以生为本，引导学生体验知识发现过程——“三角函数的诱导公式（1）”的教学与反思，本文主要内容关键词为：为本论文,诱导论文,引导学生论文,公式论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、学情分析
上课班级高一（6）班是无锡市第一中学与清华大学合办的“成志班”.学生基础很好，思维活跃，对数学学习有浓厚的兴趣.在知识上已经掌握了角的概念的扩充、弧度制、任意角的三角函数概念、同角三角函数的基本关系以及三角函数线等内容；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经初步掌握了数形结合、类比、特殊到一般等数学思想的运用.
二、教材解读
“三角函数诱导公式”第1课时是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4第1.2.3节，主要内容是三角函数诱导公式中的公式一至公式六.在此之前，学生已学习了任意角的三角函数，掌握了三角函数定义、单位圆中的三角函数线等内容，这为过渡到本节的学习起到了铺垫作用.在此基础上，学习诱导公式一、二、三、四（第1课时）以及诱导公式五、六这六组公式（第2课时），体会发现过程，由未知到已知的转化过程，为以后的三角函数求值、化简、证明等打好基础.
（1）掌握三角函数的诱导公式，能正确地运用这些公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式的证明.
（2）借助单位圆中的对称关系，观察推导出诱导公式，通过公式的应用，了解未知到已知、简单到复杂、陌生到熟悉的转化过程，从而提高分析问题和解决问题的能力.
（3）学会提出问题，体验解决问题的过程，养成积极探索、科学研究的良好习惯.
通过终边相同角的三角函数关系推出公式一，借助单位圆数形结合引导学生自己推导诱导公式二、三、四.
发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数的联系，角π±α，-α的终边与角α的终边的关系以及它们的三角函数值之间的关系.
作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想方法和数学意识；让学生亲身体验公式的“发现”过程，获得学习的成功感，进而增强信心.因此本节课的教学，除了让学生理解公式的来龙去脉、推导过程外，还要使学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，通过数形结合研究诱导公式，引导学生思考“可以研究什么问题，用什么方法研究这个问题”，把数学思想方法的学习渗透其中，从而加深对诱导公式的理解与记忆，提高分析运用和解决问题的能力.
三、过程实录
1.复习引入
师：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义是什么？
学生回答后教师板书：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则
师：终边相同的角的三角函数值有什么关系？
学生回答，引出
公式一 sin（2kπ+α）=sinα,cos（2k π+α）=cosα,tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）.
师：公式一的用途？
引导学生总结：公式一可以把求任意角的三角函数值转化为求[0，2π）范围的角的三角函数值问题.我们对[
范围内角的三角函数值很熟悉，若把[0，2π）内角的三角函数值转化为内角的三角函数值，那么任意角的三角函数值就可以求出，这就是我们这节课要解决的问题.
2.探求新知
师：对于任意一个[0，2π）内的角β，我们能否利用π，2π等特殊角，让它和一个内的角α产生联系？
经过学生讨论和回答，发现有四种情形：
因此我们只需研究π-α,π+α，2π-α与α的三角函数关系.
师：观察单位圆（图1），回答下列问题：（1）角α与π+α的终边有怎样的对称关系？（2）角α与π+α的终边与单位圆的交点P,，
之间有怎样的对称关系？（3）P与的坐标有怎样的关系？
生：（1）角α与π+α的终边关于原点对称；（2）角α与π+α的终边与单位圆的交点P,关于原点对称；（3）P与的纵坐标、横坐标都互为相反数.
师：能不能根据角α与π+α的终边的位置关系推导出两者三角函数值之间的关系？
生：π+α与α的终边的位置关系还是关于原点对称，所以结论仍旧成立.
师：观察单位圆（图2），让角α的终边绕单位圆旋转，回答问题：（1）角α的终边与-α的终边有怎样的对称关系？（2）角α的终边与-α的终边与单位圆的交点P，之间有怎样的对称关系？（3）P与的坐标有怎样的关系？
生：（1）角α与-α的终边关于x轴对称；（2）角α与-α的终边与单位圆的交点P，关于x轴对称；（3）P与的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
师：能不能根据角α与-α的终边的位置关系推导出两者三角函数值之间的关系？
公式三 sin（-α）=sinaα，cos(-α)=cosα，tan（-α）=-tanα.
师：进一步可以分析，因为角-α与2kπ-α的终边相同，故其同名三角函数值也相等，即
sin（2kπ-α）=sin（-α）=-sinα
cos（2kπ-α）=cos（-α）=cosα
tan（2kπ-α）=tan（-α）=-tanα
师：设角α的终边与单位圆交于点P,π-α的终边与单位圆交于（下页图3），当α为任意角时：（1）角α的终边与π-α的终边有怎样的对称关系？（2）P与的坐标有怎样的关系？
生：（1）角α与π-α的终边关于y轴对称；（2）P，关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数.
