“错误是正确的先导，是通向成功的阶梯”，如果教师能进一步分析学生犯错误的原因，在错误上“做文章”，就可以变“废”为“宝”，利用错误这一资源为教学服务。下面，笔者就结合自己的教学实践，来谈一谈各种类型错误的错因分析、纠错策略及教学启示。
一、数学概念模糊
数学概念是从现实世界的数量关系和空间形式抽象出来的客观对象的本质特征，是学生进行计算、解题、证明的基本依据，也是培养学生思维能力的良好素材。
例1 已知关于x的一元二次方程
有一根为0，则a=＿＿。
错解：0或2。
错因分析：从表面上看，学生在解此类问题时，易犯错误的原因是对一元二次方程概念认识的模糊，忘记了一元二次方程存在的基本条件“二次项系数不能为0”，而实质上是学生对这一类问题的概念认识不清。之前在学习一元一次方程ax+b=0和一次函数y=kx+b时，学生就容易出现忘记“a≠0”和“k≠0”的错误，在学习分式时，也经常容易忘记“分母不为0”的限制条件，学生在此题出现错解是这类错误的延续，如果纠错不到位，那么在以后学习二次函数
和反比例函数
时，学生还会出现同样的错误，因此，必须重视这类错误的纠正。
例2 在Rt△BCA中，已知∠C=90°，∠A=α，AC=b，则AB的值为()。
错解：B。
错因分析：对余弦概念的运用错误，折射出学生对直角三角函数概念认识的模糊。数学概念本身就具有高度的概括性、抽象性和严谨性，对概念的学习又带有一定的系统性和延续性，若前面的概念没有掌握好，再学习新的概念就更困难了。如果学生对正弦概念的来龙去脉不清楚、理解得不透彻，就会直接影响到接下来余弦、正切和余切概念的学习，而在直角三角函数概念的运用上出现混乱。
错因分析：对零指数幂、负指数幂、绝对值概念认识上的模糊，导致学生在计算此题时出现错误。有些学生在刚学习这些概念时不会出错，但时间久了，就容易淡化或忘记概念，而按自己的思维“想当然”地去定义概念，这也是学生易犯的一种错误。
纠错策略
(1)教师应引导学生针对概念运用中出现的错误进行归类、反思：“我以前犯过这种类型的错误吗？为何总是在同一类型的问题上出现错误？是知识上的原因，还是思想上的原因？如何才能做到今后不再犯同样的错误……”并告诉学生相应的纠错方法：若是属于知识上的原因，则应加深对相关概念的理解，通过对当前错误的纠正，弥补自己知识上的缺漏，避免此类错误的再犯；若是属于思维方式、解题习惯上的原因，则应注意培养思维的严谨性，改正不良的解题习惯。
(2)对于学生作业和测试中出现的概念模糊型错误，可指导学生首先从教材中找出有关概念，加强对概念的记忆和理解，再及时订正，找出错误的原因，使学生在反思中提高对数学概念的理解。
教学启示
(1)教学中，教师应注意让学生经历、体验概念的形成过程，具体可按以下步骤进行概念的教学：
①观察一组实例，从中抽象出共同的属性；
②给出新概念的定义，通过分析其逻辑意义，初步领会新概念的本质属性；
③深入挖掘概念的内涵和外延，抓住其本质，使学生不仅知其然，更要知其所以然；
以直角三角函数为例进行剖析，正弦涉及比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识。正弦的值从本质上来说是一个“比值”，为了突出这个比值，教师可引导学生思考：正弦是直角三角形中对边与斜边的比，这个比值随角的大小的确定而确定，与边的长短无关，并且它的绝对值不会超过1。
④帮助学生建立新概念与已有认知结构中适当内容的联系，并让学生尝试用自己的语言表述概念；
⑤阐明概念之间的内在联系，形成概念系统，提高学生的思维能力；
⑥概念建立后，针对学生的疑点和难点，设计恰当的练习，采用灵活多样的形式，从不同角度进行训练；
⑦当学生从正面接触概念后，教师可再从概念的反面有针对性地创设一种错误的情境，并引导学生运用已有的知识和经验去分析错误、尝试矫正，让学生在反思中加深对概念的理解。
二、运算求解能力弱
初中阶段的运算主要包括有理数、实数的运算，字母的运算，整式、分式的运算，求解一元一次方程，二元一次方程（组），一元二次方程，不等式（组），求函数解析式等代数内容；还有几何中的求长度、角度、面积等内容；以及统计与概率中涉及的从图表中提取信息，用列表法或画树状图法求概率等有关内容。
