验证性因素分析：问卷题数及小样本应用策略，本文主要内容关键词为：样本论文,问卷论文,因素论文,策略论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
验证性因素分析（Confirmatory factor analysis,CFA）在心理、教育、社会学等研究应用日广[1,2]。 本文旨在引述一些新近的研究结果[3,4,5]，讨论如何在CFA研究中，决定问卷题数或变量的多寡，并指出一些尤为适用于小样本的应用策略。
1 问题的提出
1.1 验证性因素分析
很多心理社会等变项，均不能准确及直接地量度。这包括智力、性格特质等，我们只好用一些外显指标，去反映这些潜在变量。在一典型分析过程中，我们输入各指标变量的相关或协方差矩阵、指标与潜在变量的从属关系，软件包（如：LISREL[6]）会估计指标与潜在、 潜在与潜在、模式未能解释部分、指标测量上的误差等指定参数，其数值能反映各关系的强弱。此外软件包亦计算研究者所提出的模型，是否与样本数据吻合（即数据是否可用模型表示）[7-11]。
举例来说，我们设计一份学童学习目标问卷，以了解三类目标（“自我进步”、“超越别人”、“对父母及社会尽责任”）的关系。假设每类目标各以四题六点量表的问题测量。每名受试者共有十二个得分，设有三百名受试者，则可根据这些人的回答，计算一个12×12的相关矩阵。本文将讨论当人数固定不变时，我们应否尽量多用一些题目；如果因种种客观条件所限，受试人数甚少时，我们又有何策略可供使用。
1.2 变量（问卷题目）的上下限
研究样本容量愈大愈好，这点学者并无争议，但对研究内变量的适当数目（如：问卷总题数），则意见分歧。就每一因子内的题数（p／f）而言，一般建议是最少三题[1]，以解决识别问题（简单来说， 有足够资料去推算各参数）， 但当因子互有关连时， 可减至每因子两题（p／f＝2），也不致出现未可识别的困难，这下限在颇多研究也有出现。
至于每一因子题数或总变量（题数）的上限，一般忠告是不可太多，为受试人数（N）所限制，例如Nunnally[12] 所提出被人广为引用的建议是：N最少是变量的十倍。在CFA中，Tanaka[13]认为应考虑N 与自由估计参数的比例，Bollen[1]及Bentler[14]等权威亦同意N 应为自由参数的数倍（如5倍）。也就是说当N固定时，自由参数、变量或每一因子题数均不可过多。不过这些CFA权威的法则， 与传统测验理论认为题数增加可提高信度的想法，并不一致。
2 研究一：因子所含题数的上限
颇多传统法则建议我们在每一因子，不可用太多题目（变量），本部分主要是依据一些模拟数据研究结果[3]，说明增加题数， 一般有益无害。当问卷题目变量多于传统守则时，一常用策略就是将数题合并成小组（parcel），以数题的加权或平均数作为模式内的指标变量。本研究亦分析这方法的合理性。
2.1 研究方法
模拟数据的总体是一个三因子的模型， 三因子间所有相关为0.3。我们改变每一因子所含题数（p／f）及被试人数（N）， 以了解其影响。研究设计为5种p／f×5种N；p／f分别是2，3，4，6或12； 例如在p／f＝2中，共36题，分别从属于三个因子。N＝50，100，200，400或1000。所有因子负荷均为0.60（误差为0.64），即每一题目变异量为1。
模拟数据是以软件包随机数生成器，依据上述总体值而制成，包括2500个N＝50的样本（即125000人），以及1000个N＝100，500个N＝200，250个N＝400及100个N＝1000的样本。在N较小时我们刻意采用较多样本，因为这情况下的解答较不稳定。
对每一模拟随机数据样本，我们均套以原本模型，并检验解答的收敛情况、各参数值及其标准误等。因用以制造模拟数据的总体及加套于模拟数据的模型完全相同，而此情况下，模型的卡方期望值等于其自由度，故（卡方／df）不应偏离1[3,15]， 而卡方的p值亦不应偏离0.5。在检验收敛情况时，我们亦查看各参数是否合理及适当（例如：相关系数不可大于1）。
