2014年高考数学（理科）应用题的现状分析，本文主要内容关键词为：应用题论文,理科论文,现状分析论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学不仅是研究空间形式和数量关系的科学，而且也是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具[1].当今数学的应用十分广泛，例如，在技术上，产品的设计制造、信息储存、传输和编码等都要应用数学；在经济上，组织生产、质量控制、经济预测等也依赖数学，这些本质上都是数学知识的应用[2]，都直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展. 数学教育的根本任务之一是培养有数学素养的社会成员，提高学生的数学素养一直是国际数学教育的共同目标，也是当前数学教育研究的热点.无论是素质教育的实施，还是国际教育的评价，数学素养都是关注的重点，而数学应用意识和应用能力是衡量数学素养的重要指标[3].众多国际测评项目如TIMSS、PISA等均将数学素养作为测试的主要内容之一. 《普通高中数学课程标准（实验）》把“发展学生数学应用意识”作为基本理念并且要求高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力[4].因此，数学课程的重要目标之一是培养学生的应用意识[5].在我国数学教育现实下，课程标准是教材编写、教师教学、学生学习的参考标准，也是考试大纲编写和考试评价的重要依据，因此，数学课程标准对应用意识的重视直接反映了数学教学、数学考试评价应该重视学生的数学应用意识.而高考数学应用题是考查学生应用意识的主要形式，对其研究显得非常必要，尤其对全国各地高考数学应用题的现状分析，这有助于认识高考数学评价对应用题的重视程度和呈现方式，有助于进一步了解高考数学对学生应用意识的考查方式及水平. 二、概念界定 1.数学应用题 通常把来源于客观世界并且具有实际意义或实际背景的、能转化为数学形式表示，并且可以运用数学知识从而获得解决的一类数学问题称为数学应用题[6].问题情境是数学应用题与纯数学题的根本区别，其中，数学应用题的问题情境一般是通过语言文字（必要时附带图表信息）向解题者呈现的.与纯数学题的问题情境相比，数学应用题的问题情境不仅包含数学概念、方法或结果，还包含了非数学领域中的各种更直观的对象、事件及其关系[7].总之，数学应用题要求解题者从情境出发，对问题与条件进行数学化，再按照纯数学题的解决方法与途径求解. 2.数学应用意识 数学应用意识，是一种以数学视角进行观察、分析并解决生活中实际问题的思维倾向.主要体现在：一方面，当学生面对实际问题时，能主动尝试从数学的角度寻求解决问题的策略；另一方面，面对新的数学知识时，能发现和认识现实生活中蕴涵的数学信息，主动地寻找其实际背景和应用价值.[8] 3.数学应用题和数学应用意识的关系 应用题最突出的特点是具有实际背景材料，数学应用题是用一定背景材料描述的数学关系问题，背景材料和数学关系是其两个基本构成要素[9]，背景材料是从应用题中取得的非数学的内容，是应用题所独具和必备的[10].背景材料仅仅是指它的表层结构，其中包含的数学关系才是它的深层结构，即应用题的实质所在.背景材料和数学关系的有机结合，明确体现了数学的现实性，是培养应用意识的最佳工具和载体，而应用意识的加强又会提高解决应用题的能力，进一步提高应用能力. 三、研究对象与方法 1.研究对象 本研究以2014年全国各省市高考数学理科试卷（共19套）中的应用题为对象，从背景材料、考点和分值三个方面对高考数学应用题的现状与问题进行分析. 2.研究方法 本研究采用内容分析法对数学应用题及其背景材料、考点和分值进行分析，并利用EXCEL软件对数据进行统计分析. （1）关于应用题的判定，严格按照本文中对应用题界定的概念进行判定，在高考数学试卷中，具有来自客观世界并且具有实际意义或实际背景的问题情境是应用题最主要的特征. （2）关于应用题的背景材料，学者鲍建生将数学题背景分为无实际背景、个人生活、公共常识和科学情境[11]；我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出学生的现实主要包括数学现实、生活现实和其他学科现实，根据以上两点和本文对应用题的界定，本文将应用题背景划分为生活背景、科学背景和生产背景3个层次，同时，根据背景材料的本质区别，将数学应用题的背景材料分为三类：全真型背景、仿真型背景和伪造型背景.[12] （3）关于应用题的考点，通过对每道应用题的主要考点进行归纳总结，最后将应用题的考点分为五大类：函数型、立体几何与平面解析几何型、不等式（组）型、排列组合与统计、概率型和常用逻辑推理型.[13] （4）关于分值，根据试卷每道题所给的分值进行统计得出. 四、分析与结果 根据以上分类对应用题及其背景材料、考点和分值进行判断，为了确保准确性，通过讨论得出统一的评判标准，分别对所有应用题及其背景材料、考点和分值进行判断与统计，针对不一致的地方进行讨论，再请西南大学数学教育专家黄燕苹教授和肖红教授对所有判断和统计进行鉴定，最后确定这19套试卷中共有47道应用题，背景材料、考点的一致程度分别达95.74%和97.88%.整体看来，统计结果可信度较高. 具体统计如表1.