错因分析：对于数学中的运算，学生往往只停留在死记法则、步骤，然后按部就班地对无意义的符号进行机械操作的层面，既不知道这样做的目的，也不知道这样做的理由，没有在新知识和原有知识经验之间建立起牢固的联系，并建立起算法和算理之间的对应关系。这样，学生就会容易遗忘，并难以将知识应用到新的情境之中。
例5 先化简
，再任取一个x值代入，求出此分式的值。
错解1：解答程序不规范。有些学生不化简就求解，或者虽然化简了，但没有化到最简形式就去求解。
错解2：有些学生由于不会通分，或缺乏通分后分解因式的意识，而不能有效地约分化简。
错解3：在求解时，将分式化简和分式方程相混淆，在求解时首先去分母。
错解4：对分式的意义不理解，没有考虑到x不能取0和1。
错解5：化简过程中符号出错。
错因分析：产生此错误的原因是学生将平方差公式同两数差的平方相混淆，属于相近知识的互相干扰，并且学生没有掌握去括号的恒等变形。一些学生在公式的理解上存在着很大的问题，不理解公式的来龙去脉、形式结构，只知机械记忆，因而导致运用时的混乱。
纠错策略
(1)对于解不等式、分式的化简求值、整式的运算等依照程序进行操作就能完成的题目，教师在教学中应注意以下2点。
①让学生在理解知识的基础上牢固掌握各种算法，帮助学生在算法的推导过程中领悟算法与算理之间的联系。例如，由乘法分配律可推导出合并同类项法则，由方程的同解原理可推导出移项法则等，让学生亲自参与公式、法则、性质的推导、发现过程，促进学生对知识的理解，避免知识的负迁移。
②及时了解学生练习的效果，并纠正学生练习中的错误；向正在进行技能训练的学生提供反馈信息，让学生知道每次练习的得分，并在这一过程中不断给学生以鼓励、督促；分析学生练习中出现的错误。一方面，学生可根据反馈信息获知问题之所在，从而调整学习方法和状态，使练习更加有效；另一方面，也增强了学生的学习动机。
(2)对于含有探究性、应用性、综合性的非程序求解题，不是仅靠多练习就能避免出错的，这类题目考查的是学生解决数学问题的能力和数学素养一般来说，学生解此类问题的困难首先来自于理解题意和寻找解题途径，因此，教师应引导学生亲自体验问题的发现、探索、讨论、求解过程，通过数学活动的参与来掌握解此类问题的步骤和基本策略，提高解题的正确率。
教学启示
(1)抓好双基教学，掌握通性通法。重视学生对基础知识的理解、应用，基本技能和基本方法的掌握，明确解常规题型的通用方法。并告诉学生，在学习过程中，不应过分地追求特殊的方法、技巧，将过多的精力用在钻难题、怪题上，而应抓住数学知识的主干，掌握通性通法；
(2)适当地让学生进行正向思维和逆向思维的转换训练，进行包括正问题和逆问题在内的题组训练；
(3)注重让学生掌握思考问题的方法，提高学生的思维水平；
①解剖典型例题，追溯错误的根源，弥补学生思维上的缺陷；
②举一反三，变通求活，优化学生的思维；
③拓展外延，探索规律，激活学生的思维，促进学生思维的发展；
④在教师的启发和组织下，带动全体学生积极思考、主动解决问题，挖掘学生的思维潜力。
三、数学思维能力欠缺
数学思维能力有许多种，在这里，只以发散思维能力为例展开讨论。
发散思维又称求异思维、辐射思维，是指从一个目标出发，沿着各种不同的途径去思考、探求多种答案的思维，与聚合思维相对。不少心理学家认为，发散思维是创造性思维的最主要的特点，是测定创造力的主要标志之一，具有流畅性、灵活性和独创性3个主要特点。
例7 （2005年江西省中考数学试题）已知抛物线
与x轴的交点为A、B（点B在点A的右边），与y轴的交点为C。
(1)写出m=1时与抛物线有关的3个正确结论；
(2)当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由；
(3)试提出一个对任意的m值都能成立的正确命题。（说明：根据提出问题的水平、层次，得分略有差异。)
错解：略。
错因分析：此类问题要求学生从给定的信息出发，尽可能地获得多种结果。由于发散思维的目标、方向不明确，对学生的认知水平提出了较高的要求。在平时的学习中，学生的解题多是对教师讲解过的范例进行模仿，然后进行“过滤式分析”的过程，这容易导致学生缺乏主动探究的精神，易于接受、肯定事物，而不习惯于去否定、想象。因而在解此类问题时，学生往往会感到很困难，并且容易出现错误。