为了解将题目合并为小组的传统是否有益，我们将p／f＝12内的题目合并为2（每小组6题）、3（4题小组）、4（3题小组）或6（2题小组）小组。例如我们将12题分为2组，求每组内6题的平均数，即模型的总变量减至六个（每因子两个指标变量）。
2.2 结果
2.2.1 叠代收敛情况 研究显示当被试人数（N）或题数（p／f ）增加时，模型叠代收敛机会提升， 当每因子只有两题时（p／f＝2），N＝50至1000收敛率由14%增至93%（见表1）。其他题数（p／f）时其趋势一致。这支持传统看法，N是愈多愈好。
表1 模型在不同样本容量（N）及因子内题数（p／f）的收敛率、参数估计和似合优度
样本容量(N)/ 因子负荷卡方／自由度
因子内题数收敛率(%)平均标准差平均标准差
N=50
2
13.6 0.611 0.2350.7880.421
3
54.8 0.615 0.1711.0380.300
4
86.5 0.603 0.1661.1090.224
6
99.6 0.599 0.1511.1940.146
12 100.0 0.599 0.1461.4760.091
N=100
2
32.8 0.612 0.1900.8230.465
3
85.4 0.606 0.1291.0320.296
4
99.1 0.599 0.1141.0580.212
6 100.0 0.602 0.1051.0920.127
12 100.0 0.601 0.0961.1710.069
N=200
2
55.6 0.611 0.1510.9090.490
3
97.8 0.602 0.0911.0210.286
4
99.6 0.599 0.0811.0360.207
6 100.0 0.603 0.0741.0510.127
12 100.0 0.602 0.0681.0770.060
N=400
2
82.4 0.612 0.1130.9520.560
3 100.0 0.603 0.0621.0000.276
4 100.0 0.599 0.0551.0180.205
6 100.0 0.603 0.0521.0290.131
12 100.0 0.602 0.0471.0350.058
N=1000
2
93.0 0.606 0.0670.9690.581
3
99.0 0.603 0.0401.0250.325
4 100.0 0.599 0.0351.0370.217
6 100.0 0.603 0.0331.0280.115
12 100.0 0.603 0.0291.0150.054
在检查p／f的效应时，当N＝1000，p／f＝2有93%收敛，但p／f＝4至12时，收敛均达至100%。当N较小时这差异更大， 例如：N＝100，收敛率由33%（p／f＝2），渐升至100%（p／f＝12）， N＝50时对应比率为14%升至100%（见表1）。这表明当N足够大（如N＝1000），虽然p／f 甚小时（如：p／f＝2，3），会有部分不收敛的情况， 但问题尚不算严重。但当N逐渐减少，而每因子的题数只得两三题时， 可能有过半， 甚至八成以上解答不收敛。此时若能稍增每因子题数（p／f＝4，6等），则收敛困难多可迎刃而解。
在了解每因子12题目是否应合并为小组时，我们发觉将数个题目合并成小组，对收敛并无明显好处，反之，当人数不多时（N＝50或100），用小组方法反而导致更多不收敛的情况，N＝50时，2，3，4，6，12 小组的收敛率分别为16%，98%，100%，及100%。从叠代收敛的角度来说，将题目合并以平均分为指标的传统做法，并无任何好处。
2.2.2 参数估计与拟合优度 除了每因子只得两题目（p／f＝2）的情况外，所有不同N与p／f组合情况下的参数估计均无偏差。 例如：因子负荷在不同样本的平均是0.6，方差分析亦表明p／f及N的总效应只得0.7%；这是因为我们用以制造模拟数据的总体， 与加套于数据的模型完全相同有关。不过当N及p／f增加时， 参数的标准差显著下降（见表1）。方差分析显示N及p／f的主效应解释因子负荷（31%），题目误差（32%）及因子间相关（30%）的颇大部分方差，结果表明当N及p／f愈大时，参数估计更为准确。从这角度看每因子题数不能太少。
