计算机辅助函数图像教学的新途径，本文主要内容关键词为：函数论文,新途径论文,图像论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是中学数学教学的重点内容之一.函数的图像把变量间的依赖关系和函数性质直观形象地刻画出来，它是研究函数的重要工具.在函数图像的教学中，恰当地运用现代化教学手段，能使学生在正确、迅速、形象地获得图像的过程中，加深对函数图像的了解.
《普通高中数学课程标准（实验稿）》在必修模块“数学1”中，就“函数概念与基本初等函数Ⅰ”的教学建议明确指出：“应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，如利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数的图像，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等.”《普通高中数学课程标准（实验稿）》凸显了现代教育技术的地位和作用，这既是新技术影响的使然，也是时代发展对数学教育提出的必然要求.
一、计算机辅助函数图像教学的现状
目前计算机辅助函数图像教学的主要过程是：先指导学生利用描点法作出若干函数的图像，再让学生观察、比较所作的图像，使其了解函数的基本特征，最后用计算机演示多个函数图像，使学生发现并掌握函数图像的性质.
这样的教学设计，体现了“做中学”——学生在这个过程中学会如何作出函数的图像，同时锻炼了动手能力；强调了“发现学习”——学生在活动中自主探索发现新知，这样对知识的理解就更深刻；突出了“数学概括能力”——从有限个函数图像中总结归纳出该类函数的性质，这一过程有利于培养学生的数学概括能力.
但教学实践证明，这种形式的计算机辅助函数图像教学在促进学生理解和掌握函数图像及性质方面并没有显著的提高[1～3].为什么呢？
原因之一：活动不充分.学生在“列表、描点、连线”时受计算和绘图等技能的影响，选点数目有限，描点误差较大，连线时易失真，整个过程往往需要较多的时间，若要手工绘制几个函数的图像则更为费力，使“做中学”大打折扣.
原因之二：软件太专业.用于演示的一些作图软件：（如Graph、Maple、Mathematics等）能快速生成所需函数的图像，但这些软件非短期所能学会，学生很难参与到教学过程中去，课后也没有机会或条件使用这类软件，一定程度上影响了学生自主学习的积极性.
原因之三：显示过快.多数作图软件生成函数图像的主要方式是：输入一组参数产生一个函数图像，输入另一组参数，生成另一个函数的图像.缺少“取点、描点、连线”的过程，其获得图像的方法与学生熟悉的“描点作图”过程相去甚远.
原因之四：演示不到位.计算机的作图过程不够直观，不能很好地反映数据点变化时，相应的图像会怎样地变化，有的作图软件还不能按要求同时显示多个函数的图像，和在一定程度上影响了演示的效果.
另外，目前用计算机辅助函数图像教学[4～6]，以教师的单向演示居多，师生共同参与、双向互动的较少，课内应用多，课外自主探索研究的少，教学模式较为单一.
二、用Excel辅助函数图像教学的特色
电子表格Excel被广泛地用于财务、行政、金融、统计等领域，但Excel在绘制函数图像方面的特色却鲜为人知.概括地说，用Excel辅助函数图像教学有如下优点.
（1）软件的普及性高.Excel是Microsoft Office组件之一，几乎所有的个人计算机都装有Office软件，通用性强.与一些专门的作图软件相比，无需单独安装，使用方便.
（2）入门容易，操作简单.Excel和Word软件一样，是《信息技术》课程中的基本内容，师生对Excel的基本操作并不陌生，易学易用.
（3）同步性好.用Excel作图的过程就是“列表、描点、连线”的过程，思想方法清楚又可实时操作，有利于师生的双边活动和交流，容易形成师生互动的教学氛围.
（4）省时省力.用Excel作图，教师无需课前费时费力地将课件做好，只需借助于Excel的“趋势填充”和“相对引用”功能，即可现场操作演示，方便灵活，避免了一般课件应变能力差、节奏死板的弊病.
（5）功能强大.与文字处理软件Word相比，Excel以数据处理见长，它是集表格、图形显示和数据库操作于一体的应用软件，函数丰富，与数学结合更能发挥其特长.
使用Excel辅助函数图像教学[7]，在丰富教学形式，提高演示效果的同时，也为开展数学实验和探索活动提供了可能.Excel将成为学生自主学习探究并建构自己对数学的认识和理解的一个有力工具.