教学启示
(1)在课堂教学中，教师要善于向学生提出问题，并让学生自己学会提出问题，不能总是“唯恐”学生“听不懂”“吃不饱”，而在课堂上讲个不停，即使提问题也只是“匆匆带过”，没有留给学生充分的思考问题的时间。
(2)教学中，在夯实基础的前提下，教师还应善于将学生从思维定势中“解放”出来，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，以培养学生思维的广阔性、缜密性和创新性。对于教材中所列举的例、习题，不能“就题论题”，而要“以题论法”，对题目进行条件加强、条件弱化、结论开放、结论变换等处理，并与其他的例、习题进行比较，将其中的知识价值、教育价值一一解剖，达到“做一题、会一片，懂一法、长一智”的教学效果。
(3)运用开放性问题进行发散思维的训练，可将一些封闭性问题改编，以增加问题的发散性和探究性。
四、数学思想方法运用不灵活
数学思想方法是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本。数学思想方法主要可分为以下2种类型：①概念型的数学思想，如函数思想、方程思想、集合思想、相似思想等；②方法型的数学思想，如分类讨论思想、数形结合思想、化归思想、归纳思想、变换思想等。如果学生对数学思想方法的运用不够灵活，在解题过程中就会出现思维漏洞或思维受阻，甚至想不到解题的方法。
例8 （2007年河北省中考数学试题）图1（下页）是3个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）。将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为——（计算结果保留π）。
图1
图2
错解：略
错因分析：多数学生解此题出错的原因在于没有想到用转化的思想化繁为简地解决此题，没有想到用2个基本几何体就可以拼成一个小圆柱，而只是“就题论题”地一味求解，结果往往由于繁难的计算而导致错误。从中反映出一些学生灵活地运用数学思想方法解决问题的能力不强，存在的问题主要有：阅读理解能力不强、不会审题，不能发现几何问题中的基本图形，不会将一般的问题特殊化，不会运用数形结合、方程和分类讨论等数学思想去分析、解决问题等。
纠错策略
(1)要让学生有运用数学思想方法的意识。教师应通过典型例题的讲解向学生渗透基本的数学思想，并教给学生运用的方法：运用数形结合思想时，最根本的方法是用形来直观地理解数，用数来精确地把握形，从中分析、推理，找出问题的关键；分类讨论是个自然的过程，是否需要分类要根据具体的情况而定，当面临的问题不适于用统一的方法来解决时，就可以将问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐一讨论，再把结论汇总，得出问题的答案；转化思想就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接“进攻”，而是采取“迂回”的战术，通过变形把要解决的问题转化为某个已经解决的问题，从而求得原问题的解，其基本形式有化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直等。
(2)教师应综合归纳出学生共同存在的问题，记下几道较为典型的错例，集中进行有针对性的分析，找出学生在数学思想方法的运用中存在的误区，并在讲评课上加以弥补、纠正。
教学启示
在教学中渗透数学思想，是一项长期、细致的工作，不是凭借一两次课或几道例题的讲解就能使学生掌握的，而应针对教学内容的特点，结合学生的年龄特征，自然、潜移默化地进行。教学中，教师应做一个“有心人”，善于利用反映数学思想的基本材料来设计相关的数学学习活动。具体应注意以下3点：
(1)在教学内容的选择、组织、呈现上，必须体现数学思想的基本精神。
(2)在平时的教学中，要根据数学知识的特征，有计划、有步骤地渗透相应的数学思想。例如，在讲授有理数的绝对值、有理数的运算时，可以渗透“分类”的思想；在解二元一次方程时，可以渗透“化归”的思想；在讲列方程解应用题时，可以渗透“方程”思想和“建模”思想；等等。
