理解与实施数学教学中的归纳推理，本文主要内容关键词为：归纳论文,数学论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、归纳推理的含义 人们认识客观事物时总是由个别的事物开始，进而认识事物的普遍规律；又以普遍规律为指导，返回来更深刻地认识个别的事物.[1]按照这样的规律，循环往复、不断前进.其中，归纳方法在人们由个别上升到普遍的认识过程中就起着重要的作用. 1.归纳推理的特征 归纳推理就是通过个别事物或现象推出该类事物或现象的普遍性规律的推理.所谓推理，则是通过一个判断得到另一个判断的过程.推理通常可以分为两大类——演绎推理和归纳推理.从推理的形式上看，归纳推理的前提与结论之间有着或然性的联系，而演绎推理的前提与结论则有着必然性的联系，即所谓的“蕴含关系”；从认识的发展过程上看，正如前面所说，归纳推理是由个别到一般的推理，而演绎推理主要是从一般到个别的推理；从前提与结论的范围上看，归纳推理的结论所包括的范围超出了前提的范围，演绎推理的结论则不超出前提断定的范围.[1]比如我们常说的“数学归纳法”，从这几点看来，本质上还是一种演绎推理. 在思维过程中，归纳推理和演绎推理也是相互依赖的，演绎推理需要以普遍性的判断作为前提，而这样的判断最终还是要通过归纳推理提供的. 2.常用的几种归纳推理 归纳法是由两部分构成的.一部分是归纳推理，如简单枚举法、类比法、统计推理等；另一部分则是包括诸如观察、实验、分类、选样等其他的归纳方法.我们在数学教学中常说的“归纳”、“归纳法”大多指的就是归纳推理这一类.
类比法也是一种常用的归纳推理方法.Polya曾说：“类比是提出新命题和获得发现取之不竭的源泉.”对于某两个或两类事物，我们发现它们在某些性质上相同或相似，便推出它们在另外一些性质上也是相同或相似的.[2] 例如，平面几何和立体几何在其研究对象、研究方法以及构成图形的基本元素等方面是相同或相似的，因此在教学中也常常通过两者之间的类比研究它们的性质.如对勾股定理进行类比得到长方体的对角线公式；对圆的周长、面积进行类比得到球的面积、体积；类比“证明正三角形内任意一点到三边距离之和为定值”的方法去解决“证明正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值”的问题，甚至还可以通过类比提出立体几何中的猜想，等等.类比法的可靠程度一方面取决于已知性质和推出性质之间的相关性，另一方面也和那些相同或相似性质的数量有关.不过，由于类比法本身并不能保证已知性质和推出性质是密切相关的，因此类比法的可靠性在总体上是不高的. 统计推理则是由样本具有某种性质推出总体具有某种性质的推理，它也是一种归纳推理.虽然归纳推理的可靠性不高，在科学研究中也很少单独使用，但因其与或然性的联系依然是发现问题、提出新理论的基础.对于数学教学，可以这样认为，枚举法主要在讨论数与代数的问题时使用，类比法主要在探讨空间几何关系时使用，而统计学则是统计推理应用的代表. 二、数学教育中应重视归纳推理 1.数学是发明的也是发现的 关于“数学本体论”的研究表明，数学成果既是发明的又是发现的.对于数学的各种概念，它们在世界上本是不存在的，因此是人们“发明”的；而按照数学本身的逻辑，当原始的概念、公理得到后，便蕴含了所有概念和命题，而这些理论靠演绎推理是推不出来的，又只能是人们去“发现”的，因为它必须有普遍性的判断作为前提.正如张奠宙教授所说：“人们的直觉和顿悟，往往已经得出了整个理论的百分之七十，剩下的百分之三十则是逻辑验证”，“数学思维的特点是宏观的策略创造与逻辑演绎的结合”.[3]在这里的“直觉和顿悟”、“宏观的策略创造”中，归纳推理就起着主要作用. 2.素质教育需要归纳推理 给出形式的定义后让学生理解并进行应用，这样的数学教学流程我们可能已经习以为常，而在弗赖登塔尔看来，这其实是“教学法的颠倒”.这样做，“学生被剥夺了将一个非数学的题材形成为数学内容的数学化的机会”[4]，对于真正理解该学习材料更是无益的.弗赖登塔尔还举了一个学习平行四边形的例子：“给他一些平行四边形，他会发现许多共性，发现如对边平行、对角相等……大量重要的性质.接着他又会发现这些性质之间的联系，通过铺平面是导致这些发现的最有效的方法.于是就开始了逻辑地组织……由此，学生就抓住了形式定义的含义……学会了定义这种数学活动，而不是将定义强加于他.”[4]这与我们现在关注学生的学习过程、关注其数学活动经验也是相通的. 另一方面，多年来，我国基础教育重在学生思维能力的培养，弱于归纳能力的训练，过于忽视“宏观的策略创造”.