至于拟合优度，表1显示（卡方／df）依（p／f）增加而上升， 即拟合优度渐减（因卡方大显示不拟合）。一如上文指出在本研究中，（卡方／df）的期望值应为1，故此， 当因子内题数较少时拟合优度略增只是一个虚假现象，显示卡方的渐近值在N及p／f较小时并不适用。
题目应否合并为小组的分析结果表明，合并成小组与否对参数估计的准确性（如标准差），并无显著影响。这是因为当我们将因子内12题合并成较少的小组（例如2组）时，准确度会因每因子的指标数目（2个）减少而下降，但因每一指标是由多题合并而成（6题）， 故每一指标的准确度上升，其总效应令合并成小组并无任何显著好处。
总括来说，此部分研究显示每因子内题数愈多愈好，不单叠代收敛为适当解答机会增大，参数估计更为准确，因子信度上升。尤其是在样本容量甚小时，用多些题目有益无害。虽然部分研究者建议N最少100，但本研究显示，当N＝100，每因子最少应有4个指标变量。此外， 每因子只得两个指标（题目），因未能识别等问题，应尽量避免。当然每份问卷长度受其他客观条件所限，不能过长，我们建议在小样本研究中。应尽量争取用多一些题目，且不应将题目合并成小组，用数题目的平均分作指标并不恰当。
3 研究二：小样本因子负荷的处理
用验证性因子分析估计各因子负荷时，我们一般并不强制各负荷有任何特殊关系：不过在应用一些高效度的测量工具时，我们可假设同一因子内负荷均甚高且一致，若我们强制因子负荷必须相等，则可大大减低要估计的参数数目，从而改善解答的素质。
强制负荷相等的概念其实并不新鲜，一些学者早已主张用简单平均数（等重加权）去将数个题目合并，而不用由数据所得的加权因子（每题加权系数不同），以避免纯因随机因素的影响。这强制负荷相等的方法亦符合CFA强调模型必须省俭的原则， 因为强制后的模式更为省俭。以下简述一个以模拟数据了解强制负荷相等是否更有利的研究[4]。
3.1 研究方法
模拟方法与研究一大致相同。模拟数据的总体是一个三因子的模型，三因子互有相关（r＝0.3）。每一因子含三指标变量（题目），我们改变样本容量（N＝50，100，200，400，1000），因子负荷饱和状况（均一、低混合、高混合）及因子负荷限制条件（限制、自由），以了解其对收敛及参数估计等的影响。
在三种负荷饱和状况下，我们比较因子内题目负荷的一致性如何影响收敛及参数估计。 “均一”情况下每一因子所有指标负荷均为0.6，“低混合”则三个指标负荷分别为0.5，0.6及0.7，而高混合则是0.4，0.6及0.8。依据这些总体模型，我们用软件包制做2500个N＝50， 1000个N＝100，500个N＝200，250个N＝400及100个N＝1000的样本模拟数据，再以三个互有相关的因子模型加套于数据，以估计各参数及拟合优度。在加套时我们亦比较两种负荷限制条件（限制、自由），在“限制”的情况下，我们在加套时强迫同一因子内三个负荷必须相等，在“自由”情况下则不加这一限制。
3.2 结果
研究显示在大样本容量及均一负荷的情况下，叠代收敛的机会更大，例如：当N＝50，有58%（均一负荷）、53%（低混合）及39 %（高混合）收敛为适当解答，当N＝100，则分别对应有89%、84%及67%收敛。
最重要的结果是当我们限制同一因子负荷必须相等时，解答的表现大大改善，尤其是当样本较少时（N＝50，100）。“限制”的方法差不多可以完全消灭不适当（不收敛，负误差等）之解答。当N＝50 “一致”负荷情况时，由58%（“自由”负荷）适当解答改善至99%（“限制”负荷）；“低混合”时，由53%改善至98%，“高混合”时，由40%改善至98%；在N＝100时，对应数字为89%，84%及67 %全改善至100%。
对于标准误（SE）的方差分析表明，样本容量（N ）及加套模型时的条件（限制、自由）均有极大影响，其主效应及交互作用的eta 值对应地为0.82，0.48及0.21。SE依N的增加而递减， 当强加负荷相等的限制时，其SE亦会减少，尤其是当N较小时效果更为明显。