三、Excel“描点作图”的主要过程
用Excel作图的基本思想是描点作图，自变量的值只需输入两个数值，其余用“等差趋势填充”生成，对应的函数值只要插入一个公式（函数表达式）即可得到，其余函数值利用Excel的“相对引用”功能“拖曳”产生.至于取点的多寡，可根据需要灵活调整，只要改变“等差趋势填充”的步长（公差）即可.Excel工作表中有六万多行，可以产生足够多的点.但实际操作时，宜适度取点，既省时省力，又能使建立的图像更清楚、美观.
例1 作函数，f（x）=x[2]-x-1的图像.
操作要点 根据所给函数，不妨作x∈[-3，3]上的图像.
（1）在第一列的单元格A1、A2内分别输入-3、-2.9，选中这2个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3时为止，松开左键即完成自动填充.（2）第二列单元格B1内输入函数值公式“=A1＾2-A1-1”，然后拖曳B1格的“填充柄”，得到与第一列相对应的函数值.（3）光标置于数据区的任一位置，插入“图表”，选择“XY散点图/平滑线散点图”，点击“完成”便得函数y=x[2]-x-1在区间[-3，3]上的图像.
Excel的加、减、乘、除、乘方分别用运算符“+、-、*、/、＾”来表示.若要更改图像的显示效果，可点击网格线或绘图区后按Delete键将网格线或绘图区的阴影部分清除（或按右键后清除），双击数据点，在弹出的“数据系列格式”对话框中选择“图案/数据标记/无”可去除数据点标记，选择“图案/线型”可改变线的粗细颜色.双击坐标轴可设定适当刻度，双击字体可设定合适的字体等.
根据实际作图效果，还可增加数据.要将添加的数据在图形上反映出来，只要点击函数图像上的“数据点”，这时数据点所在的单元格就会被一个蓝色线框围住，拖动蓝色线框使其覆盖要添加的数据，图形就会自动调整.
函数，f（x）=x[2]-x-1的图像与x轴交点的横坐标实际上是方程x[2]-x-1=0的解.从图像直观地看出一根在区间（-1，0）内，另一根在（1，2）内.从单元格中的函数值来看，f（-0.7）=0.19＞0，f（-0.6）=-0.04＜0，所以一根必在（-0.7，-0.6）内.如果要提高精度，可以进一步缩小“步长”（同列中相邻两数的差），根据精度要求任意调整，由图1可知，该根又必在-0.618～-0.619之间.
图1 函数图像
上面这种绘制函数图像的方法直观明了，操作简单，容易为学生理解，而且适用范围广，具有普适性.任何一个具有解析表达式的函数的图像都可以通过上述方法作出来，任意一个一元方程的近似解也可以在图像的直观背景下通过简单拖曳获得.
四、用Excel辅助函数图像教学举例
1.探索函数图像的规律
通过操作、观察，进而归纳和发现函数图像的规律，这是Excel辅助函数教学的目标之一.
例2 在同一坐标系内作出函数y=2[x]，y=10[x]，y=（1/2）[x]的图像.
操作方法 （1）第一列输入自变量的值，第2、3、4列分别插入相应函数值的计算公式.（2）选中所有的数据区域，依次“插入/图表/XY散点图（无数据点平滑线）/完成”.根据完成的图像，学生自行小结指数函数有关过定点、单调性、奇偶性等性质.
我们看到，Excel快速生成数据和图像的功能，使我们任意选取不同的函数在同一直角坐标系中进行画图成为可能，为师生共同观察、分析、猜想、讨论、归纳和推理提供了生动的直观背景.用类似的方法可研究对数函数、幂函数等图像及性质.
Excel作图的灵活性还体现在可随意添加新的函数图像.例如，为了研究指数函数y=a[x]与对数函数y=log[，a]x图像之间的关系，可以先作出y=10[x]，y=（1/2）[x]的图像.再添加对数函数如y=log[，0.5]x的图像.方法如下：
在单元格D33中输入“=log＜x，0.5＞”后拖曳得到函数值（注意，对数的真数必须大于零，因此，计算对数函数值自变量只能从x＞0时取值.）.点击函数y=10[x]，y=（1/2）[x]的图像，数据区域显示蓝色框，向右拖曳该框使其覆盖新增的数据区，即可得函数y=log[，0.5]x的图像.