这给创新性人才的成长带来了严重的障碍.正如前面提到的，演绎的方法只能验证真理，并不能发现真理，运用演绎方法培养起来的演绎思维，只能进行模仿，难以进行创造.新课程关注学生、关注过程，要求在过程中培养学生的创新意识和能力，能够通过条件预测结果，由结论探究成因，这就需要归纳推理这样“从特殊到一般”的能力，从个别现象出发，抽象其共性，总结出一般的结论.在数学教学中，归纳的方法从若干特殊事例、情境中发现某些共性，或引出新概念的定义，或提出某种猜想.当然，此时得到的结论虽然未必真实可靠，但是这种归纳推理往往是发现真理的有效方法，给学生以启迪，以便进一步探索.重视归纳推理，绝不否定逻辑演绎训练的重要性，而是进行素质教育、培养创新型人才的必然要求. 三、教学中需要注意的几个问题 很多数学概念，甚至公式、定理等内容，其实都是可以通过归纳的方法进行教学的.随着课程改革的深入，很多教师也都是这么做的.不过，在教学中还应注意几个问题. 1.数量上，提供足够的例子或情境 从前面对归纳推理的分析中可以看到，作为前提的事例的数量是影响归纳推理可靠性的一个重要因素，验证的例子越多，所得的结论成立的可能性也就越大.这个问题看上去似乎不值一提，但却是不容忽视的，通过一两个例子就让学生归纳出一个定义，得到一个公式、定理，而学生真正信服了多少，理解了多少，可能还值得商榷.当然，这些例子也并非多多益善，只要学生能够准确理解结论即可. 除了注意所提供的例子和情境在数量上要足够多外，在范围上它们还应当要广一些.譬如在高中函数概念的教学中，提供给学生的情境要包括用关系式表示的函数、用图表表示的函数以及用图象表示的函数，同时还应包括连续与离散的函数.这不仅有利于学生对函数概念内涵的把握，也有利于明确函数概念的外延. 2.质量上，例子或情境要有典型性、代表性 除了在数量上有所要求外，对例子的质量也是有要求的.我们通过一个课例说明这一点.某位高中数学教师在上完“古典概型”一节后，调整了教材内容的安排，希望通过古典概型来帮助学生理解条件概率.教学流程大致如下. 问题1 抛掷一颗质地均匀的骰子，所得样本空间为S=｛1，2，3，4，5，6｝.令事件A=｛1，2，4｝，B=｛1，2，4，5，6｝.求事件A、事件B以及在B发生的条件下A发生的概率.
问题2 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面向上记为事件A，至少有一次正面向上记为事件B.求事件A、事件B以及在B发生的条件下A发生的概率.
问题3 一个盒子中有2个白球，1个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取两次.求第二次取得黑球（记为事件A）、第一次取得白球（记为事件B）以及在第一次取得白球的条件下第二次取得黑球的概率.
教师和学生解决了这3个问题，并分析了问题的特点，进而得出条件概率的定义.接着，教师又让学生寻找P（A丨B）与P（A）、P（B）的关系.在得到公式
后，教师让学生互相讨论，说明这个结论的正确性.学生举出了几个反例，教师追问P（A丨B）究竟应该等于什么（此时课堂时间已过四分之三）.下课前，有学生发现应该考虑积事件AB，教师给出并解释了条件概率的计算公式. 这节课教师给了学生充分的时间去质疑、批判、思考、讨论，出发点是好的，效果也是值得肯定的.但也应当注意到，从整体上看教师“引导”学生得出了错误的结论，并耗费了较多的时间，而其中的关键就是教师在3个例子的选取上欠妥——3个题目中事件A，B都存在包含关系.由此可见，在进行归纳教学时，例子的典型性、代表性也是十分重要的，换句话说，用来验证的例子在无关的性质上要有明显的差别，这就要求教师对教学设计要进行充分而细致的准备，仔细考量所选的例子是否符合要求，能否为教学目的服务.
另外，在教学中还应注意归纳推理与演绎推理相结合，“猜”出来的只有“证”过了才能成为一个数学理论.只训练学生去“证”便缺少了发现能力的培养，只教学生学习“猜”自然也不是数学教育的目的.总之，二者的结合才能完美，忽视任何一方都是不妥的. 归纳推理的教学实际上是一种思维过程的教学，是一种能力的培养.这不光是教师细心打磨几个例子和情境就能造就的，本质上还要靠学生在学习过程中的领会，靠学生的“做”与“悟”，是一种意会大于言传的东西.设计合理适当的材料，让学生真正参与数学活动，体会数学知识的来龙去脉和形成过程，从而感悟归纳推理的思维方式，逐渐内化为一种能力，而这也正是新课标所强调的内容.
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