师：能不能根据角α与π-α的终边的位置关系推导出两者三角函数值之间的关系？
师：把四组公式放到一起，大家能看出什么规律吗？
生：所有的式子左右两边函数名都相同；式子右边有的和左边符号相同，有的和左边符号不同.
师：什么时候左右符号相同，什么时候符号不同有规律吗？
学生议论纷纷，但都没能给出一个比较统一的规律性的说法.
师：引导并总结：2kπ±α（k∈Z），-α，π±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
3.数学应用
变式练习：判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=1-cosx；（2）g（x）=x-Sinx.
解（1）因为f（x）的定义域为R，f（-x）=1-cos（-x）=1-cosx=f（x），所以f（x）为偶函数.
（2）因为g（x）的定义域为R，g（-x）=（-x）-sin（-x）=-x+sinx=-g（x），所以g（x）为奇函数.
4.课堂小结（略）
四、教学感悟
1.以生为本
“以学生为本”是新课程的一个重要理念.学生是学习的主人，是课堂上主动求知和探索的主体.教学活动的本质是以学生为核心的特殊的学习活动，教师工作的着力点是组织好这一特殊的学习活动.要提高教学的有效性，就必须从学生的实际出发，从关注学生做起，根据学生的实际情况设计教学方案，组织教学活动.在课堂教学中，要舍得让学生说，例如在把[0，2π）内的角化成内角的三角函数值时，不要一开始就用四种情形框死学生，要让学生充分发表意见，例如钝角时学生可能会说出
+α甚至
+α等办法，不一定是π-α的办法，学生讨论到一定时候老师再拉回来.在让学生总结口诀时，应该多给学生点时间看看几组公式的特点，让学生发现，让学生讨论，老师不要包办代替.本节课一些地方选择了演绎法，好处是系统性很强，缺点是探索性不够，要注重知识的发生过程，数学是有价值的，要让学生明白这一点.课堂小结要让学生讲，最后要问问学生还有没有疑问，要培养学生的总结能力.
2.体验发现
课标要求教学内容的呈现应注意反映数学发展的规律，以及学生的认知规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则.在教学设计中，要注意创设恰当的问题情境，展现数学知识的发生和发展的过程，使学生能够自己从中发现问题，提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉，引导学生积极参与概念的建构过程，定理、公式的发现和证明过程.本节课中，通过精心设置的问题系列，引发学生积极思考，课堂上师生的真实生动的探究，促进学生对数学知识的理解，让每位学生主动、积极地参与教学活动，帮助学生建立良好的认知结构，学生有效地经历了知识发生和发展的过程，真正地将“重视学生主体地位”落到了实处.本节课在这几方面存在着一些不足之处，例如：引出课题还不太自然，可以一开始有个实际问题的情境入手，这样更容易使学生感到亲切，例如“大风车”的背景.不要推着学生走，问题的跨度可大一些，“π-α”的地方让学生谈，再上黑板画，课上最好能有不预设的亮点.
3.培养能力
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：数学教学就是要教给学生能借助已有的知识去获取新知的能力，并使学习成为一种思维活动.数学教学改革的根本出路在于为培养学生自身的学习能力、创造能力和自我发展能力创设一个广阔的空间.数学课堂教学要通过教师的有效启发引导，让学生在主动参与的过程中积极思考，获取知识，在掌握知识的过程中发展自己的思维能力.本节课的研究背景是无计算器时，求任意角的三角函数值可以“化成锐角的三角函数值”，要让学生了解这个背景，认识转化对于数学学习和解决数学问题的重要意义.要强调多角度地思考问题，培养学生数形结合，一般到特殊、特殊到一般的数学思想.要及时进行提炼概括，培养学生从图形语言到数学语言到符号语言的能力.
4.注重细节
教学细节是发生在课堂教学过程中的充满思辨与灵性的课堂场景.细节虽小，但在教学过程中的功能和作用，在促进学生发展中的意义与价值却不可小觑.关注课堂细节，其实质是精致教学流程，突出教学重点，提高教学效益，绽放个性和魅力.细节决定成败，精彩的教学细节不仅可以使教学过程具体、丰富而充实，也可以使教学过程充满智慧和创造，甚至会给我们带来意外的惊喜和收获.教师在组织学习活动时，应该时刻关注细节问题.就本节课而言，以下几个方面的细节值得进一步地加以完善：应该去掉PPT的解答过程，写板书，也可以考虑在课上使用实物平台展示学生丰富多彩的想法；公式都要留在黑板上，例1老师自己在黑板上板书，板书设计要进一步加强，老师批学生的板演可用彩色粉笔；课上课本一定要用，书上的课堂练习布置成作业不妥；要有用公式推公式的意识，对公式要有标注，推导公式的方法要小结；整个过程中角的表示最好尽量用弧度制，不用角度制，因为三角函数式是建立在实数集上的；在推导-α那组公式时，可以利用y=sinx是奇函数和y=cosx是偶函数的特性.