在Excel工作表中插入的函数log＜x，0.5＞表示以0.5为底，x为真数的对数，log（x）为常用对数.其它常用的函数有：sqrt（x）——x的算术平方根，abs（x）——x的绝对值，exp（x）——e[x]，int（x）——x的整数部分等.
2.理解函数图像的变换
函数图像的变换主要指平移、对称、翻折和伸缩变换.用Excel进行函数图像变换的演示实验，因其数据和图像同时呈现，故而容易揭示变换前后两个图像之间的内在联系，有利于促进学生对数学结果的理解和记忆.
以例1中的函数y=f（x）为例，先作出y=f（x）的图像，再逐一添加函数y=f（x）-2，y=f（x-2）的图像，引导学生发现平移变换y=f（x）→y=f（x+a），y=f（x）→y=f（x）+b的规律.类似地，对称变换y=-f（x），y=f（-x），y=-f（-x）；翻折变换y=｜f（x）｜，y=f（｜x｜）；伸缩变换y=f（2x），y=2f（x），均可师生共做，再小结变换的特点.
Excel这种便于操作又富有弹性的作图变化，无疑为师生的创造活动提供了发展空间，因为不同的使用者的探索和开发的结果可能会有较大的差异（如数据点选取范围的不同，步长选择的多样性等），这为进一步的师生交流、讨论提供了丰富的素材，使从不同侧面、不同的视角观察和发现数学现象的本质成为可能.这样的教学活动容易激发学生的参与热情和主动探索的积极性.
例如，函数的叠加（函数y=x+1/x为f（x）=x与g（x）=1/x的和），其它的对称形式（y=f（x-1）与y=f（1-x），y=f（x）与y=f[-1]（x）之间的关系等）的发现都可以在学生的探索活动和交流、讨论中实现.
3.认识参数的作用
Excel作图的原理对于学生认识参数的作
的图形？通过Excel作图的过程，能够使学生“看到”参数的变化如何影响图形的变化，真正做到“数形结合”，而不是仅仅听到或想到却“做”不到.下面是一个设计方案：
（1）第一列放θ值（0≤θ≤2π）：在单元格A1、A2内分别输入0、0.1，选中这2个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值6.3时为止.
（2）第2、3列放置x、y值：B1、C1内分别输入公式“=cos（A1）”“=sin（A1）”，拖曳B1、C1格的“填充柄”，就得到对应θ的x，y值.
（3）生成图像：选中第2、3列的数据，插入“图表”，依次选择“XY散点图/平滑线散点图/完成”，得参数方程
所表示的图形
点击图形上的数据点，数据点所在的单元格被一个蓝色线框围住，拖曳蓝色线框可随意改变x、y的值，这时就能清晰地观察到不同范围的θ值与对应图形的变化情况.
将得到的图形复制，右击数据点，在弹出的快捷菜单中选择“源数据”，在“系列”中，交换“x值”“y值”的生成区域，便得参数方程
所对应的图形，与前面的图形对比，其联系与区别就一目了然了.
4.绘制特殊函数的图像
用Excel“描点作图”的方法可方便地画出许多特殊函数的图像.如分段函数的图像，极坐标方程下的曲线等.
的图像.
操作要点 根据所给函数，不妨作x∈[-4，3]上的图像.
（1）第一列放自变量的值：在单元格A1、A2内分别输入-4、-3.95，选中这两个单元格后拖曳即可.
（2）第二列生成函数值：在单元格B1内输入分段函数“=IF（A1＜=-2，-2*A1-4，IF（A1＜2，SQRT（A1+2），2＾（A1-1）））”，在编辑栏内选中“√”后拖曳B1格的“填充柄”至所需的单元格，得到与第一列相对应的函数值.
这里用到了Excel的逻辑函数IF，如“=IF（x＞=0，1，-1）”的意义是：如果表达式“x＞=0”成立（真），则该函数值取1，否则取值为-1.函数IF可以嵌套，最多为7层.
（3）描点连线：光标置于数据区的任一位置，插入“图表”，选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”，点击“完成”便得分段函数在区间[-4，3]上的图像.