1.数学应用题背景材料的分析与结果 （1）数学应用题背景材料的分类 由表1可知，19套试卷中共有应用题47道，它们的背景材料：以生活材料为主，科技和生产材料为辅.如公益活动、围棋比赛、古桥保护等，无不与学生的日常生活息息相关.药品的临床实验、产品研发和飞行器轨迹等体现了数学在科技方面的应用，设备购买、产品检验和农作物的利润等也体现了数学在实际生产方面的应用.这些背景异彩缤纷，立意新颖，展示了数学的时代性和应用性.但是这些背景材料却有本质区别.具体如下. ●全真型背景 全真型背景是指应用题的背景材料来自学生能直接接触到的并且没有经过人为改造的实际情境或实际问题.也就是说，不经过任何人为加工改造并且问题与学生之间的零距离是这类应用题背景的基本特征.如例1，该应用题的背景材料直接来自学生所能接触到的生活实际，没有多少人为加工的味道，这类问题离学生最近. 例1 （2014年高考数学课标卷Ⅰ理科第5题）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是（ ）.
●仿真型背景 仿真型背景指来自实际生活或具备实际背景，但却是学生很难甚至不可能直接接触到的或经过改造与精心设计的一类材料背景.如例2，该应用题虽具备实际背景；但学生很难甚至不可能直接接触到. 例2 （2014年高考数学陕西卷理科第14题）如图1，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）.
●伪造型背景 伪造型背景是指来自实际生活但又不符合客观现实的一类背景材料.这类数学应用题背景材料明显带有人为设计的痕迹.如例3，该应用题虽具备实际背景，但数据不符合客观现实. 例3 （2014年高考数学福建卷理科第14题）如图2，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.
（2）数学应用题背景材料的统计分析 由统计可知，数学应用题背景材料的类型数量分布差异较大.仿真型背景所占比例最高，高达78.72%，但全真型背景和伪造型背景都比较少，所占比例均为10.64%. 2.数学应用题的考点分析 （1）数学应用题考点的分类 函数型主要体现在产品利润、距离最短等实际问题中.解决这类应用题一般需要利用数量关系，列出目标函数式，然后用函数有关知识和方法进行求解.如例4，该应用题主要考查应用三角函数的最值与三角函数的基本关系、两角和的正弦等函数知识解决实际问题的能力. 例4 （2014年高考数学上海卷理科第21题）如图3，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米.设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.
（Ⅰ）设计中CD是铅垂方向.若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （Ⅱ）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差.现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）. ●不等式（组）型 不等式（组）型主要体现在生产和经济增长的实际问题中.解决这类应用题关键是找出各变量的关系并列出不等式（组），最后解之即可.如例5，该应用题主要考查应用不等式（组）中的线性规划知识解决实际问题的能力. 例5 （2014年高考数学湖南卷理科第8题）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p.第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）.
●立体几何与平面解析几何型 立体几何与平面解析几何型主要体现在正方体和球体积的实际问题中.解决这类应用题主要应用立体与平面几何的有关知识.如例6，该应用题主要考查应用正方体及球体的相关知识解决实际问题的能力. 例6 （2014年高考数学课标卷Ⅱ理科第6题）如图4，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）.