至于对参数估计的影响，显而易见，对于总体负荷不等的情况（低及高混合），强加负荷相等的限制，一定会导致估计偏差，例如：总体的题目误差为0.64，但在“限制”情况下，估计值为0.69。不过，这估计偏差现象对负荷及题目误差影响较大，对因子间相关影响微不足道（变异量的0.5%）。值得留意的是在颇多研究， 潜在变量间的关系才是关注重点（而非题目因子负荷），故此强加等同的限制并不会带来参数估计偏差的问题。此外，研究结果显示当同一因子题目负荷相差甚大时（高混合情况），不收敛为适当解答的问题较严重，但此时强迫同一因子负荷相等，所能产生的正面作用也最大。
在拟合优度方面，不难推断，当我们强加因子负荷相等的限制后，模型自由度增加，但拟合程度必然较差（卡方较大），不过当N＝50 或100时，限制与否影响拟合度甚少。上述结果显示样本甚小时， 强制负荷相等可令叠代收敛的机会增大，参数的误差减少，但不影响我们估计潜在因子间的相关。
4 研究三：非正态数据与题目小组
研究—显示将数题目合并成小组，以其平均分作指标的传统做法，并无任何好处，尤其是当样本容量（N）不大时， 合并成小组可能导致不收敛及标准误较大。支持用小组的其中一个论据是当数据略非正态分布时，将数题目合并，应得出一些较接近正态分布的指标，故合并题目是合适做法。本部分引述一模拟数据研究[5]， 以探讨这论据是否成立。
4.1 研究方法
本研究与上述两个类似。总体是两因子各含8题的模型， 因子相关为0.3，负荷是0.7（误差0.51）。模拟数据包括2000个N＝50；1000 个N＝100，400个N＝250及100个N＝1000的样本。我们比较三类小组， 包括每因子独立8题、4指标（各由2题平均所得）、及2指标（由4 题平均）。总体模型则分五种非正态情况：正态（偏斜skew，s ＝ 0， 峰度kurtosis，k＝0）、稍非正态（s＝0.5，k＝0.5）、中等非正态（s＝1，k＝1.5）、严重非正态（s＝1.5，k＝3.25）、平衡（s＝+0.5／－0.5，k＝+0.5／－0.5，+与－对称地合并）。我们用ML，ADF方法估计参数，亦计算稳健统计（robust）SE，SB（Satorra-Bentler ）及YB （ Yuan-Bentler）的卡方[15,16]。
4.2 结果
在本研究的条件下，非正态并不致于引来严重不收敛的问题，唯一例外是当N＝50及100时，若将题目合并只得两小组时，其收敛只得17%至21%（N＝50），或31%至36%（N＝100）， 再一次说明合并成新指标并无好处。
在卡方的估计中，非正态状况主要影响ML的卡方，其次是SB的卡方，YB卡方表现最好。ML卡方不大受非正态影响， ADF估计参数及其SE时，略偏离其应有的期望值。但ML对参数估计不受非正态分布的影响。稳健SE在正态分布时较ML偏差较大，但当数据严重非正态时，则较ML偏差为小。
无论从收敛、参数的偏差及标准误等角度，将数题合并为小组均无任何好处，若合并至每因子两指标时，问题更大。当然日后研究需检视比本次更为非正态的数据，以了解题目小组的方法是否合适。
5 总结
验证性因素分析或包含更广的结构方程模型，以倍增趋势在心理及教育等学科中备受广泛应用。这些统计模型能更准确计算一些多变量潜在因子间的关系。本文引用三个模拟数据研究，提出一些在验证性因素分素时的策略，包括用多一些题目及强制同一因子的负荷相等。样本容量当然愈大愈好，但当资源等条件有限制时，上述两个技巧，可协助解决叠代收敛问题，并能更准确估计各重要参数。此外，一些方法如：每因子用两指标（或两题目）、在N＝100或以下样本容量时用少於四指标、将题目合并为题目小组，均可能导致不收敛、高标准误、及偏差参数等问题，不值得推荐。当然限于研究是采用模拟数据，要推广至所有特殊情况及偏态数据，仍待日后更多其他研究的验证。
CFA的软件包日多，且更为易用， 本文为协助研究者决定问卷题数（或变量数目），提出数点应用策略，抛砖引玉，希望日后更多统计测量学者进一步研究，提出更多有助CFA应用的守则。