(3)通过一些典型习题的训练，来丰富学生运用数学思想方法的经验，加强对学生数学思维的训练，但不能让数学思想淹没在“题海”之中。
五、空间想象能力薄弱
空间想象能力是指对客观事物的大小、形状、位置关系的想象能力，以及对其进行加工、改造、创新的能力，是顺利而有效地处理几何图形、探究它们的特征、关系所需要的一种特殊的数学能力，是形成和发展创造力的源泉。
例9 （2008年福建省宁德市中考数学试题）如图3，将矩形纸ABCD的4个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是＿＿厘米。
错解：略。
图3
错因分析：在折叠过程中产生了角与角、边与边的数量关系。此题首先需要学生判断出四边形EFGH是什么四边形，然后再判断AD与HF有何关系，要求学生具有一定的空间想象能力、问题转化能力，以及通过逻辑推理进行论证的能力。
教学启示
(1)教学中，应给学生提供动手操作、实践活动的机会，以发展学生的空间观念，并重视几何知识在实际生活中的应用；
(2)借助实物模型进行画图训练，先由“型”到“形”，再由“形”想“型”；
(3)使学生在对图形的运动、变化的研究过程中，从根本上认识图形的本质特征；重视对基本图形的教学，使学生在解题时，能将复杂的图形分解为基本图形，将动态问题转化为静态问题来分析；
(4)进行抽象问题形象化的训练，培养学生的几何直觉能力。
六、应用意识和建模能力差
现实生活中蕴含着大量的数学信息，应用意识主要表现在：当面对实际问题时，能主动尝试从数学的角度，运用所学的知识和方法去寻求解决问题的策略；当面对新的数学问题时，能主动寻找问题的实际背景，并探索其应用价值。
数学建模是通过抽象、简化、假设、引进变量等处理后，将实际问题“数学化”地表达，建立数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解的方法。初中阶段的数学建模，“数与代数”领域主要包括方程模型、不等式模型、函数模型等，“空间与图形”领域主要包括三角形模型、四边形模型、圆与其他几何图形组合模型等。
例10 （2008年江苏省泰州市中考数学试题）如图4，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大。当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的
。已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是＿＿。
图4
错解：a≤3.5。
错因分析：学生出现此错误的原因在于没有排除问题背景的干扰，抓住问题的本质建立合理的数学模型，而导致题意分析上的偏差。实际上，第3次敲击后，铁钉全部进入木块，并不意味着这一次铁钉进入木块的长度一定是0.5cm，而是大于0cm，小于（等于）0.5cm。
纠错策略
(1)教师首先要帮助学生克服惧怕与厌烦的心理，先将做错的题目再读几遍，审清题意；其次要捕捉信息，找出显性或隐性的相等关系或不等关系，并用式子将它们表示出来，建立模型；最后还要看求得的解是否适合题意。
(2)教师应告诉学生，如果自己不能排除问题背景的干扰，把实际问题转化为数学问题，进而顺利建模，应及时请教同学或老师，尽量做到不留问题，把问题真正弄懂。
教学启示
(1)多设计一些贴近生活、贴近实际、情境新颖、时代感强的应用性问题，增强学生的应用意识和建模能力。
(2)在对应用题进行分析时，要着重培养学生从背景材料中提炼数学问题，把实际问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。
(3)引导学生关注身边的数学，学会从数学的角度、用数学眼光去观察事物、阐释现象、分析问题、解决问题，增强学生的应用意识，提高数学素养。
七、图表信息的处理能力不足
在这里，图表信息主要是指表格信息、函数图象信息和统计图信息等。有效地提取和运用图表信息是学生应具备的一项基本数学素养，需要学生具有主动收集和运用信息的意识，以及对信息进行“选取”“存储”和“运用”的能力。