●排列组合与概率统计型 这种类型主要体现在摸球、射击比赛和选派等实际问题中.解决这类应用题主要应用加法原理、乘法原理或概率统计等相关知识.如例7，该应用题主要考查应用排列组合的相关知识解决实际问题的能力， 例7 （2014年高考数学重庆卷理科第9题）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）. A.72 B.120 C.144 D.168 ●常用逻辑用语推理型 这种类型主要体现在逻辑思维和推理能力的应用.如例8，该应用题没有公式、没有原理、没有运算，主要考查学生运用逻辑思维解决实际问题的能力. 例8 （2014年高考数学课标卷Ⅰ理科第14题）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为________. （2）数学应用题考点的统计分析 由统计可知，数学应用题考点在以上五种类型的数量上分布差异很大，其中，应用题以排列组合与统计、概率型为主，其所占比例高达70.21%，其次是函数型，其所占比例为12.77%，再次是立体几何与平面解析几何型，占10.64%，其他两种类型仅占6.39%，不等式型所占比例最小，仅为2.13%. 3.数学应用题的分值分析 由统计可知，全国各省市高考数学理科试卷中应用题分值占相应试卷总分百分比（以下简称应用题分值比）的平均值为12.76%，这说明全国各省市对应用题的考查力度比较小. 应用题分值比高于全国各省市的平均值的试卷共有8套，其中，福建卷和湖北卷的应用题分值比均在16%以上，湖北卷的最大，福建卷次之；课标卷Ⅰ、课标卷Ⅱ、北京卷、湖南卷和上海卷的应用题分值比均在14%～16%之间；江苏卷的应用题分值比略高于全国的平均值，为13.13%.天津卷、重庆卷和广东卷的应用题分值比均略低于全国各省市的平均水平（12.76%），均为12%，而其余试卷的应用题分值比均低于全国各省市的平均水平，其中，安徽卷对应用题的考查力度最小，应用题分值比仅为8%. 五、结论与讨论 其一，2014年全国高考数学理科试卷应用题背景材料以仿真型为主，全真型背景应用题所占比重很小.而全真型背景直接来自于学生生活实际，未经过改造，对于学生而言最真实，也最具有开发性，是培养学生解决实际问题的最理想的选择.但高考题中的全真型背景很少，这明显淡化了应用题的实际价值，不利于学生对数学的理解，不利于培养其独立思考问题的能力，强化的只是单纯的形式演算能力.这与课标中强调的“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值”很不符合.高考中伪造型背景应用题都能有一席之地，何况是日常的教学活动呢？而仿真型背景占据着主导地位，体现出高考应用题的编制与课标的要求还有一定距离. 其二，数学应用题考点单一，以排列组合与统计、概率型为主要载体的数学应用题成为主要类型.所有应用题中都未涉及集合、算法初步和数列，而这三大方面的知识是高中必学的数学知识，它们与我们的实际生活也息息相关，因此学习这些知识在实际生活中的应用显得尤其重要. 其三，数学应用题所占分值偏低，全国各地区的试卷对应用题的考查力度均不高.尽管全国各省市高考数学理科卷都考了应用题，但全国对应用题的考查力度均不大，尤其是华东地区和华南地区. 其一，数学应用题的编制除了要反映时代特征、注意教学场合、考虑接受程度、体现数学思想和激发解题欲望之外，还必须要符合客观现实[14].即应用题的背景材料内容不仅要贴近学生生活，而且还要真实地反映实际问题.因此笔者建议应用题背景材料应以全真型背景为主，仿真型背景为辅，尽量避免伪造型背景出现.尤其是在应用题的教学中，教师应寻找能激发学生学习兴趣的全真型背景材料的应用题，以此使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力. 其二，应用题的考点不应大多数局限在排列组合与统计、概率方面，数学知识的考查应该注重知识的广度和宽度，因此建议应用题的考点多样化. 其三，各省市高考数学理科试卷中都应加大对应用题的考查力度.建议在各省市高考数学试卷中逐年增加5～10分的应用题.比如分值均小于14分的各省市来年的应用题分值可以提高到20分左右（目前全国平均水平），其余各省市也可酌情增加应用题分值.
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