例U (2008年江苏省南京市中考数学试题）如图5，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为th，两车之间的距离为skm，图中的折线表示s与t之间的函数关系。
根据图象进行以下探究：
图5
信息读取
(1)甲、乙两地之间的距离为＿＿；
(2)试解释图中点B的实际意义；
图象理解
(3)求慢车和快车的速度；
(4)求线段BC所表示的s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
问题解决
(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚出发多长时间？
错解：略。
错因分析：图中的线段AB、点B、点D所反映的信息都是容易明确的，图中还包含了许多隐含信息：慢车的速度、快车到达乙地时距慢车的距离、快车的速度、点C的坐标等，这些都可由表层信息分析得出。学生的易错点在于：不能从图中有效地提取信息，求出两车相向而行时的速度之和；思维受阻，不知从何处入手求出快车的速度；不能由“BC段的斜率要比CD段大”分析得出点C的实际意义是“两车交会后，快车到达乙地的时间及两车之间的距离”，而解不出问题(4)；问题(5)对学生的理解能力提出了更高的要求，如果学生不具有较强的综合能力，此题出错的可能性就会很大。
纠错策略
教师可以引导学生重新对图表进行观察和分析，理解好题意，明确正确解题还需要哪些信息，这些信息是否能从图表中直接获取，其中哪些信息是隐性的，需要通过对表面信息的分析得出，并引导学生积极反思：这道题我解错的原因是什么？我能从中学到些什么？
教学启示
(1)呈现开放性的问题情境是发展学生信息处理意识和能力的重要途径之一。例如，在应用题教学中，教师不但可以取材于学生的生活，而且能呈现多样化、开放性的问题情境：有条件和问题都以文字形式呈现的；有条件以图表形式呈现，而问题以文字形式呈现的；有条件问题齐全的；也有呈现条件，而缺少问题的；有具备问题，缺少条件的；等等。在解决这些灵活多样的现实问题的过程中，不仅能有效地提升学生的思维水平，防止学生出现“思维僵化”的现象，而且能发展学生判断、收集、处理信息以及综合运用信息的意识和能力，培养学生灵活解决问题的能力。
(2)教师可采用“示错—纠错—引导”的教学方法，让学生在错误中寻找疑点，在误中思，在思中悟。思维的动力来源于认知结构的不协调，示错就是故意制造或扩大这种不协调。对于学生因没有正确理解题意而求不出隐性信息的问题，要充分调动学生的主观能动性和创造性，让学生积极主动地参与到纠错的思维过程中，教师只在关键处进行适当的点拨、引导，只有这样，才能让学生更好地在纠错中巩固，在巩固中提高。示错的方式有很多种，可以是学生示错，也可以是教师示错，可以是有意示错，也可以是无意示错，但无论哪种示错，都要尽量让学生自己去发现错误，分析错因，寻找正解。
八、非智力因素的影响
学习态度、意志、个性等都属于非智力因素，在相同的智力条件和学习环境下，学习者的非智力因素在很大程度上影响着问题解决的速度和效果。研究表明，学习态度良好、自信心强、具有追求成功的积极动机的学习者在解决问题时，往往具有较强的自信心，能主动去进行探索，并很少因问题复杂而放弃，这为成功地解决问题打下了坚实的基础。而缺乏信心、以避免失败的动机去解决问题的学习者，其探索方法相对较为被动、肤浅，一遇到困难便想退却，缺乏克服困难的毅力，在解题过程中，对自己所采用的方法往往持怀疑的态度，对应用题、创新题等文字量大的综合题，产生恐惧心理，而常常选择主动放弃。
教学启示
(1)重视对学生学习习惯、学习意识、学习态度、学习意志品质的培养。
(2)加强对学生学习方法的指导。
在平时的教学中，教师不但要传授知识，还应传授给学生学习的方法（包括使学生养成反思的习惯，提高复习的效率，学会审题，等等）。
(3)教会学生调节和控制自己的情绪，正确对待学习中的困难和挫折。
学生分析问题的能力还不够，对一个问题往往只能从一个角度去解释，因此应指导学生从多个角度去看待问题，客观、理智地分析和处理问题。
(4)对于学生的每一次进步，教师都应给予鼓励，使学生有积极的学习态度，学习的信心也越来越足。